22.2
相似三角形的判定（一）
学习目标：
经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程.
2．掌握两个三角形相似的判定方法————相似三角形的定义（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似），和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．
会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
重点、难点
1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
2．难点：三角形相似的预备定理的运用．
预习导学
相似多边形的主要特征是什么？
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
定义法：在△ABC与△A′B′C′中，根据定义，若有什么条件，则△ABC∽△A′B′C′？
若△ABC∽△A′B′C′，根据定义，则可得到什么？
如果△ABC∽△A′B′C′，相似比k=1，这两个三角形有怎样的关系？
5.
三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形
二．互动探究
1.①例：用定义法证明：（三角形相似的预备定理）
平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②联系图形，写一写定理的运用的推理格式。
2.例：如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
3.如图，DE∥BC，写出图中一对相似三角形，并写出对应边的比例式。
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
三、展示提升
四、自我检测
1．完成课本p78练习
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
3.如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形
对，请写出来.
4.△ABC∽△DEF的相似比是m，△DEF∽△ABC的相似比是n，则mn
=
.
5.如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
6.、如图，梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,OB=8,
OA=9,
CD=6．求OD、OC的长22.2
相似三角形的判定（五）
学习目标：
1、掌握并会证明直角三角形相似的特殊判定定理.
2、会用直角三角形相似的特殊判定定理进行一些简单的判断、证明和计算.
重点、难点
运用直角三角形相似的特殊判定定理解决有关问题
一、预习导学
1.已知在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B
=
∠E
=
90°
(1)若∠C
=
∠F，则Rt△ABC
Rt△DEF；
(2)若,则Rt△ABC
Rt△DEF；
(3)若，则Rt△ABC
Rt△DEF.
2.直角三角形全等的判定定理（“HL定理”）.
斜边和一条直角边
的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”定理.
想一想：判定两个直角三角形全等时，除根据一般三角形全等判定定理外，还有“HL”方法.类似地，判定两个直角三角形相似，除了前面一般三角形的三个判定定理外，是否也有特殊方法呢？
4.结合课本写一写直角三角形相似的特殊判定定理的证明过程.
二．互动探究
1.如图，∠ACB
=
∠ADC
=
90°，BC
=
a
，AC
=
b
,AB
=
c
，
要使△ABC与△CAD相似,则CD长为多少？
2.如图，直角△ABC内有三个内接正方形，DF
=
9cm
，GK
=
6cm
，求第三个正方形的边长.
三、展示提升
四、自我检测
1.课本p84练习1、2、3题。
2.在Rt△ABC与Rt△中，∠C=∠=90，AC=3cm,BC=2cm,=4.2cm,
=2.8cm.求证：△∽△ABC
3.如图，P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过P点
作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条
件的直线共有（
）条.
A、1
B、2
C、3
D、4
4.如图，正方形ABCD的边长等于6cm，P在AB上，且AP:PB
=
1:2
,
PQ⊥PC交AD于Q，求AQ的长.
五、自我小结22.2
相似三角形的判定（二）
学习目标：
1、掌握并会推导相似三角形的判定定理1.
2、会用相似三角形的判定定理1进行一些简单的判断、证明和计算.
重点、难点
灵活运用相似三角形的判定定理1证明和解决有关问题．
预习导学
定理：
三角形一边的直线与其他两边（或）相交，截得的三角形与原三角形
.
2、到目前为止，我们有哪些判断三角形相似的方法？
3、思考：①根据定义判定两个三角形相似需要哪些条件？猜想：能否和判断三角形全等一样，也用很少的条件就能判定三角形相似呢？
②有一个角对应相等的两个三角形相似吗？有两个角对应相等的两个三角形相似吗？
4.相似三角形的判定定理1是什么？
二．互动探究
1.
证明：两角分别相等的两个三角形相似。
2.
在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？
3.如图，△ABC和△ADE的边BC、AD相交于点O，且∠1
=
∠2
=
∠3，点C在DE上，
求证：△ABC∽△ADE.
4.如图，正方形ABCD中，AB
=
2，P是BC边上不与B、C重合的任意一点，DQ⊥AP于Q，试证明△DAQ∽△APB，当点P在BC上变动时，线段DQ也随之变化，设PA
=
x，DQ
=
y,求y与x之间的函数关系式.
三、展示提升
四、自我检测
1.下面各组中的两个三角形不一定相似的是（）。
（1）都有一个角是50°的两个等腰三角形；
（2）都有一个角是120°的两个等腰三角形；
（3）都有一个角是60°的两个等腰三角形；
（4）都有一个角是90°的两个等腰三角形；
填一填（1）如图1，点D在AB上，当∠＝∠时，△ACD∽△ABC。
（2）如图2，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件
就可以使△ADE与原△ABC相似。
3.
课本P79练习1、2题
4.如图，在△ABC中，AB
=
AC
，∠A
=
36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么图中与△ABC相似的三角形有哪些？写出来并说明理由.
A
B
D
C
图1
A
B
C
图222.2
相似三角形的判定（三）
学习目标：
1、掌握并会推导相似三角形的判定定理2.
2、会用相似三角形的判定定理2进行一些简单的判断、证明和计算.
重点、难点
灵活运用相似三角形的判定定理2证明和解决有关问题．
预习导学
到目前为止，我们有哪些判断三角形相似的方法？
2.类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
已知：∠A=∠A1，==k
求证： ABC∽ A1B1C1
归纳：如果两个三角形的两组对应边的比，并且相应的夹角，那么这两个三角形相似。
定理运用的推理格式：(填空)
如图，∵=，∠A=∠A1
∴
ABC∽ A1B1C1
讨论：对于 ABC与 A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，这两个三角形相似吗？举例说明。
3.若∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，∠A1＝1200，A1B1=
3cm，A1C1=6cm.则
ABC与 A1B1C1是否相似，并说明理由：
二．互动探究
1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是(
)
A．5
B．8.2
C．6.4
D．1.8
2.如图，AB AC=AD AE，且∠1=∠2，
求证：△ABC∽△AED．
3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD AD，
求证：△ADC∽△CDP．
三、展示提升
四、自我检测
1.在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A'C′＝2cm，A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是______________．
2.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，BF=BC，则与△AED相似的三角形是_______．
3.如图，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是
(
)
A．
B．
C．
D．
4.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=______________时，△ADE与△MNC相似.22.2
相似三角形的判定（六）
学习目标：
1、进一步复习巩固相似三角形的判定定理.
2、能灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.
重点、难点
灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.
预习导学
回忆相似三角形的判定定理的内容：
预备定理：
.
定理1可简单说成：
.
定理2可简单说成：
.
定理3可简单说成：
.
直角三角形相似的特殊判定定理：
.
2.想一想：判定一般的两个三角形相似有几种方法？判定两个直角三角形相似有几种方法？
（定义法除外）
3.如图，点D为△ABC的AB边一点（AB>AC）,下列条件不一定能保证
△ACD∽△ABC的是（
）．
A.∠ADC=∠ACB
B.∠ACD=∠B
C.
互动探究
1.
如图，BD、CE为△ABC的高，求证：∠AED＝∠ACB．
2.已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．
3.例：已知△ABC，△DCE，△EFG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连接BF，分别交AC，DC，DE于P，Q，R．求证：△BFG∽△FEG，尝试用不同的方法证明.
三、展示提升
四、自我检测
1.下列图形不一定相似的是（
）．
A、有一个角是120°的两个等腰三角形
B、有一个角是60°的两个等腰三角形
C、两个等腰直角三角形
D、有一个角是45°的两个等腰三角形
2.如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，且BD=a，BC=b，当AC与a，b满足什么关系时，△ACB∽△CBD？
3.请用相似形的知识证明勾股定理。
4.如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．
(1)求证：△CEB≌△ADC；
(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长．
A
B
C
D
F
E
