2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习一：有理数的运算（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习一：有理数的运算
1．计算：
(1)；
(2)
2．计算：
(1)
(2)
3．定义一种新的运算，观察下列各式：
，
，
，
．
(1)根据观察到的规律，计算；
(2)用代数式表示的结果；
(3)若，请计算的值．
4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，，
(1)_______，___________，__________．
(2)求的值．
5．杨岭葡萄喜获丰收．某果农采摘了箱葡萄，以每箱千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值(kg)
箱数
(1)最轻的一箱比最重的一箱少多少千克？
(2)求箱葡萄的总质量．
(3)已知每千克葡萄元，求箱葡萄的总价格．
6．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从地出发，晚上最终到达地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）
如下：
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶．
(1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？
(2)他们离地最远距离为_____千米．
(3)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？
7．学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下：
．
(1)请准确描述出卡片B的具体位置；
(2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？
8．下表是某品牌网约车的收费标准．
收费标准 起步费 不超过3公里为12元
里程费 超过3公里后超过部分2元公里
远途费 超过10公里后超过部分0.4元公里
时长费 超过10分钟后超过部分0.6元分钟
例：乘车里程为20公里，行车时间30分钟，车费为：
（元）
请回答以下问题：
(1)小华家到影院的路程是公里，若乘该品牌网约车约需要分钟，求所需车费多少元？
(2)小华乘该品牌网约车外出，行车里程为公里，行车时间为分钟，求所需车费多少元(用含a、b的代数式表示)？
(3)小华与小明都乘坐该品牌网约车到该市某景点游玩，行车里程分别为公里、公里，若汽车在市区内限速公里小时，小华比小明乘车时间多用了分钟，请通过计算说明谁付的车费多？
9．阅读以下材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以21和34是“幸福数对”．解决如下问题：
(1)请判断43与67是否是“幸福数对”？并说明理由；
(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则之间满足怎样的数量关系？试说明理由；并证明“幸福数对”的两个数的和是11的倍数；
10．数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础．
【知识呈现】
新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离．
【初步理解】
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________；
（2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________；
【深入探究】
（3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由．
【实际应用】
（4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少 （不用说明理由）
11．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与．规定．例如：．根据上述规定解决下列问题：
(1)___________；
(2)若，求的值；
(3)若的值与的取值无关，求的值，并求该代数式的值．
12．“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
【知识背景】
当时，；当时，；当时，．
【解决问题】
（1）当时，_____；当时，_____；
（2）若两个有理数a，b的值满足，则_____；
【探究拓展】
（3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值．
13．一个正整数n若能表示成m个正整数的和，且这些正整数的倒数和恰好等于1，则称n为m阶“汇和数”．例如，，且，所以22就是4阶“汇和数”．
(1)证明：11是一个3阶“汇和数”；
(2)证明：若n是一个k阶“汇和数”，则、分别是阶、阶“汇和数”；
(3)请在以下两个问题中任选一个解决：
①请判断：505是“汇和数”并说理；
②证明：若n是一个k阶“汇和数”，则是一个阶“汇和数”．
14．符号“h”表示一种运算，它对一些整数的运算如下：
，，，，，…
(1)利用以上运算的规律写出______；
(2)计算的值；
(3)若（n为整数），求n的值．
15．2025年10月12日，北京大学附属中学建校65周年主题活动日在本部黄庄校区圆满举行．六十五载风雨兼程，北大附中牢牢把握“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这一核心要义，坚持以北大精神为根脉，以真实世界为课堂，以未来需要为导向，培养了一代代优秀学子．
规定：对于三个有理数，，，先将每两个数都做一次求和，再将这些和的绝对值进行求和，记作，若，则称这组数据为“校庆数组”．例如，对数组，，做上述运算：，且，故数组，，为“校庆数组”．
(1)已知数组，，，则________；
(2)已知数组，，为“校庆数组”，写出一个满足要求的整数m的值______ ；
(3)已知k为整数，试判断：数组，，是否可能为“校庆数组”，并说明理由．
参考答案
1．【详解】（1）解：原式＝
= .
＝．
（2）解：原式＝

．
2．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：根据题意，可知，
，
将代入，得．
4．【详解】（1）解：互为相反数，互为倒数，，
，，．
故答案为：0；1；．
（2）解：当时，；
当时，．
综上所述，的值为或．
5．【详解】（1）解：（千克），
答：最轻的一箱比最重的一箱轻5千克．
（2）解： ，
（千克），
答：这箱葡萄的总质量是千克；
（3）解：（元），
答：20箱葡萄的总价格为2424元．
6．【详解】（1）解：
地在地正南方向，它们相距；
（2）解：第一次行驶后离地的距离为
第二次行驶后离地的距离为
第三次行驶后离地的距离为
第四次行驶后离地的距离为
第五次行驶后离地的距离为
第六次行驶后离地的距离为
第七次行驶后离地的距离为
第八次行驶后离地的距离为
第九次行驶后离地的距离为
比较，，，，，，，，的大小，最大值为
他们离地最远距离为千米；
（3）解：
汽车行驶平均耗油升
总耗油量为升
答：这天汽车共耗油升．
7．【详解】（1）解：，
∵，
∴卡片B在出发点O点西侧1米处；
（2）解：机器人最终位置的坐标为：（米）处，从该点返回 点的路程为 （米），
机器人完成一次全程比赛共移动的路程为：
（米）．
8．【详解】（1）解：（元）
故所需车费27元；
（2）解：，
故所需停车费元；
（3）解：（小时）分钟
∴小华、小明乘车均超过10分钟
设小华乘车时间为分钟，则小明乘车时间为分钟，
由（2）题的代数式可得：
小华的车费为：元．
小明的车费为：元．
因为，
所以．
答：小华付的车费多．
9．【详解】（1）解：将43与67各自的十位数字和个位数字交换位置可得：34，76，
，
与67是“幸福数对”；
（2）解：，理由如下：
由题意得：，
移项，合并同类项，得：，
左右两边同时除以9，得：；
∴之间满足的数量关系为：
，
∴两“幸福数对”的和为：，
∴两“幸福数对”的和是11的倍数．
10．【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为，
和两点的距离可表示为，
故答案为，；
（2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
故答案为：；
（3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离，
表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离，
表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离，
如图，代数式存在最小值，即存在最小值，
所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为，
所以当时，式子有最小值为；
（4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小，
故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米．
11．【详解】（1）解：．
故答案为：19．
（2）解：根据题中的新定义得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
（3）解：由题意得，，
由结果与x的取值无关，得到，
即．
原式．
12．【详解】解：（1）当时，，当时，，
故答案为：1，；
（2）∵两个有理数a，b的值满足，
∴a、b同号，即，或，，
∴当，时，，
当，时，，
故答案为：2或；
（3），
∴a、b、c全为负数或两正一负．
①当a、b、c全为负数时， ，
∴；
②当a、b、c为两正一负时，若，
，
若，，
若，，
综上所述，原式的值为或0．
13．【详解】（1）证明：，且，
是一个3阶“汇和数”；
（2）证明：若n是一个k阶“汇和数”，
不妨设，，
则，
且，
故是阶“汇和数”；
，
且，
故是阶“汇和数”；
（3）①解：505是“汇和数”
理由：由（1）知11是“汇和数”，
由（2）知是“汇和数”，
是“汇和数”，
由（2）知是“汇和数”，
，，，，
是“汇和数”；
②证明：设，，
，
，
是一个阶“汇和数”．
14．【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵（n为整数），
∴，
∴．
15．【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵数组，，为“校庆数组”，
∴，
∴，
∵表示到的距离，表示到的距离，两者之间的距离之和为26，而到之间的距离恰好为26，
∴为到之间的一个整数，
∴可以为；
（3）解：数组，，为“校庆数组”的条件是，
∴，
∵表示到的距离，表示到的距离，
当时，两者之间的距离之和为27，不为42，∴不符合题意；
当时，，
∴，解得：，
∴不为整数，不符合题意；
当时，，
∴，解得：，
∴不为整数，不符合题意；
∴数组，，不可能为“校庆数组”．
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