2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习四：因式分解（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习四：因式分解
一、选择题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若多项式可因式分解为，则的值为（）
A． B． C． D．
3．若实数x，y满足，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则的值为（ ）
A．6 B．24 C．30 D．150
5．利用因式分解可以知道能够被某个数整除，这个数是（ ）
A．18 B．28 C．36 D．64
6．在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
7．已知等腰三角形的两边长分别为，（，都为正整数），且，满足169，则此等腰三角形的周长为 ．
8．已知，则的值为 ．
9．若能用完全平方公式因式分解，则的值为 ．
10．同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示．
记图1中回字形福建土楼的占地面积为，图2中山西大院的占地面积为．
（1）若，比较与的大小： （填“”，“”或“”）；
（2）若，则的值为 ．
三、解答题
11．分解因式：
(1)； (2)．
12．综合与实践
聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和．
回归课本：
（1）此问题的解决需利用平方差公式：___________．
问题解决：
（2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留）
问题拓展：
（3）运用上述公式计算：．
13．【阅读材料】已知，求和的值．
解：；
因为，所以，
所以，所以．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫作“配方法”．
【解决问题】
(1)已知，求的值；
(2)已知，求、的值；
(3)在（2）的情况下，若是的三边长，且它们都是正整数，请判断的形状，并说明理由．
14．已知整数．满足．
(1)求证：为正数；
(2)若为偶数，判断是奇数还是偶数，并说明理由．
15．对于三个非负整数p，，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”．
(1)2与1的“2次幂差数”为_____；
(2)若为与的“2次幂差数”，求（用含的代数式表示）；
(3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．C
4．D
5．D
6．A
二、填空题
7．7或8或11
8．18
9．
10．
三、解答题
11．【详解】（1）对于第（1）小题：
解：．
（2）对于第（2）小题：
解：．
12．【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
．
答：黑色圆环面积的和为．
（3）解：
．
13．【详解】（1）解：，
∴．
∴．
（2）解：，
∴，
∴．
（3）解：是等腰三角形．
理由：由三角形三边关系，得，即；
∵是正整数，
∴．
∴，即是等腰三角形．
14．【详解】（1）证明：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴为正数．
（2）解：为偶数，理由如下：
∵，，，为整数，为偶数，
∴为偶数，
∵，
∴为偶数，
∴，同为偶数或者同为奇数，
∴为偶数，
∴为偶数，
∵，
∴是偶数．
15．【详解】（1）解：根据“2次幂差数”的定义可得，．
2与1的“2次幂差数”为3，
故答案为：3．
（2）解：依题
；
（3）解：已知，，
代入得：，
即，
，
由，及为整数，可得的取值范围为，
∵在该范围内，
∴当时，取得最小值64，则的最小值为8．
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