高考数学二轮复习概率与统计专题18计数原理与二项式定理课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
专题18　计数原理与二项式定理
导言　高考关于排列、组合与二项式定理的考查，往往以客观题形式考查．对排列组合的考查，重点是特殊元素与特殊位置、两元素相邻或不相邻、分组、分配等问题，考查的方向偏向于与实际生活联系在一起．高考对二项式定理的考查，重点是二项展开式的指定项(系数)、二项式系数的性质、数学文化与杨辉三角等问题，同时会涉及赋值法的应用．
1 [人教A版选必三P11习题6.1T4改编]用1,5,9,13中的任意一个数作分子，4,8,12,16中任意一个数作分母，可构成不同的真分数的个数是(　 　)
A. 6 B. 10
C. 16 D. 24
【解析】 由真分数的定义知，①若1为分子，则分母有4种选择；②若5为分子，则分母有3种选择；③若9为分子，分母有 2种选择；④若13为分子，则分母有1种选择．综上，真分数共有 4＋3＋2＋1＝10(个)．
C
2 [苏教版选必二P96本章测试T10]由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数是(　 　)
A. 36 B. 72
C. 480 D. 600
C
3 [苏教版选必二P88习题7.4T12改编]在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)10(x≠－1，且x≠0)的展开式中x3的系数是( )
A. 120 B. 165
C. 210 D. 330
D
4 [苏教版选必二P87练习T1(1)](x＋y)10的展开式中二项式系数的最大值是__________.
252
要点指引
1. 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
2. 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位．
重点1　分类、分步计数原理
在如图所示的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有______种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是_______.
1
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
24
112
思路引导：本题考查分步计数原理、列举法．第一空，按照第一、二、三、四列顺序分别有4,3,2,1个方格可选，根据分步计数原理得到；第二空，注意各列的十位数相同，可以看成在表1中选数，则如表2选数即可得到最大值(选到的数用阴影表示)，也可以利用列举法写出所有的可能结果，即可求解．
1 1 1 0
2 2 3 2
3 2 3 3
5 4 4 4
表1
表2
1 1 1 0
2 2 3 2
3 2 3 3
5 4 4 4
【解析】 由题意，得选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选[防范失误③]，所以共有4×3×2×1＝24(种)选法．每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为(11,22,33,44)，(11,22, 34,43)，(11,22,33,44)，(11,22,34,42)，(11,24,33,43)，(11,24,33,42)，(12, 21,33,44)，(12,21,34,43)，(12,22,31,44)，(12,22,34,40)，(12,24,31,43)，(12,24,33,40)，(13,21,33,44)，(13,21,34,42)，(13,22,31,44)，(13,22,34, 40)，(13,24,31,42)，(13,24,33,40)，(15,21,33,43)，(15,21,33,42)，(15,22, 31,43)，(15,22,33,40)，(15,22,31,42)，(15,22,33,40)[防范失误①]，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112.
本题与【基础活动】的第1题对比，发现：两题都是涉及排数问题，本质是“元素”占“位置”问题，解决该类问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论．　
变式训练　[2025海门中学模拟]在3×3的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个2×2的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为________.
72
第二个方格涂A，则第三列的第三方格涂C或B.当第三列的第三个方格涂C时，第三行的第一、二个方格分别涂A，B；当第三列的第三个方格涂B时，第三行的第二方格涂C，不合题意．综上，共有3类涂法．根据分步计数原理，共有24×3＝72(种)不同的涂色方法.
A B
C D

题后反思　有限制条件的排数问题的限制条件主要表现在某个数字不排在某个位置上，或某个位置不排某些数字，被限制的数字通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
(1) 以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；
(2) 以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；
(3) 用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排法总数，再减去不符合要求的排法数．
重点2　排列、组合综合问题
(多选)某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法中正确的有(　 　)
A. 共有90种安排方法
B. 甲连续两天值班的安排方法有30种
C. 甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种
D. 甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种
2
ABD
思路引导：本题考查排列组合．题干关键：每人负责两天，每天只需一人值班．逐一分析选项：对于A，求总的安排方法，依次安排即可；对于B，注意限制条件“甲连续两天值班”，需分步处理，先安排甲，再依次安排乙和丙；对于C，注意限制条件“甲、乙都连续两天值班”，需对丙讨论；对于D，相邻问题采用捆绑法．
本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题中均涉及相邻或不相邻问题，解决相邻问题的方法是“捆绑法”，解决不相邻问题的方法为“插空法”．　
变式训练1　[2025湖北质检]小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数．已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1,1,2,3,5, 8”，则可以设置的不同密码个数为(　 　)
A. 144 B. 120
C. 84 D. 116
B
变式训练2　将5个人(包含甲、乙、丙)安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相邻的两天，乙、丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有________种．
36
题后反思
1. 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列．
2. 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求．
重点3　二项式定理
3
思路引导：本题考查二项式定理，项的系数的最值．题干关键：求系数最大值．由此联想到需先确定系数最大的项，再求其系数即可．先写出二项展开式的通项，再设展开式中第r＋1项的系数最大，根据通项列出不等式即可求解．
5
在(x＋1)n的二项展开式中，若各项系数和为32，则含x2项的系数为________.
思路引导：本题考查二项式定理，特定项的系数．题干关键：各项系数和为32，联想到可利用赋值法，表示出各项系数和，进而可求得n，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可．
4
10
BD
题后反思
1. 二项式定理的核心是通项，求解此类问题可以分两步完成：
第一步：根据所给出的条件(特定项)和通项，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；
第二步：根据所求的指数，再求所要求解的项．
2
4
1
3
A. －240 B. －60
C. 60 D. 240
C
2
4
1
3
2 [2025日照一模]高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则同一个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有(　 　)
A. 66种 B. 93种
C. 195种 D. 273种
B
2
4
1
3
2
4
3
1
3 (多选)已知(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则下列说法中正确的是(　 　 )
A. a0＝－1
B. a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2
C. a4＝80
D. a1＋a3＋a5＝－122
BCD
2
4
3
1
2
4
3
1
4 [2025郑州一模]甲、乙两人各有4张卡片，每人的4张卡片上分别标有1,2,3,4.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片(舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用)，则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相等的情况共有_______种．
216
2
4
3
1