2025—2026学年九年级数学中考一轮专题复习：相似三角形的性质和判定综合训练（含答案）

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2025—2026学年九年级数学中考一轮专题复习：相似三角形的性质和判定综合训练
1．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PBC∽△PAB；
（2）若PC＝3，求AC的长；
（3）如图2，延长CP交AB于点D，求证：AD＝2BD．
2．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，以CE为对角线作正方形EFCG，分别交AC、CD于点K、H．
（1）求证：△CEK∽△CAE；
（2）若AE＝2DE，求的值；
（3）连结DG，试判断DG与AC的位置关系，并说明理由．
3．如图1，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边的中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF与CD相交于点G．
（1）求证：CG＝3DG；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝1，点E是AD边的中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G．
①若，求AD的值；
②若△ABE与△BCG相似，求AD的值．
4．如图，已知四边形ACBG，CG，AB交于点H，∠ACB＝90°，D为AB中点，E为CG上一点，∠CAB＝∠CEB，BE、DG相交于．
（1）求证：∠CEB＝∠ADG；
（2）求证：GB＝GC；
（3）若DH＝4，AH＝2，求DF AC的值．
5．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点P、D分别是边BC、AC上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：AB CD＝CP BP；
（2）如图2，若PD∥AB时，求BP的长；
（3）当点P在边BC上运动时，线段AD长有最小值，最小值为 　 　 ．
6．如图，矩形ABCD中，E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
7．如图1，在 ABCD中，E为BC上一点，F为AC上一点，对角线AC平分∠EAD，∠EFC＝∠CAD+∠ACD，连接AE，EF．
（1）①求证：△AFE∽△ADC；
②若CE＝3BE＝6，求AF AC的值．
（2）如图2，连接DF，若AB＝AF，，求的值．
8．在矩形ABCD中，E是AB边上一点，连接CE，将△BCE沿CE翻折得到△FCE．
（1）如图1，若AB＝6，BC＝8，当点F在矩形对角线AC上时，求BE的长；
（2）如图2，当点F在AD上时，若AB＝6，BC＝2BE，求BC的长；
（3）如图3，当点F在AD上时，延长EF与∠DCF的平分线交于点G，CG交AD于点H，，求的值．
9．在矩形ABCD中，，点E是CD边上一动点，连接AE．
（1）如图1过点E作EF⊥AE交BC于点F．
①求证：△ADE∽△ECF；
②连接AF，求四边形ADCF面积的最大值；
（2）如图2连接BE，将△ADE沿直线AE折叠，点D的对应点M落在BE上．若BE平分∠ABC，连接CM并延长，交AD于点H，求AH的长．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，点E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，BE＝6，求OE的长；
（3）求证：BC2＝CD 2OE．
11．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．
（1）证明：△AEF∽△BFC．
（2）若AB，BC＝1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连接PE，PC．
①求线段DQ的长．
②试判断△PCE的形状，并说明理由．
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，将△ABC绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得△BDE，连接CD．
（1）求证：△BCD∽△BAE；
（2）若BC＝6，点F是AB的中点，点D落在CF延长线上，求AE的长；
（3）连接AD，若AD⊥AE，求的值．
13．如图1，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．
（1）求证：△BOF∽△BED；
（2）若，求OF的长；
（3）如图2，取线段BF的中点G，连接OG，当点E在CD边上运动时，OG存在最小值，请求出最小值．
14．综合与探究
问题情境：已知：如图1，在矩形ABCD中，E为AD的中点，作CF⊥BE于点F．
猜想证明：
（1）判断△ABE与△FCB是否相似？相似请证明，不相似请说明理由；
深入探究：
（2）若BC＝12，求BF BE的值；
拓展延伸：
（3）如图2，连接BD交CF于点G，若，请直接写出的值．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝5，E是BC边上的一点，AE交BD于F，．将AE绕点E顺时针旋转一定角度使得A点正好落在CD上的点G处，EG交AC于H，过A作AQ⊥EG，交BD于P，连接AG．
（1）求BE的长；
（2）求证：△AEG是等边三角形；
（3）①证明：△BFE∽△AFP；②求的值．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PBC+∠PCB＝45°．
又∵∠PBA+∠PBC＝45°，
∴∠PBC＝∠PAB．
又∵∠APB＝∠BPC，
∴△PBC∽△PAB；
（2）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴，
∵△PBC∽△PAB，
∴．
∴P，．
∴PA＝2PC＝2×3＝6；
（3）证明：过B作BE⊥CD交CD的延长线于E，
∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴∠APC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴∠PAC+∠PCA＝90°，∠PCA+∠BCE＝90°，
∴∠PAC＝∠BCE．
在△PAC和△ECB中，
，
∴△PAC≌△ECB（AAS），
∴PC＝BE，
∵PA＝2PC，
∴PA＝2BE．
又∵∠APD＝∠BED＝90°且∠ADP＝∠BDE，
∴△PAD∽△EBD，
∴．
∴AD＝2BD．
2．【解答】（1）证明：在正方形ABCD和正方形EFCG中，∠CEK＝∠CAE＝45°，
∵∠ECK＝∠ACE，
∴△CEK∽△CAE；
（2）解：在正方形ABCD中，CD＝AD，∠D＝90°，
∵AE＝2DE，
∴设DE＝x，
∴AE＝2x，
∴CD＝AD＝AE+DE＝3x，
根据勾股定理得，ACAD＝3x，CEx，
由（1）知，△CEK∽△CAE，
∴，
∴CKx，
∴AK＝AC﹣CKx，
∴；
（3）解：DG∥AC，理由如下：
如图，连接DG，
在正方形ABCD和正方形EFCG在，∠EDH＝∠CGH＝90°，
∵∠EHD＝∠CHG，
∴△EDH∽△CGH，
∴，
∴，
∵∠EHC＝∠DHG，
∴△DHG∽△EHC，
∴∠GDH＝∠CEH＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠GDH＝∠ACD，
∴DG∥AC．
3．【解答】（1）证明：连接EG，
由折叠可知AE＝FE，∠EFB＝∠EAB＝90°，
∴∠EFG＝∠EDG＝90°．
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∴FE＝DE．
∴在Rt△EFG与Rt△EDG中，
，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）．
∴设DG＝FG＝x，
则CG＝1﹣x，
由折叠可知BF＝BA＝1，
∴BG＝1+x，
在Rt△BCG中，BC2+CG2＝BG2，
∴1+（1﹣x）2＝（1+x）2，
解得x，
∴DG，CG，
∴CG＝3DG；
（2）解：①由（1）知FG＝DG，
若，则DG，CG，
∴，
∵BA＝BF＝1，
∴BG，
在Rt△BCG中，BC，
在矩形ABCD中，AD＝BC；
②由题意AB∥CD，
∴∠ABG＝∠CGB．
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE＝∠FBE∠ABG，
∴∠ABE∠CGB．
∴若△ABE与△BCG相似，则必有∠ABE＝∠CBG＝30°．
在Rt△ABE中，AE＝AB tan∠ABE，
∴AD＝2AE．
4．【解答】（1）证明：∵，∠EFG＝∠DFB，
∴△EFG∽△DFB，
∴∠EGF＝∠DBF，
∵∠CAB＝∠CEB，∠AHC＝∠EHB，
∴∠ACH＝∠DBF，
∴∠ACH＝∠EGF，
∴AC∥DG，
∴∠CAB＝∠ADG，
∴∠CEB＝∠ADG；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DA＝DB＝DC，
∵AC∥DG，AC⊥CB，
∴GD⊥BC，
∵DC＝DB，
∴GD垂直平分线段BC，
∴GB＝GC；
（3）解：∵AC∥DG，
∴△ACH∽△DGH，
∴AC：DG＝AH：DH＝2：4＝1：2，
∴DG＝2AC，
∵△EFG∽△DFB，
∴∠EGF＝∠DBF，
∵GC＝GE，GD⊥CB，
∴∠CGD＝∠BGD，
∴∠DBF＝∠DGB，
∵∠BDF＝∠GDB，
∴△DBF∽△DGB，
∴DB：DG＝DF：DB，
∴DB2＝DF DG＝2DF AC，
∵DB＝AD＝AH+DH＝2+4＝6
∴2DF AC＝36，
∴DF AC＝18．
5．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APD＝∠B，
∴∠CPD+∠APB＝180°﹣∠APD＝180°﹣∠B，
∵∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，
∴∠BAP+∠APB＝∠CPD+∠APB，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB CD＝CP BP；
（2）解：∵△ABP∽△PCD，
∴，即，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴，即，
∴，
∵AB＝AC＝6，BC＝8，
∴AC＝6，
∴，
∴BP．
（3）解：∵∠APD＝∠B＝C．∠PAD＝∠CAD，
∴△PAD∽△CAP，
∴，
∴AD，
当PA最小时，AD最小，
若PA⊥BC，AD有最小值，此时AP2，
∴AD．
故答案为：．
6．【解答】（1）证明：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图：延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
∴，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．【解答】（1）①证明：∵对角线AC平分∠EAD，∠EFC＝∠CAD+∠ACD，
∴∠EAF＝∠CAD，180°﹣∠EFC＝180°﹣（∠CAD+∠ACD），
∴∠EFA＝∠CDA，
∴△AFE∽△ADC．
②解：∵CE＝3BE＝6，
∴CE＝6，BE＝2，
∴BC＝CE+BE＝8，
在 ABCD中，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵对角线AC平分∠EAD，
∴∠EAF＝∠CAD，
∴∠EAF＝∠BCA，
∴AE＝EC＝6，
∵△AFE∽△ADC，
∴，
∴AF AC＝AD AE＝48．
（2）解：∵△AFE∽△ADC，
∴，即，
∵∠EAF＝∠CAD，
∴△AFD∽△AEC，，
∵AE＝EC，
∴FA＝FD，
∵AB＝AF，
∴FA＝FD＝AB，
在 ABCD中，AB＝CD，
∴FA＝FD＝AB＝CD，过点D作DH⊥AC于点H，
∴FH＝CH，
设FH＝CH＝x，
∵，
∴FA＝FD＝AB＝CD＝4x，
∴AH＝AF+FH＝4x+x＝5x，，
根据勾股定理，得，
∴．
8．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
设BE＝x，
根据折叠的性质可得∠EFC＝∠ABC＝90°＝∠AFE，CF＝CB＝8、EF＝BE＝x，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣x，
在Rt△ABC中，，
∴AF＝2，
在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，
∴（6﹣x）2＝22+x2，
解得，
即．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质可知：∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，BC＝CF＝2BE＝2EF，
∴∠AFE+∠DFC＝∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝∠DFC，
∴△AEF∽△DFC，
∴，
∴AF＝3，
设BE＝EF＝t，则有AE＝6﹣t，BC＝2t，
∴在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2，
∴t2＝32+（6﹣t）2，
解得，
∴；
（3）如图，过点H作HM⊥CF于点M．
∵，
∴由折叠的性质可知：BC＝CF＝AD＝2FH，
∵CG平分∠DCF，∠D＝90°，
∴∠DCH＝∠MCH，DH＝MH．
∵∠HMC＝∠D＝90°，
∴△DCH≌△MCH（AAS），
∴CM＝CD，
∴FM＝CF﹣CM＝BC﹣CD＝AD﹣CD．
∵∠FMH＝∠FDC＝90°，∠MFH＝∠DFC，
∴△FMH∽△FDC，
∴，
∴，
设FH＝x，DH＝MH＝y，则有，
∴，
∴，
∴．
9．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∵EF⊥AE，即∠AEF＝90°，
∴∠AED+∠CEF＝90°，
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE∽△ECF；
②解：∵，
∴，
设DE＝x，则，
∵△ADE∽△ECF，
∴，即，
∴，
∴
，
∵，
∴S四边形ADCF有最大值，
∵顶点坐标的横坐标为，
∴S四边形ADCF的最大值；
（2）解：∵BE平分∠ABC，
∴，
∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝45°，即△BCE是等腰直角三角形，
∴CE＝CB＝AD＝4，
∴，
∵折叠，
∴∠DEA＝∠MEA，∠DAE＝∠MAE，∠D＝∠AME＝90°，
∴∠MAB＝90°﹣∠ABE＝45°，即△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝4＝CB，
∴，
∴∠DCH＝∠BCD﹣∠BCM＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵∠DEA+∠MEA+∠CEB＝180°，即2∠DEA+45°＝180°，
∴∠DEA＝67.5°，则∠DAE＝∠MAE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠DCH＝∠DAE，且∠CDH＝∠ADE＝90°，
∴△CDH∽△ADE，
∴，即，
解得，，
∴．
10．【解答】（1）解：连接OD，BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵O是AB的中点，E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠BOE＝∠BAD，∠DOE＝∠ADO．
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠BOE＝∠DOE．
在△BOE和△DOE中，
，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴OD⊥DE，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，BE＝6，
∴BC＝2BE＝12．
在Rt△ABC中，，
解得AC＝15．
∵OE是△ABC的中位线，
∴；
（3）证明：由（2）知OE是△ABC的中位线，
∴AC＝2OE．
∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴BC2＝CD AC，
又∵AC＝2OE，
∴BC2＝CD 2OE．
11．【解答】证明：（1）∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴∠D＝∠EFC＝90°，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
又∵∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝∠BFC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△BFC；
（2）①连接EQ，
∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴CD＝CF，
∴BF1，
∴BC＝BF＝1，
∴∠BFC＝∠BCF＝45°，
∴∠AFE＝45°＝∠AEF，
∴AE＝AF＝AB﹣BF1，
∴DE＝AD﹣AE＝2，
∵PQ是EC的垂直平分线，
∴EQ＝CQ，
∵EQ2＝DQ2+DE2，
∴（DQ）2＝DQ2+（2）2，
∴DQ＝2；
②△PEC是等腰直角三角形，
理由如下：∵PQ是EC的垂直平分线，
∴PE＝PC，
∵PE2＝AE2+AP2，PC2＝PB2+BC2，
∴（1）2+（BP）2＝PB2+1，
∴BP1，
∴BP＝AE，
在Rt△AEP和Rt△BPC中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BPC（HL），
∴∠APE＝∠BCP，∠AEP＝∠BPC，
∵∠APE+∠AEP＝90°，
∴∠APE+∠BPC＝90°，
∴∠EPC＝90°，
∴△PEC是等腰直角三角形．
12．【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得△BDE，
∴BC＝BD，BA＝BE，∠CBA＝∠DBE，
∴∠CBD＝∠ABE，，
∴△BCD∽△BAE；
（2）解：∵，BC＝6，
∴AC＝8，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
∴，
∵点F是AB的中点，
∴，
∴∠ABC＝∠BCF，
∴，
如图2，过B作BG⊥CD，
∵BC＝BD，
∴CD＝2CG，，
∴，
由（1）知：△BCD∽△BAE，
∴，即，
解得：AE＝12（经检验，是分式方程的解，且符合题意）；
（3）解：如图3，过B作BM⊥AE于M，过D作DN⊥BM于N，
由旋转性质知：BA＝BE，BC＝BD，△BDE≌△BCA，
∴DE＝CA，∠BDE＝∠ACB＝90°，
∵，
∴，
∵BA＝BE，BM⊥AE，
∴AM＝ME，
设AM＝ME＝x，则AE＝2x，
∵BM⊥AE，DN⊥BM，AD⊥AE，
∴∠DNM＝∠AMN＝∠BND＝∠DAE＝90°，
∴四边形ADNM是矩形，
∴DN＝AM＝x，∠ADN＝∠ADE+∠EDN＝90°，
∵∠BDN+∠EDN＝90°，
∴∠BDN＝∠ADE，
∴△BDN∽△EDA，
∴，即，
∴，
∴．
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，∠BDE＝∠OCB＝45°，
又∵CF⊥BE于点F，
∴∠BOC＝∠BFC＝90°，
∴B，O，F，C四点均在以BC为直径的圆上，
∴∠OFB＝∠OCB＝45°＝∠BDE，
又∵∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
（2）解：∵正方形ABCD的边长为6，
∴BC＝DC＝6，∠BCD＝90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ED＝DC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵△BOF∽△BED，
∴，
∴；
（3）解：如图，取BC的中点H，连接DF，DH，FH，
∵正方形ABCD的边长为6，对角线AC，BD交于点O，
∴BC＝DC＝6，BO＝DO，∠BCD＝90°，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠BFC＝90°，
∴，
∴，
∵DF+FH≥DH，
∴DF≥DH﹣FH，
∵点O为BD的中点，点G为BF的中点，
∴DF＝2OG，
∴，
∴，
∴OG存在最小值，且最小值为；
14．【解答】解：（1）△ABE∽△FCB．
理由：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，∠A＝90°，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝90°，
∴∠A＝∠BFC．
∴△ABE∽△FCB；
（2）在矩形ABCD中，AD＝BC＝12，
∵E为AD的中点，
∴．
由（1）得△ABE∽△FCB，
∴．
∴BF BE＝BC AE＝12×6＝72；
（3）的值为．
解：如图，过点G作GH⊥BC于点H，
∴∠GHB＝∠DCB＝90°．
又∵∠GBH＝∠DBC，
∴△BGH∽△BDC．
∵，
∴．
∴，，．
由（1）得△ABE∽△FCB，
∴∠ABE＝∠BCF．
∵∠A＝∠GHC＝90°，
∴△ABE∽△HCG．
∴．
∴AB×GH＝AE×CH；
在矩形ABCD中，AB＝CD，，
∴，即．
∴．
∴．
15．【解答】（1）解：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
∴AD∥BC，AD＝AB，OB＝OD，
∵，且BO＝BF+OF，
∴OD＝OB＝3BF，
∴DF＝5BF．
∵AD∥BC，
∴∠BEF＝∠DAF，∠ADF＝∠EBF，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴；
（2）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
同理，△ADC是等边三角形．
∴∠ACB＝∠ACD＝60°，
如图1，过E作EM⊥DC交DC的延长线于点M，作EN⊥AC于点N，连接AG，
则∠ENA＝∠EMG＝90°，
∵∠ECM＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝60°，
∴∠ECM＝∠ECN＝60°，
∴∠CEM＝∠CEN＝30°，
∴∠MEN＝∠CEM+∠CEN＝60°，
∵CE平分∠ACM，
∴EN＝EM．
∵EG是由EA 旋转得到的，
∴EG＝EA．
在Rt△AEN和Rt△GEM中，
，
∴Rt△AEN≌Rt△GEM（HL），
∴∠AEN＝∠GEM．
∴∠AEG＝∠AEN+∠GEN＝∠GEM+∠GEN＝∠MEN＝60°，
∴△AEG是等边三角形；
（3）①证明：如图2，四边形ABCD是菱形，连接EP，
∴AB＝BC，BD⊥AC，
∴，
∵AQ⊥EG，
∴∠AQE＝90°，
由（2）①知，∠AEQ＝60°，
∴∠FAP＝30°＝∠FBE，
又∵∠EFB＝∠PFA，
∴△BFE∽△AFP；
②解：由①得△BFE∽△AFP，
∴，即，
又∵∠AFB＝∠PFE，
∴△AFB∽△PFE，
∴∠PEF＝∠ABF＝30°＝∠FAP，
∴PE＝AP，
在Rt△EPQ中，∠PEQ＝∠AEQ﹣∠AEP＝30°，
∴，
∴．
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