北师大版2025—2026学年八年级下册数学第一次月考通关训练核心素养达标卷（含答案）

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北师大版2025—2026学年八年级下册数学第一次月考通关训练核心素养达标卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．已知a＞b，则下列变形正确的是（　　）
A．ac＜bc B．﹣a＜﹣b C．a﹣2＜b﹣2 D．
2．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　）
A．40° B．80° C．100° D．40°或100°
3．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为（　　）
A．4cm B．6cm C．4cm或8cm D．8cm
5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
7．若（m﹣1）x＞m﹣1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m≤﹣1 C．m＜1 D．m≥1
8．已知关于x的不等式组的解集为x＞﹣1，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣1 B．a≤﹣1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
9．元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点
D．三边上高的交点
10．如果不等式组有且仅有3个整数解．那么m的取值范围是（　　）
A．4≤m≤5 B．4≤m＜5 C．4＜m＜5 D．4＜m≤5
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．等腰三角形的腰长为5，另一边长为9，则它的周长为　 　 ．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ADC的面积＝9，DE＝2，则AC的长是 　 　 ．
13．已知方程组的解x，y都是正数，则m的取值范围是　 　 ．
14．如图，y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式x+1＜ax+3的解集是 　 　 ．
15．已知点P（m﹣3，1﹣m）在第二象限，则m的取值范围是 　 　 ．
16．如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且△ABC是等腰三角形，则满足条件的C有 　 　 个．
北师大版2025—2026学年八年级下册数学第一次月考通关训练核心素养达标卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列一元一次不等式．
（1）3x﹣1≥2（x+1）；
（2）．
18．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
19．如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，延长BC至点F，使CF＝CD．过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：点E是BF的中点；
（2）若CE＝2，求BF的长．
20．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元）
第一周 10 12 20000
第二周 20 15 31000
（1）求a，b的值；
（2）若计划第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？
21．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B．
（1）求证：AE⊥AC；
（2）求DE的长．
22．如图，在△ABC中，，D为BC上一点，AD＝BD＝3，在DA上我取DF＝DC，连接BF并延长交AC于点E．
（1）求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）若∠ABE＝15°，求CE的长．
23．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
24．对于m，n定义一种新运算T，规定：T（m，n），即：当m≥n时，T（m，n）＝2m+3n+3；当m＜n时，T（m，n）＝4m﹣3n+1，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算．
（1）T（2，1）＝ 　 　 ；T（2，3）＝ 　 　 ；
（2）解不等式组；
（3）若关于x的不等式T（x+t，x+t﹣1）＜10t的最大整数解为3t+5，则t＝ 　 　 ．
25．如图1，△ABD中，AD＝2，BD⊥AD于点D，BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，BD与AC相交于点E．
（1）求AB的长；
（2）延长AD与BC相交于一点P，如图2，求证：△ABP是等边三角形；
（3）如图3，点M是AB中点，点N是BD上一动点，连接MN，AN．当时，求△BMN面积的最大值．
参考答案
一、选择题
1．B．
2．D．
3．C．
4．A．
5．B．
6．D．
7．C．
8．B．
9．A．
10．B．
二、填空题
11．19．
12．9．
13．m．
14．x＜1．
15．m＜1．
16．8．
三、解答题
17．【解答】解：（1）3x﹣1≥2（x+1），
去括号得，3x﹣1≥2x+2，
移项得，3x﹣2x≥2+1，
合并同类项得，x≥3；
（2）1，
去分母得，2（x﹣2）﹣5（x+1）＞10，
去括号得，2x﹣4﹣5x﹣5＞10，
移项得：2x﹣5x＞10+9，
合并同类项得：﹣3x＞19，
系数化为1得，x．
18．【解答】解：，
由1+4x≤2x+1得x≤0，
由得x＞﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4＜x≤0，
不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
19．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴．
∵CD＝CF，∠F+∠CDF＝∠ACB＝60°，
∴∠F＝∠CDF＝30°，
∴∠CBD＝∠F＝30°，
∴BD＝DF
∵DE⊥BF，
∴点E是BF的中点；
（2）解：∵DE⊥BF，
∴∠DEC＝90°．
∵∠ACB＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝4，
∴CD＝CF＝4，
∴EF＝CE+CF＝6．
∵E是BF的中点，
∴BF＝2EF＝12．
20．【解答】解：（1）由题意得，
解得：，
所以a的值为800，b的值为1000；
（2）设该专卖店第三周售出A型车x辆，B型车（25﹣x）辆，销售总额为W元，
由题意得：W＝800x+1000（25﹣x）＝﹣200x+25000，
由x＜25﹣x≤2x，
解得；
x取整数，x＝9，10，11，12，
∵W随着x的增大而减小，
∴当x＝9时，W取得最大值，此时W＝﹣200×9+25000＝23200（元），25﹣x＝16（辆）．
所以该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额为最大，为23200元，
答：该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额为最大，为23200元．
21．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥BD，
∴∠AEF+∠AED＝90°，
∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠C+∠AED＝90°，
∴∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC；
（2）解：∵∠EAC＝90°，
∴AE2+AC2＝CE2，
∵CE＝CD+DE＝DE+8，
∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC，
∴AD6，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2，
∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2，
解得：DE＝4.5．
22．【解答】（1）证明：∵，AD＝BD＝3，
∴，AD2＝BD2＝9，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）解：由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠DAB＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵DF＝DC，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（SAS），
∴∠DBF＝∠DAC＝∠DBA﹣∠ABE＝45°﹣15°＝30°，
∴，
在Rt△ADC中由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2即32+CD2＝（2CD）2，
∴，
∴，
∴．
23．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角）．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
∴DE＝DF
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B＝60°，
∵∠BED＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BEBD，
∵BE＝1，
∴BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴△ABC的周长为12．
24．【解答】解：（1）由题意可知T（2，1）＝2×2+3×1+3＝10；
T（2，3）＝4×2﹣3×3+1＝0，
故答案为：10；0；
（2）∵T（m，n），
∴不等式组化为，
解得﹣2＜x＜6；
（3）不等式T（x+t，x+t﹣1）＜10t化为2（x+t）+3（x+t﹣1）+3＜10t，
2x+2t+3x+3t﹣3+3＜10t，
5x＜5t，
x＜t，
∵关于x的不等式T（x+t，x+t﹣1）＜10t的最大整数解为3t+5，
∴3t+5＜t≤3t+6，
解得﹣3≤t，
∵3t+5为最大的整数，
∴t或t＝﹣3，
故答案为：或﹣3．
25．【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴，
∵BD⊥AD，
∴∠D＝90°，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，
∴AB＝2AD＝2×2＝4．
（2）证明：∵BD平分∠BAC，∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠P＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠P，
∴△ABP是等边三角形；
（3）解：过点M作△BMN边BN上的高MH，如图3，
则△BMN的面积，
∵点M是AB中点，
∴点M是定点，
∴MH为定值，
∴当BN的值最大时，△BMN的面积最大，
∵点N是线段BD上一动点，
∴当点N与点D重合时，BN的值最大，
如图4，当点N与点D重合时，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AD＝2，，BD⊥AD，
∴，
∵点M是AB中点，
∵AM＝BM，
∴，，
∴，
∴当点N与点D重合时，△BMN面积的最大值为．
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