2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习二：乘法公式（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习二：乘法公式（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 469.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-03 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习二：乘法公式
一、选择题
1．已知恰好能写成一个二项式的平方，则的值是（ ）
A． B． C．48 D．24
2．若，则的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则的值为（ ）
A．31 B．25 C．19 D．15
5．已知，则代数式的值是（ ）
A．8 B． C． D．7
6．在①；②；③；④；⑤；⑥中，能用平方差公式计算的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．计算：（ ）
A．1 B． C． D．
二、解答题
9．若，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
10．阅读下列材料：我们知道，对于一些正整数n，可以表示为 （a、b为正整数，且），例如：．
(1)请将表示为两个正整数的平方差的形式；
(2)求证：任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差；
(3)若，且a、b为正整数，且，求n的取值范围．
11．已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：．
(1)化简： ；
(2)若，，求下列式子的值：
①；
②；
(3)若，求的值．
12．【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出．
【理解应用】
（1）若，则_____．
（2）若，求的值．
【知识迁移】
（3）将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，在一条直线上，连接，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：．
13．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A． B．
C． D．
(2)若，，求的值；
(3)计算：．
14．【教材原题】
观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为．
【类比探究】
（1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______；
【知识应用】
（2）根据图2所得的公式：①若，，求的值；
②若，求的值；
【知识拓展】
（3）如图3，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为60平方米，米，求种花区域的面积和．
15．若一个整式能表示成（x，y均为整式）的形式，则称这个整式为“完美式”．例如，，，则5，都是“完美式”．
(1)请说明13是“完美式”；
(2)若是“完美式”，求出一个符合条件的k；
(3)若P，Q是“完美式”，它们的积是否为“完美式”？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
参考答案
一、选择题
1．A
2．A
3．C
4．C
5．A
6．A
7．B
8．B
二、解答题
9．【详解】（1）解：∵，
∴，
则，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵
∴
．
10．【详解】（1）解：或；
（2）证明：
（k为正整数），
∴（k为正整数），
∴任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差；
（3）解：且为正整数，
且与同奇偶，
若与同奇，最小为，
若与同偶，则必能被4整除，最小为，
∴当为奇数时，n为大于或等于3的奇数；当n为偶数时，n为大于等于8的偶数且为4的倍数．
11．【详解】（1）解：由新定义运算可知：
；
故答案为：；
（2）解：∵
由（1）知，
即，
，
又∵，
①；
②，
∴；
（3）解：令
则，
由得，
∴，
即．
12．【详解】解：（1）∵
∴
故答案为：．
（2），
（3）如图，设，，
，
，
∴，即，
∵正方形和正方形的面积和为36，
∴，
，
，
，即阴影部分的面积为14．
13．【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
．
14．【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b，
∴大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为，
又∵阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积，
∴，
故答案为：；
（2）①由（1）的结论得：，
又∵，，
∴；
②由（1）的结论得：，
又∵，
∴；
（3）设，，
∵于点E，，
∴，
∵种草区域的面积和为：，
∴种花区域的面积和为：
．
答：种花区域的面积和为102平方米．
15．【详解】（1）解：∵，2和3均为整式，
∴13是“完美式”．
（2）解：
∵是“完美式”，
∴，
∴．
（3）解：若P，Q是“完美式”，它们的积是“完美式”，理由：
∵P，Q是“完美式” ，
∴设，（，，，均为整式）
∴
，
∵，，，均为整式，
∴，均为整式 ，
∴可表示为两个整式的平方和，
∴是“完美式”．
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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习二：乘法公式
一、选择题
1．已知恰好能写成一个二项式的平方，则的值是（ ）
A． B． C．48 D．24
2．若，则的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则的值为（ ）
A．31 B．25 C．19 D．15
5．已知，则代数式的值是（ ）
A．8 B． C． D．7
6．在①；②；③；④；⑤；⑥中，能用平方差公式计算的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．计算：（ ）
A．1 B． C． D．
二、解答题
9．若，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
10．阅读下列材料：我们知道，对于一些正整数n，可以表示为 （a、b为正整数，且），例如：．
(1)请将表示为两个正整数的平方差的形式；
(2)求证：任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差；
(3)若，且a、b为正整数，且，求n的取值范围．
11．已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：．
(1)化简： ；
(2)若，，求下列式子的值：
①；
②；
(3)若，求的值．
12．【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出．
【理解应用】
（1）若，则_____．
（2）若，求的值．
【知识迁移】
（3）将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，在一条直线上，连接，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：．
13．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A． B．
C． D．
(2)若，，求的值；
(3)计算：．
14．【教材原题】
观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为．
【类比探究】
（1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______；
【知识应用】
（2）根据图2所得的公式：①若，，求的值；
②若，求的值；
【知识拓展】
（3）如图3，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种草区域的面积和为60平方米，米，求种花区域的面积和．
15．若一个整式能表示成（x，y均为整式）的形式，则称这个整式为“完美式”．例如，，，则5，都是“完美式”．
(1)请说明13是“完美式”；
(2)若是“完美式”，求出一个符合条件的k；
(3)若P，Q是“完美式”，它们的积是否为“完美式”？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
参考答案
一、选择题
1．A
2．A
3．C
4．C
5．A
6．A
7．B
8．B
二、解答题
9．【详解】（1）解：∵，
∴，
则，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵
∴
．
10．【详解】（1）解：或；
（2）证明：
（k为正整数），
∴（k为正整数），
∴任意一个大于1的奇数都可以表示为两个正整数的平方差；
（3）解：且为正整数，
且与同奇偶，
若与同奇，最小为，
若与同偶，则必能被4整除，最小为，
∴当为奇数时，n为大于或等于3的奇数；当n为偶数时，n为大于等于8的偶数且为4的倍数．
11．【详解】（1）解：由新定义运算可知：
；
故答案为：；
（2）解：∵
由（1）知，
即，
，
又∵，
①；
②，
∴；
（3）解：令
则，
由得，
∴，
即．
12．【详解】解：（1）∵
∴
故答案为：．
（2），
（3）如图，设，，
，
，
∴，即，
∵正方形和正方形的面积和为36，
∴，
，
，
，即阴影部分的面积为14．
13．【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
．
14．【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b，
∴大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为，
又∵阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积，
∴，
故答案为：；
（2）①由（1）的结论得：，
又∵，，
∴；
②由（1）的结论得：，
又∵，
∴；
（3）设，，
∵于点E，，
∴，
∵种草区域的面积和为：，
∴种花区域的面积和为：
．
答：种花区域的面积和为102平方米．
15．【详解】（1）解：∵，2和3均为整式，
∴13是“完美式”．
（2）解：
∵是“完美式”，
∴，
∴．
（3）解：若P，Q是“完美式”，它们的积是“完美式”，理由：
∵P，Q是“完美式” ，
∴设，（，，，均为整式）
∴
，
∵，，，均为整式，
∴，均为整式 ，
∴可表示为两个整式的平方和，
∴是“完美式”．
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