高考数学二轮复习概率与统计专题21常见的概率模型课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
专题21　常见的概率模型
导言　高考中关于概率模型的考查，主要是两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布类问题，2025年全国二卷在压轴题中考查了二项分布及其应用，从近年的高考卷的考查情况来看，本节是高考的热点，在解答题中经常出现．主要是赛制类问题，需要在复杂的题目描述中找出数量关系，建立数学模型，并且运用数学模型解决实际问题．
1 [人教A版选必三P77练习T2改编]鸡接种一种疫苗后，有80%的概率不会感染某种病毒．若5只鸡接种了疫苗，则恰好有1只鸡感染病毒的概率为(　 　)
D
2 [人教A版选必三P80练习T2改编]学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机
会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为______.
3 [人教A版选必三P81习题7.4T3改编]如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位长度，
共移动6次，则质点回到原点的概率为______.
4 [人教A版选必三P87习题7.5T4改编]袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，则估计这批袋装食盐的合格率为__________.(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤ μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
【解析】 设袋装食盐质量的误差为X，则X～N(0,4)，P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，故合格率约为95.45%.
95.45%
要点指引
1. 独立重复试验的条件：(1) 每次试验在同样条件下进行；(2) 各次试验是相互独立的；(3) 每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
4. 若随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
重点1　正态分布
1
A. P(X>2)>0.2 B. P(X>2)<0.5
C. P(Y>2)>0.5 D. P(Y>2)<0.8
BC
思路引导：本题考查正态分布及其应用．题干关键：X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1,0.12)．根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性求解．
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题的随机变量均服从正态分布，熟悉参数的意义，将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．　
变式训练1　[2025赣州二模T12]若随机变量X～N(2，σ2)，P(X<2a)＝
P(X>a＋3)，则实数a的值为_____.
变式训练2　(多选)[2025镇江期初T10]体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，X～N(150,400)，Y～N(150，100)，则下列说法中正确的是(　 　)
A. D(X)＝20
B. E(Y)＝150
C. P(Y<130)＋P(Y≤170)＝1
D. P(X≤160)BCD
【解析】 对于A，由X～N(150,400)，得D(X)＝400，故A错误；对于B，由Y～N(150,100)，得E(Y)＝150，故B正确；对于C，因为Y～N(150,100)，所以P(Y<130)＋P(Y≤170)＝P(Y>170)＋P(Y≤170)＝1，故C正确；对于D，由X～N(150，400)，得X的平均值和标准差分别为μ1＝150，σ1＝20，由Y～N(150,100)，得Y的平均值和标准差分别为μ2＝150，σ2＝10，所以P(X≤160)＝P(X≤150＋10)题后反思
1. 解决正态分布问题的三个关键点：①对称轴为x＝μ；②标准差为σ；③分布区间．
2. 求正态分布变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1) 根据题目中给出的条件确定μ与σ的值；
(2) 将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
(3) 利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求最后结果．
重点2　超几何分布
[2025苏州期初阳光调研T15]2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日，100米跨栏、200米、400米、800米、1 500米、5 000米比赛在法兰西体育场举行．
(1) 志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择 1 500 米服务的概率；
2
(2) 为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加 1个 项目的志愿者中抽取了 10名 同学，其中6名参加5 000米服务，4名参加800米服务．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中参加800米服务的人数记作X，求随机变量X的概率分布和数学期望．
思路引导：本题考查条件概率、超几何分布及其应用．(1) 题干关键：汤姆在选择200米服务的条件下．利用条件概率求解；(2) 题干关键：从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．根据超几何分布求得X取值对应的概率，得到概率分布和数学期望．
解：(1) 设“汤姆的选择中有200米服务”为事件A；“汤姆的选择中有1 500 米服务”为事件B，
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：例2(2)与【基础活动】第2题都涉及随机变量为抽到的某类个体的个数，符合超几何分布的特征．　
变式训练　[2025新余二模T15]某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，若输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%.
(1) 在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的概率分布和数学期望；
(2) 设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值．
(2) 记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“回答被采纳”为事件C，
则P(C)＝0.7，P(C|A)＝0.8，P(C|B)＝0.4，P(B)＝p，P(A)＝1－p，
所以P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.8(1－p)＋0.4p＝0.7，解得p＝0.25.
题后反思
1. 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．
2. 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
3. 超几何分布和二项分布的区别：①超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；②超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
重点3　二项分布
3
(1) 求起火点被无人机击中次数的概率分布及数学期望；
(2) 求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
本题与【基础活动】的第1,3题对比，发现：三题均涉及n重伯努利试验，符合n重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．　
(1) 求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；
(2) 求选手甲在该次比赛得分为40分的概率；
(3) 已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望．
题后反思
1. 二项分布问题的解题关键
(1) 定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同；②各次试验中的事件是相互独立的；③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
(2) 定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
2. 有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
2
4
1
3
B
2
4
1
3
2 某市教育局准备了9个关于教育的问题(含问题A)到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则E(X)等于(　 　)
D
2
4
1
3
2
4
3
1
3 (多选)[2025赣州期末T9]小华是一位篮球爱好者，每天坚持投篮训练，每天至少训练10组，每组投篮50次，且每一组投篮命中的次数X服从正态分布N(27,4)，则下列结论中正确的是(参考数据：P(μ－σA. μ＝27
B. σ＝4
C. P(X≥33)≈0.002 6
D. P(23AD
2
4
3
1
2
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3
1
4 [2025南阳期末T12]某校高三年级有男生 660人，女生440人，现按性别用分层抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男
队长的概率为_____.