11.3公式法 课后同步培优训练（含答案）青岛版2025—2026学年七年级数学下册

11.3公式法课后同步培优训练青岛版2025—2026学年七年级数学下册
一、选择题
1．下列各多项式中，可以用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”．如：，称20为“和融数”．下面4个数为“和融数”的是（ ）
A．2022 B．2023 C．2020 D．2025
3．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）．
A．4184 B．4084 C．4284 D．4384
7．下列由左边到右边的式子变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
8．将多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．因式分解： ．
10．若关于的二次三项式有一个因式为，则的值为 ．
11．已知等腰三角形的两边长，满足，这个等腰三角形的周长为 ．
12．如图，有三种正方形或长方形卡片，其中卡片①4张，卡片②4张，卡片③1张，用这9张卡片可以拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 （用含a、b的代数式表示）．
三、解答题
13．因式分解：
(1)
(2)
14．如果一个正整数能写成，均为正整数，且，我们称这个数为“平方差数”，例如：，由，可得或根据等式性质把上、下两式相加，可得或．因为，均为正整数，所以为偶数，则应舍去，从而解得所以8是“平方差数”．据此回答下列问题：
(1)判断：6 “平方差数”（填“是”或“不是”）；
(2)如果一个三位数，它的百位为1，个位比十位大3，且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”，求出所有符合条件的三位数．
15．把下列各式因式分解：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
16．定义∶把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．例如∶．教科书中这样写道∶“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如∶(1)分解因式∶，做法∶；
(1)分解因式∶；
(2)当x为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
(3)已知a、b、c是三边的长，且满足，求三边的长．
17．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为厘米的大正方形，块是边长为厘米的小正方形，块是长为厘米，宽为厘米的相同的小长方形，且．
(1)观察图形，发现代数式可以因式分解为 ．
(2)若图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，求图中空白部分的面积．
18．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题．
若多项式有一个因式是，求m的值．
解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故．
根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题：
(1)若多项式有一个因式是，则m的值为_________；
(2)若多项式有因式和，求m，n的值；
(3)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．A
4．B
5．D
6．B
7．B
8．D
二、填空题
9．
10．5
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．【详解】（1）解：由题意得，，
由，可得或
把两式相加可得，或，
解得或，不是正整数，均不符合题意，
故6不是“平方差数”，
故答案为：不是；
（2）解：∵，为正整数，
∴为偶数，
∴与同是奇数或同是偶数，
∵，为偶数，
∴为偶数，
∴与都是偶数，
设该三位数十位上的数字为x，个位上的数字为，则其各个数位上的数字之和为，
∴该三位数各位数字之和，
∵为“平方差数”，
由，可得或，
可得，
∵为正整数，
∴为偶数，
∵为偶数，
∴x是偶数，
当时，，
∵当时，，解得，与a，b均为正整数矛盾，
∴此种情况不合题意，舍去；
当，
∴当时，，解得，符合题意，
∴该三位数是125，
当，
∴当时，，解得，符合题意，
∴该三位数是147；
当时，，
∴当时，，解得，符合题意，
∴该三位数是169，
当时，，与原数是三位数矛盾，
∴所有符合条件的三位数为125、147、169．
15．【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
16．【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∵，
∴，
当且仅当，即时，，值最小；
故当时有最小值，最小值为；
（3）解：，
，
，
，
∴，
∴．
17．【详解】（1）解：根据图形大长方形纸板可以表示为代数式，也可以表示为
∴
（2）解：图中阴影部分的面积为平方厘米，大长方形纸板的周长为厘米，
，，
∴，．
∵，，解得．
空白部分的面积平方厘米)．
18．【详解】（1）解：∵设另一个因式为，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：设，
由于上式为恒等式，分别取，得，
解得，．
（3）解：设，
则，
比较系数得，
解得，
该多项式为，
．