高考数学二轮复习概率与统计专题22变量间的相关关系与统计案例课件(共46张PPT)

(共46张PPT)
专题22　变量间的相关关系与统计案例
导言　高考中关于变量间的相关关系与统计案例的考查，主要是相关性、独立性检验、回归分析等，综合考查读取数据、分析数据、处理数据的能力．与现实社会相联系，与其他知识交汇，体现综合性、应用性．
1 (多选)[人教A版选必三P95练习T2改编]根据下面的散点图，判断图中的两个变量存在相关关系的有(　 　)
A
B
C
D
ABD
【解析】 对于A，由散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在线性相关关系，图象呈现从左上到右下的趋势，说明两个变量呈负线性相关关系；对于B，由散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条曲线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，而且是非线性相关关系；对于C，由散点图可以看到，两个变量确定的散点没有落在了一条直线或曲线附近，是杂乱无章的，所以可以判定两个变量之间不存在相关关系；对于D，由散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，图象呈现从左下到右上的趋势，说明两个变量呈正线性相关关系．故选ABD.
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3 [人教A版选必三P134练习T4]从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：
数学成绩 语文成绩
不优秀 优秀 合计
不优秀 212 61 273
优秀 54 73 127
合计 266 134 400
依据α＝0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
要点指引
1. 相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2. 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，若x与y存在线性相关关系，可用样本相关系数r定量分析它们相关程度的强弱．样本相关系数r＝
重点1　散点图与样本相关系数
下列图中，线性相关性系数最大的是(　 　)
1
A
B
C
D
思路引导：观察散点图，两个变量确定的散点有没有落在一条直线或者曲线附近，根据拟合效果判断线性相关性系数的大小．
A
【解析】 观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，|r|的值相比于其他3幅图更接近1.
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题都是观察散点图，根据两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，从而判定两个变量之间存在线性相关关系，利用图象呈现的趋势，说明两个变量呈正或负相关．　
变式训练1　已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是(　 　)
A. 气候温度高，海水表层温度就高
B. 气候温度高，海水表层温度就低
C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
C
【解析】 对于A，B，当气候温度高时，海水表层温度是高是低不确定，故A，B错误；对于C，D，因为相关系数为正，所以随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误．
变式训练2　[2025安徽月考节选]某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下：
会员序号 锻炼时长x/h 体重减少量y/kg
1 3 1.0
2 4 1.5
3 2 1.0
4 5 2.0
5 6 2.5
6 4 1.8
会员序号 锻炼时长x/h 体重减少量y/kg
7 5 2.0
8 3 1.0
9 4 1.6
10 4 2.0
总和 40 16.4
根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系吗？请用样本相关系数加以说明．
因为y与x的样本相关系数r≈0.93接近1，
所以y与x的线性相关程度很高，
故可用线性回归模型拟合y与x的关系．
题后反思
根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系．
(1) 如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关，如图1所示；
(2) 如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关，如图2所示．
图1
图2
重点2　线性回归分析
[2025上海卷T17]2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：s)，数据按照升序排列.
2
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
(1) 求这组数据的极差与中位数；
(2) 从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
思路引导：本题考查线性回归及应用．(1) 根据表中数据，计算极差与中位数；(2) 根据古典概型公式计算；(3) 解题关键：计算成绩的平均数，得到样本点，代入经验回归直线方程．将x＝2 028代入经验回归直线方程，即可预测2028年冠军队的成绩．
所以经验回归方程为y＝－0.311x＋835.265，
当x＝2 028时，y＝－0.311×2 028＋835.265＝204.557≈204.56，
故预测2028年冠军队的成绩为204.56s.
变式训练　[2025扬州模拟]现有某高新技术企业年研发费用投入x(单位：百万元)与企业年利润y(单位：百万元)之间具有线性相关关系，近5年的年研发费用和年利润的具体数据如表：
年研发费用x/百万元 1 2 3 4 5
年利润y/百万元 2 3 4 4 7
数据表明y与x之间有较强的线性关系．
(1) 求y关于x的经验回归方程；
(2) 如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为多少？
题后反思　线性回归分析问题的解题策略：
重点3　独立性检验
[2025全国一卷T15]为研究是否身患某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
3
正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
(1) 记超声检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
(2) 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声检查结果是否与患该疾病有关．
思路引导：本题考查独立性检验及应用．(1) 题目关键：以频率估计概率．根据列联表中数据计算频率； (2)根据列联表中数据，计算统计量χ2，并与临界值对比分析．
根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为超声检查结果与患该疾病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001.
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：两题均为独立性检验，要判断“两个分类变量有关系”．首先假设该结论不成立，即H0：两个分类变量相互独立成立．在该假设下所构造的随机变量χ2应该很小．若由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则断言H0不成立，即认为“两个分类变量有关系”；若观测值很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据推断H0不成立．　
变式训练　[2025萍乡二模T15]某APP于2025年1月11日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，形成了强大的口碑效应．某公司最近开发了一款新的推荐算法，为了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果，公司进行了一项调查，调查样本的统计结果如下表所示(单位：人).
效果 18～30岁用户人数 31～50岁用户人数
有效 120 x
无效 y 70
合计 150 150
(1) 求出x，y的值，并依据小概率值α＝0.005独立性检验，判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关；
(2) 以频率估计概率，在所有推荐算法有效的人群中抽取3人，求恰有2人为31～50岁用户年龄段的概率．
题后反思　应用独立性检验解决实际问题的主要环节：
(1) 提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；
(2) 根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值比较；
(3) 根据检验规则得出推断结论；
(4) 在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
2
1
3
A. 花瓣长度和花萼长度不存在相关关系
B. 花瓣长度和花萼长度负相关
C. 花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长
度的平均数为5.861 2cm
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的样本
相关系数一定是0.864 2
C
2
1
3
2
1
3
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.3 D. 0.4
A
2
1
3
2
3
1
3 (多选)[2025新余二模T9]某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子(其中一部分用该药做了处理)进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8.未填写完整的2×2列联表如下，则下列说法中正确的是( )
抗病虫害 不抗病虫害 合计
种子经过该药处理 60
种子未经过该药处理 14
合计 100
A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒
B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒
C. χ2的观测值约为13.428
D. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为该新药有效
AD
2
3
1
【解析】 由题可将2×2列联表补充完整如下：
抗病虫害 不抗病虫害 合计
种子经过该药处理 60 6 66
种子未经过该药处理 20 14 34
合计 80 20 100