高考数学二轮复习解析几何微专题17圆锥曲线中的三角形课件(共54张PPT)

(共54张PPT)
微专题17　圆锥曲线中的三角形
导言　圆锥曲线中的三角形问题，是圆锥曲线性质的进一步应用，它综合了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等多种数学思想方法，体现了“对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础”的要求，有利于综合考查考生的能力，是各地高考试题中出现频率高的热点问题．
【解析】 由题意，得△ABF2的周长＝AB＋AF2＋BF2＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a＝16.
A. 6 B. 8
C. 12 D. 16
D
2 若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”，且当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①点P必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF⊥AB.若经过抛物线y2＝8x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P在直线x－y＋6＝0上，则直线AB的方程为(　 　)
A. x－y－2＝0 B. x－2y－2＝0
C. x＋y－2＝0 D. x＋2y－2＝0
A
36
4 [2025焦作三模T14]若过点A(1,1)的直线l与抛物线Γ：y2＝4x交于B，C两点，以B，C为切点分别作抛物线Γ的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为______________.
2x－y＋2＝0
题后反思
1. 焦点三角形即圆锥曲线上的点与两个焦点连线所构成的三角形．
2. 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形．
难点1　焦点三角形
1
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
B
思路引导：本题考查椭圆的定义以及勾股定理，椭圆的焦点三角形．题干关键：根据椭圆的离心率确定a，b，c的关系，在焦点三角形中利用椭圆的定义以及勾股定理求出AF1，AF2，然后再根据勾股定理求出BF2，即可解决问题．
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：都是椭圆中的焦点三角形问题，利用椭圆的定义和性质解决问题．　
2
D
思路引导：本题考查双曲线的定义以及勾股定理，双曲线的焦点三角形．解题关键：设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的对称性可知四边形PF1NF为平行四边形，设NF＝t，利用双曲线的定义与数乘向量的意义得到MF1，NF1关于a，t的表达式，从而利用勾股定理求得a＝t，进而利用勾股定理得到a，c的齐次方程，从而得解．
本题与【基础活动】的第3题对比，发现：都是双曲线中的焦点三角形问题，根据求解的目标可以选择利用二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及数乘向量的意义解决问题．　
D
AC
题后反思
1. 椭圆中焦点三角形的主要结论：
如图1，在△PF1F2中，记∠F1PF2＝θ，则
(1) PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c.
(2) 焦点三角形的周长为L＝2a＋2c.
2. 双曲线焦点三角形的主要结论：
图1
图2
难点2　阿基米德三角形
3
A. AD＝AF B. AE＝AB
C. AB≥6 D. AE·BE≥18
ACD
例3与【基础活动】的第2,4题对比，发现：【基础活动】的第2题的题干中对“阿基米德三角形”进行了解释，属于“新定义”问题，而【基础活动】的第4题与例3是以阿基米德三角形为问题情境，结合已有的抛物线的相关知识去解决问题．　
变式训练　(多选)[2025河南五市联考(一)T11]阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形．设抛物线C：y＝x2上两个不同点A，B横坐标分别为x1，x2，以A，B为切点的切线交于点P.下列关于阿基米德三角形PAB的说法中正确的是(　 　)
A. 若AB过抛物线的焦点，则点P一定在抛物线的准线上
ABC
题后反思
抛物线的弦为AB，过A，B两点作抛物线的切线，相交于点Q，称△ABQ为阿基米德三角形，如图，有下列结论：
(1) 阿基米德三角形底边AB上的中线平行于抛物线
的对称轴．
(2) 若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的
定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线．
(5) 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形面积的最小值为p2.
(6) 在阿基米德三角形中，∠QFA＝∠QFB.
(7) AF·BF＝QF2.
(8) 抛物线上任取一点I(不与点A，B重合)，过点I作抛物线的切线交QA，QB于点S，T，连接AI，BI，则△ABI的面积是△QST面积的2倍．
2
4
1
3
B
2
4
1
3
2
4
1
3
ABD
2
4
1
3
2
4
3
1
3 (多选)[2025湖州县域联盟模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4，经过点F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别记抛物线C在点A，B处的切线为l1，l2，P＝l1∩l2，则下列说法中正确的是(　 　)
A. 抛物线C的准线方程为x＝－1
B. x1x2＝4
C. PFmin＝4
D. 若x1＋x2＝6，则AB＝10
BCD
2
4
3
1
2
4
3
1
点弦方程为yb＝4x＋4a.因为切点弦过焦点F(2，0)，所以0＝4×2＋4a，解得a＝－2，所以点P的轨迹方程是x＝－2，则PFmin＝4，故C正确；对于D，抛物线y2＝2px上的点到焦点的距离等于到准线的距离，若x1＋x2＝6，则AB＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10，故D正确．故选BCD.
2
4
3
1
[3，＋∞)
2
4
3
1