2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习八：一次函数与面积相关问题综合训练（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习八：一次函数与面积相关问题综合训练
1．如图，直线交轴于，交轴于，把绕着点顺时针旋转，得到，且点在轴正半轴上，延长交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)点为线段上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式；
(3)在(2)的条件下，点为边上一点，若，，求点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．
(2)若点是直线上一点，求直线的解析式．
(3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过点C的直线与x轴交于点．
(1)求直线的函数关系式；
(2)G是线段上的一个动点，若直线把的面积分成的两部分，求点G的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，与直线交于点，其中点的横坐标为．
(1)求直线的函数表达式．
(2)为直线在第一象限上的一点，连接，．当的面积为时，求出符合条件的点的坐标．
(3)为线段上的一点，当时，直接写出符合条件的点的坐标．
5．如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)直接写出点，点，点的坐标；
(2)连接，若，求出长度，并计算的面积；
(3)若，直接写出点的坐标．
6．如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标．
7．综合与实践
问题情景：
如图，已知直线与交于点，且点的坐标为．
(1)求直线的表达式及点的坐标；
(2)求的面积；
(3)点是轴上一点，且满足，求点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．
(1)求两点的坐标；
(2)若轴正半轴上有一点，当时，求点的坐标；
(3)若轴上有一点，将沿直线折叠，当点恰好落在直线上时，请求出点的坐标．
9．如图，直线与直线交于点，与轴交于点．
(1)_____，不等式的解集为_____；
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
(3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，是斜边上的高，点P为的中点，经过P点的直线分别交边，于点M，N，交轴于点C，已知，
(1)点P的坐标为____，直线的函数解析式为____．
(2)求的面积．
(3)记O，A两点到直线的距离分别为，，直接写出的值．
11．如图，已知平面直角坐标系中，点，在直线上．C为y轴负半轴上一点，且，连结，．
(1)求m的值及的长；
(2)一次函数的图象经过点C且与线段交于点D（不与点A，B重合）．
（ⅰ）若k为整数，求k的值；
（ⅱ）若，求此时点D的坐标．
12．如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点．
(1)点的坐标为___________；点的坐标为___________．
(2)求的面积；
(3)若动点在直线上，点在第一象限，且在直线上，若点是等腰直角三角形的直角顶点，求点的坐标．
13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与交于点，直线是一次函数的图象．
(1)求直线的表达式；
(2)当直线把线段分为两部分时，求的值；
(3)若直线与直线不能围成三角形，直接写出的值．
14．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点E、点，与的图象交于点M．
(1)求m的值及点M的坐标；
(2)①求的面积；②若点Q为直线上一点，且，求点Q的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A，B，另一直线经过点，且把三角形分成两部分．
(1)如果把三角形分成的两部分面积相等，求k和b的值；
(2)如果把三角形分成的两部分面积之比为，求k和b的值．
参考答案
1．【详解】（1）解：直线交轴于，交轴于，
，，
，，
把绕着点顺时针旋转，得到，
，，
，，
设直线的解析式为
则，
解得：，
直线的解析式为；
（2）点为线段上一点，且横坐标为
，
把绕着点顺时针旋转，得到，
，
的解析式为，直线的解析式为
联立
解得：
，，
，
点为线段上一点，
，
；
（3）如图，延长交轴于，过点作轴于点，作于点，连接，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
解得：，
．
2．【详解】（1）解：令，
令，
∴点的坐标是．点的坐标是；
故答案为：．
（2）解：∵点是直线上一点，
∴，解得：，
∴点，
设直线的解析式是，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是，
故答案为：．
（3）解：存在，
由（1）得：点的坐标是，点的坐标是，
，
设点的坐标为，
∵的面积等于面积的2倍，
，
整理得，
或，
解得：或，
∴点的坐标为或．
3．【详解】（1）解：对，
令，则，
令，则，
解得，
∴，
设直线解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的函数关系式为．
（2）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、C，，，
∴，
∴．
设．
①当时，
，
∴，
∴，
∴；
②当时，
，
∴，
∴，
∴．
综上所述，点G的坐标为或．
4．【详解】（1）解：点在上，且横坐标为，
当，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，
解得，
则直线的解析式为．
答：．
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
为直线在第一象限上的一点，
设点的坐标为，
令的，可得，
点的坐标为，
，
令的，可得，
点的坐标为，即，
，
，即或，
解得或（不合题意，舍去），
则的坐标为．
答：．
（3）解：如图，过点作轴，交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，为等腰直角三角形，
，
令的，可得，
点的坐标为，即，
在轴上取点，使，连接，交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
设所在直线为，
将点和点代入，
可得，
解得，
直线为，
将直线与直线联立可得
，
解得，
点的坐标为．
答：．
5．【详解】（1）解：对于直线，
令，则，解得，
；
令，则，
；
对于直线，令，则，
；
故，，．
（2）解：设，则，
，
，，
，
∴，
，
，
解得，即；
，
，
的面积；
（3）解：过点作于点，连接，
在中，由勾股定理得，
∵，且，，
∴，解得；
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
设点的坐标为()，
则，
解得(舍去负根)；
当时，，
∴点的坐标为．
6．【详解】（1）解：由得，
当时，，
当时，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
（2）解：设，
由（1）得点A的坐标为，点B的坐标为，
，，
，
的面积为3，
，
即，
，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
7．【详解】（1）解：设直线的表达式为，把和代入得，
，解得．
∴直线的表达式为．
把代入，得：，
∴；
（2）解：把代入，得，
∴．
把代入，得，解得，
∴．
∴．
∴；
（3）解：设，则，
∵，∴．
解得或．
∴点的坐标为或．
8．【详解】（1）解：在中，
当时，，
当时，，
；
（2）解：设，
则，
，
，
解得或（舍去），
点的坐标为；
（3）解：当点D在x轴的正半轴上时，如图①，将沿直线折叠，
点恰好落在直线上的点处，
，
，
，
由翻折得，
，
，
在中，
即，
解得，
；
当点在轴的负半轴上时，如图②，将沿直线折叠，
当点恰好落在直线上的点处，
由翻折得，
，
，
，
在中，
即，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或.
9．【详解】（1）解：∵ 点在直线上，
∴ ，
解得 ，
∵ 不等式，
∴ 解得 ，
解得 ，
∴ 不等式的解集为；
（2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上，
，，
，
，，
当时，有最大值，
的最大值为；
（3）解：存在．直线，令得，
．
点在直线上，设点坐标为，
①当时，点在轴的下方,
，
解得，点坐标为，
②当时，点在轴的上方,
，
解得，此时点坐标为．
点的坐标为或．
10．【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，是斜边上的高，
∴，，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，
∴，
∴直线的解析式为，
故答案为：，；
（2）解：设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
联立，解得，
∴，
∵，点P为的中点，
∴，
∴
（3）解：设直线与x轴的交点为E，
把代入，求得，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
11．【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，解得，
过作轴，如图1，
∵C为y轴负半轴上一点，且，
∴，，
∴．
（2）解：（ⅰ）当的图象经过点，时，
则有，解得，
∴直线为，
当的图象经过点，时，
则有，解得，
∴直线为，
∵一次函数的图象经过点C且与线段相交，
∴k大于小于．
∵k为整数，
∴．
（ⅱ）∵D在直线上，可设，
过D作轴，分别交x轴，于点E，F，
过A作，垂足为H；过C作，垂足为G，如图2，
则有，，，，
∴，．
又∵在直线上，∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
将代入，
∴．
12．【详解】（1）解：由题意得，轴，
∵点的坐标为，
∴点D的纵坐标为3，
在中，当时，，当时，，解得，
∴点，点；
（2）解：设与轴的交于点，
在中，当时，，解得，
点，
由题意得，轴，
∵点的坐标为，
∴，
，
；
（3）解：设，
①若点在点下方，
如图，过点作轴于点，延长交直线于点，则，
∴
又点是等腰直角三角形的直角顶点，
，
，
又，
，
，
；
∵，
∴
∴，
，
解得．
，
；
②若点在点上方，
如图，过点作轴于点，延长交直线于点，
同理可证，
∴．
同理可得，
∴，
解得，
，
，
综上所述，点的坐标为或．
13．【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
设直线的表达式为，
把，代入，得，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：对于直线，当时，，
解得，
∴，
∴，
对于直线，当时，，
解得，
∴直线与x轴交于，
∵直线把线段分为两部分，
∴或，
解得或；
（3）解：对于直线，当时，，
∴直线与y轴交于，
∵直线与直线不能围成三角形，
∴分三种情况讨论：①当直线经过点时，
∴，
解得；
②当时，；
③当时，
∴或或．
14．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点E、点，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为，
联立，
解得：，
∴；
（2）解：①在中，当时，，
解得，
∴，
∴，
∴的面积；
②∵点Q为直线上一点，
∴设，
如图，当点在直线上方时，
，
∵，
∴，
∴，
解得：，此时，
∴；
如图，当点在轴下方时，
，
∵，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或，此时，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
15．【详解】（1）解：对于直线，
令，可得，解得，
令，可得，
∴点B的坐标为，点A的坐标为，
∵点C的坐标为，
∴C是的中点，
∵直线经过点，且把分成的两部分面积相等，
∴直线必经过点B，
把B，C的坐标分别代入，
得，解得；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵被分成的两部分面积之比为，如图：
当时，直线与y轴或与直线的交点的纵坐标为，
当直线与线段相交时，由，
可得，解得，
∴两直线交点的坐标为，
∵，
∴，解得；
当直线与y轴相交时，同理可求坐标为，
又∵，
∴，解得．
综上所述，或．
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