北师大版2025—2026学年八年级下册数学第一次月考核心素养达标卷（含答案）

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北师大版2025—2026学年八年级下册数学第一次月考核心素养达标卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．若a＞b，则在下列式子中，正确的是（　　）
A．2a＜2b B．﹣3a＞﹣3b C．a﹣2＜b﹣2 D．1﹣a＜1﹣b
2．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．9cm B．12cm
C．12cm或15cm D．15cm
4．点P（m﹣1，2m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m或m＞1 B．
C．m＜1 D．m
5．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若（k﹣1）x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．2
7．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　）
A．22 B．20 C．18 D．16
8．如图所示，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．某种服装的进价为240元，出售时标价为330元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于10%，那么至多打（　　）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
10．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　）
A．90° B．100° C．105° D．110°
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．不等式4x﹣1≤2x+1的所有非负整数解的和是 　 　 ．
12．已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是 　 　 ．
13．三个数4，1﹣a，4﹣2a在数轴上从左到右依次排列，则a的取值范围是：　 　 ．
14．如图，一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于点，且分别交x轴于点A（﹣2，0），点C（3，0），则0≤kx+b≤mx+n的解集 　 　 ．
15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，△BCD的面积为45，△ADC的面积为20，则△ABD的面积等于　 　 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝3，3∠B+∠C＝180°，则S△ABC的值为　 　 ．
北师大版2025—2026学年八年级下册数学第一次月考核心素养达标卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（1）解不等式：10+3（x+2）≤x﹣2；
（2）解不等式组：．
18．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数．
19．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，求BC的长．
20．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．
21．为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AB上一点，连接CD，AD＝CD，延长AC至点E，使得BE＝AB．
（1）求证：CD∥BE；
（2）若CD平分∠ACB，AC＝2，求CE的长．
23．如图，在直角坐标系中，直线l1：yx+1与x轴交于A，与直线l2：yx+m交于，直线l2分别与x轴、y轴交于C、D，连接AD．
（1）求出m、n的值；
（2）直接根据图象写出关于x的不等式x+1的解集；
（3）求出△ABD的面积．
24．问题探究：
（1）如图1，在△ABC中，∠B＝30°，D是AB边上的点，过点D作DE⊥BC于E，则的值为 　 　 ；
（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，D是边BC的中点，若P是AB边上一点，试求：的最小值；
（3）如图3，△ABC为等边三角形，D为AC中点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDH，M为线段BD上的一个动点，连接HM，若CD＝2，则当取最小值时，S△HMD＝ 　 　 ．
25．对于三个数a、b、c，M{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，如：，min{﹣1，2，3}＝﹣1；，.请根据材料解决下列问题：
【开胃小菜】
（1）填空：　 　 ；
若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的取值范围是　 　 ；
【解决问题】
（2）①若M{4，x+2，2x}＝min{4，x+2，2x}，求x；
②根据①你发现了结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则　 　 .”（填a、b、c大小关系）；
③运用②填空：
若M{2x+y+6，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+6，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝　 　 ；
【拓展延伸】
（3）在同一直角坐标系中作出函数的图象（不需列表，描点），通过图象，得出最大值为　 　 ．
参考答案
一、选择题
1．D．
2．C．
3．D．
4．B．
5．D．
6．C．
7．D．
8．D．
9．C．
10．B．
二、填空题
11．1．
12．3≤a＜4．
13．a＜﹣3．
14．1≤x≤3．
15．25．
16．．
三、解答题
17．【解答】解：（1）∵10+3（x+2）≤x﹣2，
∴10+3x+6≤x﹣2，
3x﹣x≤﹣2﹣10﹣6，
2x≤﹣18，
则x≤﹣9；
（2）由4+3x＜13得：x＜3，
由x≤2得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
18．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴AB＝AM+MN+BN＝CM+MN+CN，
∵△CMN的周长为15cm，
∴CM+MN+CN＝15cm，
∴AB＝15cm，
即AB的长为15cm；
（2）在△ABC中，∠ACB＝120°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，
∴∠MCA+∠NCB＝∠A+∠B＝60°，
∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠MCA+∠NCB）＝120°﹣60°＝60°，
即∠MCN的度数为60°．
19．【解答】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长为14，
∴AB+AD+BD＝14，
∴AB+AD+DC＝AB+AC＝14，
∴AB＝14﹣8＝6，
由勾股定理得，BC10（cm）．
20．【解答】（1）证明：∵∠DOB＝90°﹣∠AOD，∠AOC＝90°﹣∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
又∵OC＝OD，OA＝OB，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD＝2，∠CAO＝∠DBO＝45°，
∴∠CAB＝∠CAO+∠BAO＝90°，
∴CD．
21．【解答】解：（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．
（2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥（10﹣m）吨，
依题意得：600m+500（10﹣m）≤5600，
解得：m≤6．
答：小姣最多能购买甲种有机肥6吨．
22．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∵AB＝BE，
∴∠A＝∠E，
∴∠ACD＝∠E，
∴CD∥BE；
（2）解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠A＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCD，
∵∠ABC＝90°，
∴3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
即∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠E＝30°，
∵AC＝2，
∴BCAC＝1，
∵CD∥BE，
∴∠CBE＝∠BCD＝30°，
即∠E＝∠CBE，
∴CE＝BC＝1．
23．【解答】解：（1）∵直线yx+1经过，
∴n，
∵直线yx+m经过B（，），
∴，
∴m＝3；
（2）由函数图象可知，当x时，x+1，∴关于x的不等式x+1的解集为x；（3）由（1）得直线l2的解析式为y，设直线l1与y轴的交点为H，
令x＝0，则yx+1＝1，
∴H（0，1），
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
令x＝0，则y3，
∴D（0，3），
∴△ABD的面积＝△AHD的面积+△HBD的面积（3﹣1）×2（3﹣1）．
24．【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝30°，DE⊥BC于E，
∴BD＝2DE，
∴，
故答案为：；
（2）在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，D是边BC的中点，如图2，作AH⊥AC，PE⊥AH于E，DF⊥AH于F交AB于T．
∴AB＝BC＝5，∠BAC＝∠C＝45°，
∴BD＝CD＝2.5，
∵DF⊥AH，AH⊥AC，
∴DF∥AC，
∴∠BTD＝∠BAC＝45°，∠BDT＝∠C＝45°，
∴∠BTD＝∠BDT，
∴BT＝BD＝AT＝2.5，，
∵AH⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠HAC＝90°，∠HAT＝45°，
∴，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知，当点E与F重合时，的值最小，最小值为DF，，
即的最小值为；
（3）如图3，过点M作EM⊥BC于点E，过点H作HP⊥BD于点P，作HG⊥BC于点G，且交BD于点Q，
∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，CD＝2，
∴BD⊥AC，，
∴BC＝2CD＝4，，
∵以BD为斜边向上作等腰Rt△BDH，
∴，
∵EM⊥BC，∠EBM＝30°，
∴，
∴，
当H、M、G三点共线，即点M与点Q重合时，最小，最小值为GH，
∵∠BGQ＝∠HPQ＝90°，∠BQG＝∠HQP，
∴∠PHQ＝∠CBD＝30°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
25．【解答】解：（1）①由题意，∵1，
∴．
∴．
故答案为：．
②由题意，∵min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，
∴．
∴0≤x≤1．
故答案为：0≤x≤1．
（2）①M{4，x+2，2x}x+2＝min{4，x+2，2x}，
∴．
∴．
∴x＝2．
②如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么a＝b＝c．理由如下：
若a≥c，b≥c，
∴min{a，b，c}＝c，
∵M{a，b，c}，M{a，b，c}＝min{a，b，c}，
∴c，
∴a+b﹣2c＝0，
∴（a﹣c）+（b﹣c）＝0，
∵a≥c，b≥c，
∴a﹣c≥0，b﹣c≥0，
∴a﹣c＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c．
当b≥a，c≥a或≥b，c≥b时，同样的方法可得：a＝b＝c．
故答案为：a＝b＝c．
③∵M{2x+y+6，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+6，x+2y，2x﹣y}，
∴由②知，2x+y+6＝x+2y＝2x﹣y，
∴．
∴x+y＝﹣9+（﹣3）＝﹣12．
故答案为：﹣12．
（3）由题意，在平面直角坐标系中画出图象如下．
∴结合图象可得，的最大值为0．
故答案为：0．
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