2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十：一次函数中等腰三角形存在性问题训练（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十：一次函数中等腰三角形存在性问题训练
1．如图平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，将沿直线折叠，使得边落在上，点与点重合．
(1)求直线的解析式和点的坐标；
(2)轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，直线与直线交于点E．
(1)求E点坐标；
(2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标；
(3)若点M是x轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标．
3．如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D．直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)设点P在上，
①若，求点P的坐标；
②若是以为底边的等腰三角形，请求出点P的坐标．
4．如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．
(1)请直接写出点B的坐标　　　　　　；
(2)已知点D是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标；
(3)已知直线：正好将分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式．
5．如图，已知函数的图像与轴交于点，一次函数（）的图像经过点，与轴及函数的图像分别交于点，，且点的坐标为．
(1)直接写出________，________，________．
(2)求四边形的面积．
(3)轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点，点．
(1)求的面积；
(2)点在轴上，若是等腰三角形，直接写出点的坐标．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，连结、．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在直角坐标系中，直线过点和点，直线过点，两直线相交于点
(1)求和的表达式；
(2)求不等式的解集；
(3)连接，求的面积；
(4)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请写出所有满足条件的点P的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．
(1)求m和b的值；
(2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值；
③直接写出t为何值时，为等腰三角形．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数的解析式及的面积；
(2)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，平面直角坐标系中，点和，点为坐标平面内一动点．
(1)求斜边上的高；
(2)若为等腰三角形，求点的坐标．
12．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点和点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求出点、点的坐标及的值；
(2)在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
(3)若点为轴上的一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
14．如图，直线（a、b为常数，且）与x轴、y轴分别交于、两点，点C是第一象限直线l上的一点，连接，的面积为3．
(1)求直线l的函数解析式；
(2)点D是x轴上的动点，是否存在点D，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
15．已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．
(1)求出，的值；
(2)求的面积．
(3)在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【详解】（1）解：，
，
沿折叠、重合，
，
，设，则，
，即，，
设代入得：，
解得：，
直线的解析式是：；
过作于．

沿折叠、重合，
．
，
，，
，
，，
，
的坐标是：；
（2）设．
，，．分三种情况讨论：
①以为圆心，为半径作圆与轴交于点，则，
或；
②以为圆心，为半径作圆与轴交于点，则．
，
与重合，
；
③设线段的垂直平分线交轴于，则，
，
解得：，
．

综上所述：P的坐标为：或或或．
2．【详解】（1）解：联立，解得：，
∴；
（2）解：由两直线解析式可得，，
，
①当P点在x轴下方时，，
即：，
则，
解得：或（舍去），
将代入，解得：，
∴；
②当P点在x轴上方时，，
即：，
则，
解得：或（舍去），
将代入，解得：，
∴；
综上，P的坐标为或．

（3）解：当时，，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴或或．
当时，可知点M的坐标为或；
当时，由等腰三角形三线合一可知，即点M的坐标为；
当时，设，
则，
解得：，即点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或或．
3．【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，把，，代入，得：
，解得：，
∴；
（2）当时，；当时，；
∴，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）①当点P在x轴上方时：
则：，
∴，
∴当时，则：，
∴；
当点P在x轴下方时：则：，
∴，
∴当时，则：，
∴；
综上：或；
②当是以为底边的等腰三角形，则：点在的中垂线上，
∵，
∴点的横坐标为：，
∴当时，，
∴
4．【详解】（1）解：点坐标是，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点坐标是，
∴；
（2）解：∵点是线段上一个动点，
∴设，
①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
②当时，三角形是等腰三角形，
则点在的垂直平分线上，
∴，
③时，根据勾股定理得，
∴，
∴（不合题意舍去），（不合题意舍去），
综上所述，或；
（3）解：如图，连接，交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点坐标是，点坐标是，
∴，
∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分，
∴直线过，
∴
∴，
即与的函数关系式为．
5．【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即，
把代入中，得：，
把代入得：，即，
把坐标代入中得：，即；
（2）解：过作轴，垂足为，如图1所示，
由（1）可知：直线的解析式为，
∴令，解得：，
∴，
，
；
（3）解：设，
∵，
∴，，，
①当时，则，
∴，即，
∴，
∴或（与点B重合，舍去），
∴；
②当时，则，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
③当时，则，
∴，
∴，
∴；
综上所述点P的坐标为或或或．
6．【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于点，点，
当时，，
当时，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设，
当，且点在点上方时，
∵，
∴，此时点的坐标为；
当，且点在点上方时，
∵，
∴，此时点的坐标为；
当时，
∵，，
∴，
解得，
此时点的坐标为；
当时，
∵，
∴点与点关于原点对称，
此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
7．【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于、两点，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
，
，
将，代入得，
，
，
一次函数解析式为；
（2）解：由（1）知直线的解析式为，
当时，，
；
（3）解：存在．
，
，
当时，作于H，
，
，
当时，则，，
当时，设，
则，
，
解得，
．
综上所述：或或或．
8．【详解】（1）解∶由题意得，，
（2）解∶ 由题意，联列方程组，
点D的坐标为
不等式的解集为
（3）解∶ 由题意，，，
（4）解∶ 由题意，设，
，，
，，
当时，，
或，即或
当时，，
与A重合，舍去或，即
当时，，
，即
综上，点P的坐标为或或或
9．【详解】（1）解：在中，
当时，，
当时，，
，，
点在直线上，
，
，
又点也在直线上，
，
解得，，
，；
（2）解：直线与轴相交于点，
由（1）得，
，
解得，
点的坐标为，
由（1）得点的坐标为；
故答案为：，；
过点作于点，即为的高，如图所示，
，，
，
的面积为，
，，
，，
，
设，则，
，
解得；
为等腰三角形有三种情况：
过作于，如图1所示，
则，，
，
，
第一种情况：当时，，
，
此时，解得；
第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示，
则，
，
，
或，解得或；
第三种情况：当时，如图3所示，
设，则，
，
，
解得，，
与重合，，
，
，解得；
答：为等腰三角形时，的值为或或或．
10．【详解】（1）解：∵将点代入，
∴，
∴，
∴．
设一次函数的解析式为，将、坐标代入得
∴
∴；
在中，令得，
∴，
∴．
（2）解：在轴上存在点，使得是等腰三角形，
理由如下：
∵，
∴，
当为等腰三角形顶角顶点时，点与点关于轴对称，
∴；
当为等腰三角形顶角顶点时，，
∴或；
当为等腰三角形顶角顶点时，设，
∵，
∴，
解得，
∴，
综上所述：点坐标为或或或．
11．【详解】（1）解：∵点和，
∴，
设斜边上的高为h，
∵，
∴，
解得：，
即斜边上的高为；
（2）解：∵为等腰三角形，
∴或或，
当时，不成立；
当时，
此时，
解得：或3，
∴点M的坐标为或，
设直线的解析式为，则
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点在直线上，不符合题意，舍去；
当时，
此时，
解得：，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．
12．【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
将点和点代入得：，解得，
所以一次函数的解析式为．
（2）解：如图，点在轴上，
设点的坐标为，
∵，，
∴，的边上的高为，
∵的面积为3，
∴，
解得或，
所以点的坐标为或．
（3）解：设点的坐标为，
∵，，
∴，，，
由题意，分以下两种情况：
①当时，是以为一腰的等腰三角形，
则，
解得或，
此时点的坐标为或；
②当时，是以为一腰的等腰三角形，
则，即，
解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
综上，在轴上存在点，使得是以为一腰的等腰三角形，此时点的坐标为或或．
13．【详解】（1）解：∵与轴交于点，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴点，
∵点是的中点，点，
∴点；
（2）解：如图，当时，
∵点，点，
∴，，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
如图，当时，即与重合时，
∴，
综上可知，点的坐标为或；
（3）解：由（）得：，
如图，
当，则；
当，则；
如图，设，
当时，
∴，，
∴，解得：，
∴，
如图，
当时，
∴，
∴，
综上可知：为等腰三角形，点的坐标为或或或．
14．【详解】（1）解：把、代入，得 ，
解得，
∴直线l的函数解析式为．
（2）解：∵，
∴OA=2，
∴，
∴，
令，解得，
∴．
过点C作轴于点E，则，，
∴，
当时，点D在的位置，则，
∴、．
当时，点D在的位置，此时点与点O关于点E对称，，
∴．
综上，点D的坐标为或或．
15．【详解】（1）解：把代入中，得，
解得，
把代入中，得，
解得；
（2）解：∵，，
∴，
联立，解得，
∴点A的坐标为，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：存在，
设，则，，，
当时，则，
解得：，
∴；
当时，，
∴，
解得：或（舍）
∴；
当时，，
解得：，
∴或，
综上：当为等腰三角形时，或或或．
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