高考数学二轮复习概率与统计专题20离散型随机变量及其分布列课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
专题20　离散型随机变量及其分布列
导言　离散型随机变量及其分布列是高考的一个常考题型，主要是赛制类问题，通常以选择题、填空题、解答题形式考查，会求随机变量的分布列与数学期望，能解决一些简单的实际问题．这需要大家引起重视，对于概率难题要适当地练习．
1 [人教A版选必三P61习题7.2T4改编]某位射箭运动员命中目标箭靶的环数X的概率分布如下：
【解析】 若射手射击一次的成绩为优秀，则他射中的环数为9环或10环，其概率为P＝P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.35＋0.20＝0.55.
X 6 7 8 9 10
P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20
如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是_________.
0.55
2 [人教A版选必三P67练习T2改编]抛掷一枚质地均匀的硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为______.
0
3 [人教A版选必三P69例5改编]抛掷一枚质地均匀的骰子，则掷出的
点数X的方差为_______.
4 [人教A版选必三P71习题7.3 T6改编]有A和B两道谜语，小张猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元，规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由小张选择，他应该选择先猜谜语______.(填“A”或“B”)
【解析】 如果他先猜谜A，那么他将有0.2的概率得0元，有0.8×(1－0.5)＝0.4的概率得10元，有0.8×0.5＝0.4的概率得30元，此时他的奖金期望是0×0.2＋10×0.4＋30×0.4＝16；同理可得如果他先猜谜B，那么他的奖金期望是0×0.5＋20×0.5×(1－0.8)＋30×0.5×0.8＝14.因为16>14，所以他最好先猜谜语A.
A
要点指引
(1) 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
上表称为离散型随机变量X的概率分布表．也可用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的概率分布列，简称X的分布列，两者都叫作随机变量X的概率分布．
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(2) E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平．
重点1　随机变量及其分布列
[2025北京卷T18]有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．
(1) 从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率；
(2) 从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望；
1
(3) 若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p1，乙校学生掌握该知识点的概率为p2，试比较p1与p2的大小(结论不要求证明)．
思路引导：本题考查用频率估计概率，随机变量的概率分布及其数学期望，方程思想以及数据分析、数学建模的核心素养. (1) 用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率； (2) 利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的概率分布，从而可求其期望；(3)根据题设可得关于p1，p2的方程，求出其解后可得它们的大小关系．
本题与【基础活动】的第4题对比，发现：两题均为概率的应用问题，解答实际问题时，(1) 把实际问题概率模型化；(2) 利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3) 利用公式求出相应均值．写出分布列后，可以根据分布列的性质判断所得分布列结果是否正确．　
变式训练　[2025保定模拟]将一颗质地均匀、四个面上分别标有复数1，－1，i，－i(i为虚数单位)的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为a，第二次出现底面朝下的复数记为b.
(1) 用A表示“ab＝－1”这一事件，求事件A的概率P(A)；
(2) 设复数ab的实部为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．
解：(1) 因为所有的基本事件个数为4×4＝16，A包含的基本事件有(－1,1)，(1，－1)，(i，i)，(－i，－i)，共4个，
题后反思　根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
(1) pi≥0，i＝1,2，…，n；(2) p1＋p2＋…＋pn＝1.
注意：①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
重点2　随机变量的数字特征
[2025全国一卷]一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，若从中有放回地取三次，每次取一个球，记至少取出一次的球
的个数X，则数学期望E(X)＝______.
思路引导：本题考查古典概型的概率计算公式，随机变量的概率分布及其数学期望以及数据分析、数学建模的核心素养．思路1：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得X的概率分布，从而求得E(X)；思路2：根据题意假设随机变量Xi，利用对立事件与独立事件的概率公式求得E(Xi)，进而利用数学期望的性质求得E(X)．
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本题与【基础活动】的第2题对比，发现：两题均为计算随机变量的数学期望问题，数学期望是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．　
变式训练　[2025山西三模]一个盒子中有2个红球，3个白球，从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球．若取到的两个球中红球的个数为ξ，则E(ξ)＝
_______.
例3　某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1) 若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
(2) 假设0①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
思路引导：本题考查古典概型的概率计算公式，随机变量的概率分布及其数学期望以及数据分析、数学建模的核心素养．题干关键：比赛规则．(1) 根据比赛规则，甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，利用对立事件的求法和独立事件的乘法公式求解；(2) ①根据比赛规则，要使甲、乙所在队的比赛成绩为15分，第一阶段至少投中1次，第二阶段投中3次，计算出两类概率，再作差判断；②首先得到甲先参加第一阶段比赛，该队的比赛成绩的概率分布，计算出期望，同理得到乙先参加第一阶段比赛的对应期望，再作差比较大小．
解：(1) 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲在第一阶段至少投中1次，乙在第二阶段也至少投中1次，所以比赛成绩不少于5分的概率P＝(1－0.63)×(1－0.53)＝0.686.
(2) ①若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3.
因为0所以P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3
＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)·[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]
＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)
＝3pq(p－q)(pq－p－q)
＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，
所以P甲>P乙，则应该由甲参加第一阶段比赛．
②若甲先参加第一阶段比赛，则比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15，
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3[防范失误①]，
所以E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q.
若乙先参加第一阶段比赛，则比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10, 15，
同理可得E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p，
所以E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]
＝15(p－q)pq(p＋q－3)．
因为0则(p－q)pq(p＋q－3)>0，
所以应该由甲参加第一阶段比赛[防范失误②]．
本题与【基础活动】的第2,3题对比，发现：三题均为随机变量的数字特征的应用，数学期望只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质；随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于数学期望的平均程度．　
变式训练　[2025温州二模]PageRank算法是某搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法．其核心思想是通过分析网页之间的链接关系，评估每个网页的相对重要性．假设一个小型的互联网由A，B，C，D四个网页组成，它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接，假设某用户从网页A开始浏览(记为第1次停留)．
(1) 求该用户第3次停留在网页D上的概率；
(2) 某广告公司准备在网页B，C中选择一个投放广告，
以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据．
试问该公司应该选择哪个网页？请说明理由．
题后反思　利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键：
(1) 建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；
(2) 分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
(3) 求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；
(4) 做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策．
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1 [2025赣州二模]在一次数学测验中，有单选题(即单项选择题)和多选题(即多项选择题)两种．单选题指四个选项中仅有一个正确，选对得5分，选错或不选得0分；多选题指四个选项中有两个或三个正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的或不选得0分．
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2 某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率．
(1) 估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2) 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
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①记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；
②如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与①中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明)
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