第十章概率单元检测卷（含答案）2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章概率单元检测卷2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1．已知，则下列结果正确的是（）
A． B．
C． D．
2．一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（ ）
A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断
3．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立
C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥
5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，其中数学、物理、化学为理科书，从中任取1本，取出的是理科书的概率（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是相互独立事件，若，，则（ ）
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为．事件表示“小于5的奇数点出现”，事件表示“不大于5的点数出现”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（ ）
A．这两个图都是二部图的概率为
B．这两个图至少有一个是二部图的概率为
C．这两个图不都是二部图的概率为
D．这两个图恰有一个是二部图的概率为
二、多项选择题（每小题6分，共18分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．A与B互斥 D．A与B相互独立
10．已知事件的概率均不为，则的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
11．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ）
A．与与，与，与都相互独立
B．与是对立事件
C．
D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．先后掷一个均匀的骰子3次，得到的点数依次为，记事件为“”，则 .
13．同时投掷两枚大小质地完全相同的骰子，用表示出现的结果，其中分别为两枚骰子向上的点数，则该事件的所有结果种数为 ．
14．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.5，和棋的概率为0.2，则乙获胜的概率为 ．
四、解答题（共6小题，共77分，15—17题每小题12分，18题13分，19—20题每小题14分）
15．甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求：
(1)两人中只有一人成功破译的概率；
(2)密码被成功破译的概率．
16．某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
(1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“民法典”知识的宣传使者，若有甲（年龄）、乙（年龄）人已确定入选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率.
17．如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入A袋或B袋中．一次游戏中小球落入A袋记1分，落入B袋记2分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（）分的概率为．
(1)求；
(2)写出与之间的递推关系，并求出的通项公式．
18．某校对高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)计算频率分布直方图中的值，并且估计该校高一期中数学考试成绩的中位数；
(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至多有1人成绩在内的概率．
19．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（方差精确到）.
(3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至多有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率.
20．某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率；
(2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率．
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试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
一、单项选择题
1．B
2．A
3．C
4．B
5．C
6．A
7．B
8．B
二、多项选择题
9．AD
10．BC
11．ACD
三、填空题
12．
13．36
14．0.3
四、解答题
15．【详解】（1）记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B，
则，，
设“甲乙只有一人破译出密码”为事件C，则，
故两人中只有一人破译出密码的概率为.
（2）密码未被破译的概率为，
密码被成功破译的概率为．
16．【详解】（1）设这人年龄的第百分位数为，
年龄在的频率为，
年龄在的频率为，故，
根据百分位数定义可得，解得.
（2）由题意得，第一组应抽取人，记为、甲，第五组抽取4人，记为、、、乙.
对应的样本空间为：
，共个样本点.
设事件“甲、乙两人恰有一人被选上”，
则，共有个样本点.
所以，.
17．【详解】（1）小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B袋中，
此概率P（B）＝，
则小球落入A袋中的概率P（A）＝1－P（B）＝，
故，，．
（2）游戏过程中累计得n分可以分为两种情况：得到（n－2）分后的一次游戏中小球落入B袋中，或得到（n－1）分后的一次游戏中小球落入A袋中，
故，
即，
故为常数列，且，
故，
即，得，
故为等比数列，且首项为，公比为，
故，
故．
18．【详解】（1）因为频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，
所以，解得.
这一小组的频率为，
这一小组的频率为，
这一小组的频率为，
这一小组的频率为，
显然，，
所以中位数落到这一小组，
则估计中位数为.
（2）随机抽取5名学生中，
来自这一小组的人数为，
这两人记为
来自这一小组的人数为，
这三人记为，
从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，样本空间为
，共个样本点
设“抽取的这2名学生至多有1人成绩在内”，
则，共个样本点，
所以抽取的这2名学生至多有1人成绩在内的概率.
19．【详解】（1）根据题意可得，
解得，
由的频率为：，
由的频率为：，
由的频率为：，
因为，，
所以中位数在内，设中位数为，
所以，解得，
平均数
.
（2）因为的人数为，
的人数为，
所以在平均成绩为，
在的成绩的方差为：
.
（3）因为和这两组的频率之比为，
所以在中抽5人，在中抽2人，
设从学生中抽取的5人为，
从学生中抽取的2人为，则这个试验的样本空间为：
，
故，
又因为，
则，
所以事件的概率为.
20．【详解】（1）设甲停车1小时以上且不超过2小时的事件为A，
则；
（2）由题意可知，每个人停车时间超过3小时，即停车费为17元的概率为.
设甲乙两人停车费之和为22元的事件为M，
甲要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为，
乙要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为，
则.
因为每人停车的时长是相互独立的，所以，
.