河南省名校联考2025-2026学年下学期高三开学考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省名校联考2025-2026学年下学期高三开学考数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 152.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-01 00:00:00 | ||
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文档简介
高三数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知复数 在复平面内对应的点为 ,则
A. 2i B. 2 C. -2i D. -2
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 的公比为
A. B. C. 2 D. 4
4. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,纵坐标不变,再将所得图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则
A. B.
C. D.
5. 若函数 的图象在点 处的切线也是函数 的图象的切线,则实数
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
6. 若函数 ,且 ) 在 上单调递增,则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
7. 若直线 与曲线 恰有三个不同的公共点，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的面积为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 如图，矩形 是圆柱 的轴截面， 为 的中点， 为 的 中点,则
A. 圆柱 的侧面积为
B. 三棱锥 的体积为
C. 圆柱 的外接球的表面积为
D. 平面
10. 已知椭圆 的离心率为 ,长轴长为 为 的右焦点,点 在 上,且关于 轴对称,其中点 在第一象限. 分别为线段 的中点,点 为坐标原点,则 A. 的方程为
B.
C. 的最小值为
D. 的面积的取值范围为
11. 已知函数 满足 ,且 ,则
A. B.
C. 的解集为 D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知向量 ，若 ，则实数 _____.
13. 已知 为抛物线 的焦点,过点 的直线与 在第四象限内交于 两点,若 ，则直线 的斜率为_____.
14. 某数学兴趣小组有 4 名男生与 2 名女生参加答题活动，规则如下:先从这 6 人中随机选 1 人回答问题,再从剩下的 5 人中随机选 1 人回答问题,依此进行,直到剩下的学生的性别一样或仅剩 1 人时答题结束. 为答题结束时选取答题的人数,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取 6 名学生，对其入学的数学成绩 (分)和高一第一学期期末考试数学成绩 (分)进行了统计，如下表:
中考数学成绩 50 60 70 80 90 100
高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130
(1)规定高一期末数学成绩不低于 90 分为及格，不低于 120 分为优秀，从所抽取的 6 人中随机选取 1人，记 A 为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，B 为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求 ；
(2)由散点图可知 与 之间具有线性相关关系，求 关于 的经验回归方程并估计某中考数学成绩为 110 分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩(成绩保留整数，采用四舍五入法).
附:经验回归模型 中， ;
参考数据: .
16. (本小题满分 15 分)
在数列 中, .
(1)求 的通项公式；
(2)设 为 的前 项和，求数列 的前 项和 .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在 中， 为线段 上一点， ，过点 作 ,交 于点 ,将 沿 翻折至 的位置，使得 .
(1)证明: 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
18. (本小题满分 17 分)
已知双曲线 的左、右顶点分别为 的渐近线方程为 .
(1)求 的方程；
(2)若 是 上不同于 的两点，过 作与直线 平行的直线交直线 于点 ，过 作与直线 平行的直线交直线 于点 .
(i) 若点 在第一象限，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的最小值；
(ii)证明:直线 恒过定点.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)证明: ；
(3)设 ，若存在 ，使得 ，证明: .
高三数学参考答案、提示及评分细则
1. 由题意知 ，所以 . 故选 A.
2. 因为 . 故选 D.
3. C 设 的公比为 ,由 ,得 ,化简得 ,又 ,所以 . 故选 C.
4. A 将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到 的图象,再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得 的图象. 故选 A.
5. 由题意得 ，则 ，所以 的图象在点 处的切线方程为 ，即 . 设直线 与 的图象相切于点 ,又 ,则 ,解得 ,所以 ,即 ,则 . 故选 C.
6. 当 时, 由 ,知 在 上不单调递增,当 时,因为 在 上单调递增,所以 解得 . 故实数 的取值范围为 . 故选 D.
7. 由题意得 ,所以 ,当 时,曲线 为 ; 当 时,曲线 为 ,显然 为半圆,如图所示,易得直线 经过定点 ,当直线 与 相切时,易得 ,故当 时,直线 与曲线 恰有三个公共点,即 的取值范围为 . 故选 D.
8.C 由题意及正弦定理,得 ,又 ,所以 ,则 ,因为 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,又 ,所以当且仅当 时, ,又 ,且 ,所以 ,所以 ,则 ,故 的面积 . 故选 C.
9. BCD 圆柱 的侧面积 ,故 A 错误; 由题意得 ,且 ，所以 ，故 正确；取 的中点 ，连接 ， 易求得 ，所以圆柱 的外接球的半径为 ，故该球的表面积为 ，故 正确; 取 的中点 ,连接 ,因为 为 的中点,所以 ,又 , ,所以 ,所以四边形 为平行四边形,则 ,又 平面 公平面 ,所以 平面 ,故 正确. 故选 BCD.
10. 设 的焦距为 ,由题意知 解得 ,所以 , 所以 的方程为 ,故 正确; 如图,设 的左焦点为 ,连接 ,由 的对称性知 ,因为 分别为线段 的中点,所以 ,由椭圆的定义知 ,故 B 正确; 设 ,则 ,所以 ,所以 ,当 时, ,故 C 错误; ,而 ,所以 ,即 的面积的取值范围为 ，故 D 正确. 故选 ABD.
11. ACD 令 ,则 ,即 ,因为 ,所以 ,则 ,故 A 正确; 令 ,则 ,所以 ,又 ,所以 0,故 B 错误; 令 ,得 ,即 ,所以 ,由 , 得 ,即 ,两边平方并整理得 ,解得 ,所以不等式 的解集为 ,故 正确; 令 ,则 ,所以 在 上单调递减,又 ,所以 ,所以 ,取 ,得 ,所以 ,又 在 上单调递减,所以 ,故 正确. 故选 ACD.
12.4 由题意得 ，因为 ，所以 ，解得 .
13. 设 ,由题意知直线 的斜率存在,设为 ,则 的方程为 ,联立 整理得 ,则 ,所以 ,且 ,由抛物线的定义知 ,因为 ,即 ,所以 ,解得 ,所以 ,解得 ,故 .
14. 的可能取值为 ,所以 .
15. 解: (1) 由题意知 , 2 分
所以 . 4 分
或 . 4 分
(2)由题意得 , 6 分
8 分
所以 , 10 分
所以 ,所以 . 12 分
当 时, ,即估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为 145 分. 13 分
16. 解: (1) 因为 ,所以 , 2 分
所以数列 是常数列, 3 分
又 ,所以 ,故 . 5 分
(2)由(1)可知， 是等差数列，则 ， ， 7 分
所以 , 10 分
故 , 13 分
. 15 分
17.(1)证明:因为 ,所以 , 2 分
因为 ,且 平面 ,所以 平面 . 3 分
又 平面 ,所以 ,由题意易知 ,
而 ,所以 ,则 . 5 分
又 ,且 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ，
由(1)易证平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,故 两两垂直,以 为原点,直线 分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,所以 . 8 分
设平面 的一个法向量 ,则 即
令 ,得 ,所以 . 9 分
易证 ,又 ,
所以 . 10 分
设 ,平面 的一个法向量 ,
则 即 令 ,得 ,所以 . 11 分
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 , 13 分
解得 ,或 (舍),此时 , 14 分
所以在线段 上存在点 使得平面 和平面 的夹角的余弦值为 ,且此时 . 15 分
18.(1)解:由题意得 ，所以 ， 1 分
又 的渐近线方程为 ,所以 ,则 , 2 分
故 的方程为 . 3 分
(2)(1)解:由(1)知 ， ，设 ，则 ， ，所以 ， 4 分
所以 . 6 分
又 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取得等号,
故 的最小值为 . 8 分
( II ) 证明: 由题意设直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,由 10 分
由 得 ,即 ,所以 ,
,所以 . 11 分
由题意得直线 的方程为 ,即 . 12 分
由 ( i ) 知直线 的斜率为 ,故其方程为 ,设 ,
由 得 所以 , 13 分
设点 为直线 上一点,则 ,又 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,
所以 , 16 分
故直线 恒过定点 . 17 分
19.(1)解:由 ,得 , 1 分
令 ,解得 ; 令 ,解得 ,或 , 3 分
故 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 . 4 分
(2)证明:设 ，
则 , 5 分
因为 ,则 ,所以 , 所以 , 7 分
所以 在 上单调递增,又 ,所以当 时, , 8 分
所以当 时, ,所以 , 即 . 9 分
(3)证明: 由 ，得 ，
则 ,
即 . 11 分
由( 2 )知， 在 上单调递增，所以 ，
即 ,所以 ,
所以 , 13 分
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增,则 ,即 , 15 分
又 ,所以 ,即 . 16 分
又 ,所以 ,所以 . 17 分
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知复数 在复平面内对应的点为 ,则
A. 2i B. 2 C. -2i D. -2
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 的公比为
A. B. C. 2 D. 4
4. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍,纵坐标不变,再将所得图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则
A. B.
C. D.
5. 若函数 的图象在点 处的切线也是函数 的图象的切线,则实数
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
6. 若函数 ,且 ) 在 上单调递增,则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
7. 若直线 与曲线 恰有三个不同的公共点，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的面积为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 如图，矩形 是圆柱 的轴截面， 为 的中点， 为 的 中点,则
A. 圆柱 的侧面积为
B. 三棱锥 的体积为
C. 圆柱 的外接球的表面积为
D. 平面
10. 已知椭圆 的离心率为 ,长轴长为 为 的右焦点,点 在 上,且关于 轴对称,其中点 在第一象限. 分别为线段 的中点,点 为坐标原点,则 A. 的方程为
B.
C. 的最小值为
D. 的面积的取值范围为
11. 已知函数 满足 ,且 ,则
A. B.
C. 的解集为 D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知向量 ，若 ，则实数 _____.
13. 已知 为抛物线 的焦点,过点 的直线与 在第四象限内交于 两点,若 ，则直线 的斜率为_____.
14. 某数学兴趣小组有 4 名男生与 2 名女生参加答题活动，规则如下:先从这 6 人中随机选 1 人回答问题,再从剩下的 5 人中随机选 1 人回答问题,依此进行,直到剩下的学生的性别一样或仅剩 1 人时答题结束. 为答题结束时选取答题的人数,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取 6 名学生，对其入学的数学成绩 (分)和高一第一学期期末考试数学成绩 (分)进行了统计，如下表:
中考数学成绩 50 60 70 80 90 100
高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130
(1)规定高一期末数学成绩不低于 90 分为及格，不低于 120 分为优秀，从所抽取的 6 人中随机选取 1人，记 A 为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，B 为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求 ；
(2)由散点图可知 与 之间具有线性相关关系，求 关于 的经验回归方程并估计某中考数学成绩为 110 分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩(成绩保留整数，采用四舍五入法).
附:经验回归模型 中， ;
参考数据: .
16. (本小题满分 15 分)
在数列 中, .
(1)求 的通项公式；
(2)设 为 的前 项和，求数列 的前 项和 .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在 中， 为线段 上一点， ，过点 作 ,交 于点 ,将 沿 翻折至 的位置，使得 .
(1)证明: 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
18. (本小题满分 17 分)
已知双曲线 的左、右顶点分别为 的渐近线方程为 .
(1)求 的方程；
(2)若 是 上不同于 的两点，过 作与直线 平行的直线交直线 于点 ，过 作与直线 平行的直线交直线 于点 .
(i) 若点 在第一象限，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的最小值；
(ii)证明:直线 恒过定点.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)证明: ；
(3)设 ，若存在 ，使得 ，证明: .
高三数学参考答案、提示及评分细则
1. 由题意知 ，所以 . 故选 A.
2. 因为 . 故选 D.
3. C 设 的公比为 ,由 ,得 ,化简得 ,又 ,所以 . 故选 C.
4. A 将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到 的图象,再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得 的图象. 故选 A.
5. 由题意得 ，则 ，所以 的图象在点 处的切线方程为 ，即 . 设直线 与 的图象相切于点 ,又 ,则 ,解得 ,所以 ,即 ,则 . 故选 C.
6. 当 时, 由 ,知 在 上不单调递增,当 时,因为 在 上单调递增,所以 解得 . 故实数 的取值范围为 . 故选 D.
7. 由题意得 ,所以 ,当 时,曲线 为 ; 当 时,曲线 为 ,显然 为半圆,如图所示,易得直线 经过定点 ,当直线 与 相切时,易得 ,故当 时,直线 与曲线 恰有三个公共点,即 的取值范围为 . 故选 D.
8.C 由题意及正弦定理,得 ,又 ,所以 ,则 ,因为 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,又 ,所以当且仅当 时, ,又 ,且 ,所以 ,所以 ,则 ,故 的面积 . 故选 C.
9. BCD 圆柱 的侧面积 ,故 A 错误; 由题意得 ,且 ，所以 ，故 正确；取 的中点 ，连接 ， 易求得 ，所以圆柱 的外接球的半径为 ，故该球的表面积为 ，故 正确; 取 的中点 ,连接 ,因为 为 的中点,所以 ,又 , ,所以 ,所以四边形 为平行四边形,则 ,又 平面 公平面 ,所以 平面 ,故 正确. 故选 BCD.
10. 设 的焦距为 ,由题意知 解得 ,所以 , 所以 的方程为 ,故 正确; 如图,设 的左焦点为 ,连接 ,由 的对称性知 ,因为 分别为线段 的中点,所以 ,由椭圆的定义知 ,故 B 正确; 设 ,则 ,所以 ,所以 ,当 时, ,故 C 错误; ,而 ,所以 ,即 的面积的取值范围为 ，故 D 正确. 故选 ABD.
11. ACD 令 ,则 ,即 ,因为 ,所以 ,则 ,故 A 正确; 令 ,则 ,所以 ,又 ,所以 0,故 B 错误; 令 ,得 ,即 ,所以 ,由 , 得 ,即 ,两边平方并整理得 ,解得 ,所以不等式 的解集为 ,故 正确; 令 ,则 ,所以 在 上单调递减,又 ,所以 ,所以 ,取 ,得 ,所以 ,又 在 上单调递减,所以 ,故 正确. 故选 ACD.
12.4 由题意得 ，因为 ，所以 ，解得 .
13. 设 ,由题意知直线 的斜率存在,设为 ,则 的方程为 ,联立 整理得 ,则 ,所以 ,且 ,由抛物线的定义知 ,因为 ,即 ,所以 ,解得 ,所以 ,解得 ,故 .
14. 的可能取值为 ,所以 .
15. 解: (1) 由题意知 , 2 分
所以 . 4 分
或 . 4 分
(2)由题意得 , 6 分
8 分
所以 , 10 分
所以 ,所以 . 12 分
当 时, ,即估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为 145 分. 13 分
16. 解: (1) 因为 ,所以 , 2 分
所以数列 是常数列, 3 分
又 ,所以 ,故 . 5 分
(2)由(1)可知， 是等差数列，则 ， ， 7 分
所以 , 10 分
故 , 13 分
. 15 分
17.(1)证明:因为 ,所以 , 2 分
因为 ,且 平面 ,所以 平面 . 3 分
又 平面 ,所以 ,由题意易知 ,
而 ,所以 ,则 . 5 分
又 ,且 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ，
由(1)易证平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,故 两两垂直,以 为原点,直线 分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,所以 . 8 分
设平面 的一个法向量 ,则 即
令 ,得 ,所以 . 9 分
易证 ,又 ,
所以 . 10 分
设 ,平面 的一个法向量 ,
则 即 令 ,得 ,所以 . 11 分
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 , 13 分
解得 ,或 (舍),此时 , 14 分
所以在线段 上存在点 使得平面 和平面 的夹角的余弦值为 ,且此时 . 15 分
18.(1)解:由题意得 ，所以 ， 1 分
又 的渐近线方程为 ,所以 ,则 , 2 分
故 的方程为 . 3 分
(2)(1)解:由(1)知 ， ，设 ，则 ， ，所以 ， 4 分
所以 . 6 分
又 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取得等号,
故 的最小值为 . 8 分
( II ) 证明: 由题意设直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,由 10 分
由 得 ,即 ,所以 ,
,所以 . 11 分
由题意得直线 的方程为 ,即 . 12 分
由 ( i ) 知直线 的斜率为 ,故其方程为 ,设 ,
由 得 所以 , 13 分
设点 为直线 上一点,则 ,又 ,
则 ,
所以 ,
所以 ,
所以 , 16 分
故直线 恒过定点 . 17 分
19.(1)解:由 ,得 , 1 分
令 ,解得 ; 令 ,解得 ,或 , 3 分
故 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 和 . 4 分
(2)证明:设 ，
则 , 5 分
因为 ,则 ,所以 , 所以 , 7 分
所以 在 上单调递增,又 ,所以当 时, , 8 分
所以当 时, ,所以 , 即 . 9 分
(3)证明: 由 ，得 ，
则 ,
即 . 11 分
由( 2 )知， 在 上单调递增，所以 ，
即 ,所以 ,
所以 , 13 分
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增,则 ,即 , 15 分
又 ,所以 ,即 . 16 分
又 ,所以 ,所以 . 17 分
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