2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十一：一次函数与相似三角形存在性问题（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十一：一次函数与相似三角形存在性问题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，A，点C在x轴正半轴上，连接，，点M为射线上一动点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)直线与y轴交于点D，若，求点M的坐标；
(3)若点M在线段上，点N在直线上，，是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
2．如图1所示，在平面直角坐标系中直线与坐标轴分别交于A，C两点，一动点从点出发向终点以每秒1厘米的速度移动，同时点从点向轴负半轴以每秒2厘米的速度移动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)如图1，作射线，求当为何值时，平分？
(2)如图2，若与相似，求的值．
3．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)若点C为直线上第二象限的点，且，求点C的坐标；
(2)在（1）的条件下，直线上是否存在点Q，使得与相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，四边形是矩形，点在坐标轴上，绕点顺时针旋转得到，点在轴上，直线交轴于点，交于点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)判断与是否相似？并说明理由．
(3)点在轴上，平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C为线段上的一个动点，分别以、为边在x轴上方作正方形和正方形，连接交直线于点P，设P点坐标为．
(1)当C运动到点时，求P点坐标；
(2)当点C从点A运动到点B的过程中（包含A、B两点），试求出点P运动路径图象的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)连接、，在点C的运动过程中，是否存在和相似，若存在，试求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
6．已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点A，C的坐标分别为，，．
(1)求点B的坐标和过点A，B的直线的函数表达式；
(2)在x轴上找一点D，连接，使得与相似（不包括全等），并求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，若P，Q分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的m使得与相似？如存在，请求出的m值；如不存在，请说明理由．
7．如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点．
(1)求直线的解析式及点坐标．
(2)已知点是轴上一动点，若以点为顶点的三角形与相似，试求点的坐标．
(3)若点是直线下方的一点，且点的横，纵坐标乘积为，若的面积为12．求点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线与x轴、y轴分别交于点C，点D，与相交于点E，线段，的长是一元二次方程的两根，，．
(1)求点A、点C的坐标；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使点C，点D、点P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．
9．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点的坐标是，连接．
(1)求的面积；
(2)如果动点D在直线上，使得，请直接写出点D的坐标；
(3)如果动点P在直线上，且与相似，求点P的坐标．
10．在平面直角坐标系中（如图），已知直线：交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴上且，点在线段上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，连接．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求点的坐标；
(3)如果点是直线上的动点，连接，当与相似时，求点坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是，连接．
(1)求的面积；
(2)如果点D在线段上，且，求点D的坐标；
(3)如果点P在直线上，且与相似，求线段长度．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在线段上．
(1)若将线段绕着点C逆时针旋转，点B的对应点D恰好落在直线上，求直线解析式；
(2)若将线段绕着点C逆时针旋转后所在直线交于点E，当最小时，求点E坐标；
(3)在（2）的条件下，若在直线下方且在第四象限内有一点P，当与相似时，直接写出满足条件的点P的坐标．
13．在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接．
在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在
(1)求点D的坐标；
(2)求证：；
(3)如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标．
14．如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，，点（A点在C点的左侧），连接，过点A作的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知，直线交x轴于点E．
(1)填空：点A的坐标为________，点D的坐标为________，直线的解析式为________；
(2)直线上有一点M，设点M的横坐标为m，若与相似，求m的值；
(3)在直线上找一点N，直线上找一点P，直线上找一点Q，使得四边形是菱形，求点N的坐标．
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线l：上，过点B作的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
(1)如图，点B，C分别在第三、二象限内，与相交于点D．
①若，求证：．
②若，求四边形的面积．
(2)是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴点M的坐标为或；
（3）解：当时，，
过点O作交于H，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，过点O作交于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的长为2或．
2．【详解】（1）解：∵与坐标轴分别交于A，C两点，
∴令，则，令，则，解得，
∴，
，
，
过点作于，
平分，
，
，
又，
，
由题知，，
，
；
（2）解：当时，
∴，
解得，
当时．
，
解得，
综上：或．
3．【详解】（1）解：如图1，过点C作轴交x轴于D，
∴，
∴，
∵直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，则，
∵点C为直线上第二象限的点，
∴；
（2）解：直线上是存在点Q，使得与相似，
如图7，
由（1）知，，
∴，
∴，
当点Q在射线上时，，
∴与不可能相似；
当点Q在的延长线上时，
设，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，，
∵与相似，
∴①，
∴，
∴，
∴，则，
∴；
②，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
即：满足条件的点或．
4．【详解】（1）解：，
，
是绕点顺时针旋转得到的，
，
，
设直线解析式为，
把坐标代入可得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：不相似，理由如下：
四边形是矩形，
，，
，
由旋转的性质可知，，
，
由（1）可知直线的解析式为，
令，则，
，
，
，
，
，
，
，
与不相似；
（3）解：存在，理由见解析．
①当为对角线时，如图，
∵，四边形为矩形，
∴与重合，即，
②当为矩形的对角线时，连接，
由题意可得，即，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
由（1）可知直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
设，
则，即，
解得，即；
③当为矩形的对角线，连接，
同理得，即，
解得，即；
综上，存在点的坐标为或或，使为顶点的四边形为矩形．
5．【详解】（1）解：∵点A坐标为，点B坐标为，点C的坐标为，
∴，，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴；
（2）解：设，
∴，，
∴，，
同理得：，
∵连接交直线于点P，设P点坐标为．
∴，
当时，；
（3）解：由（2）知：设，，，，，，
∴，，，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
当和相似时，有两种情况：
①当时，，
即，
∴，
∴，
此方程无解；
②当时，，
，
解得：（舍），，
∴．
6．【详解】（1）解：∵点A，C，
∴，
∵，，
∴，
∴B点坐标为，
设过点A，B的直线的函数表达式为，
由，
解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：如图，过点B作，交x轴于点D，
在和中，
∵，
∴，
∴D点为所求，
又，
∴，
∴,
∴点D坐标为．
（3）解：这样的m存在．
理由：
在中，由勾股定理得，
如图，当时，，
则，
解得，
如图，当时，，
则，
解得，
故存在m的值是或时，使得与相似．
7．【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，，，
∵，即，
∴要使与相似，则点P在点A的右侧，
当时，
又，
∴，
∴，即，
解得，
∴
∴点P的坐标为；
当时，
又，
∴，
∴，即，
解得，
∴
∴点P的坐标为，
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设，
过Q作轴，交直线于M，则
∵的面积为12，
∴，
解得，，
当时，；
当时，；
∴点Q的坐标为或．
8．【详解】（1）解：，即，
则，，
解得：或，
又，
，，
的坐标是，C的坐标是；
（2），
，
则B的坐标是，
∴，
作轴于点
∴，，
则，
，
，
，，
则，
则E的坐标是
，，
；
设直线的解析式是，则，
解得，
则直线的解析式是；
当时，，即，
，
的面积；
（3）根据勾股定理得；
设P的坐标是，则
当时，，即，
解得：，
则P的坐标是；
当时，，则，
解得：，
则P的坐标是
总之，P的坐标是和
9．【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，，
∴，
∴，
令，，
∴，
∴，
∵点的坐标是，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设直线的解析式为：，
，，
解得：
直线的解析式为：，
当时，分两种情况：
①点在轴上方，如图，
设与轴交于，由题得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
∴
解得：
∴直线的解析式为：，
联立直线和直线，得：
∴
解得：
∴，
②点在轴下方，如图，
设与轴交于点，
同理，，直线的解析式为：，
联立直线和直线，得：
∴
解得：
∴，
综上所述：点的坐标为：或．
（3）解：在中，，
∴，
同理得：，
过点作于点，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在直线上，设，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
当时，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
综上所述：点P的坐标为．
10．【详解】（1）解：如下图所示，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点和的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式是；
（2）解：当时，，
点的坐标是，
当时，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
，
，
点的坐标是，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
点的坐标是；
（3）解：由可知，
，
点的坐标是，点的坐标是，
，
是等腰直角三角形，，
，
在中，，
，
由可知，，，
如下图所示，过点作轴于点，
则，
，
，
在和中，，
，
，，
，
点的坐标是，
点的坐标是，
，
当时，，
，
解得：，
设点的坐标是，
则有，
解得：，，
当时，点在的延长线上，
此时，不符合题意，应舍去，
，，
点的坐标是；
如下图所示，当时，，
，
解得：，
设点的坐标是，
则有，
整理得：，
分解因式可得：，
解得：，，
当时，点点在的延长线上，
此时，不符合题意，应舍去，
当时，，
点的坐标是；
综上所述，当与相似时，点坐标为或．
11．【详解】（1）解∶ 直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当，则，
．
．
当，则，解得．
．
．
点C的坐标是，
．
．
；
（2）解∶设直线的解析式为，
，点C的坐标是，
，
解得．
直线BC的解析式为．
，
当点D在线段上时，如图1，设与y轴交于点E，由题意得，
，，
．．
，
．
设直线的解析式为，
，
解得
直线的解析式为，
联立和得，
解得
点D的坐标为；
（3）解∶在中，
，
．
同理可得．
如图，过点P作轴于点E，
，；
，
轴，
．
．
P在直线上，设，
．
．
当时．
．
，解得．
．，
当时，
．
，解得．
．
综上，线段长度为．或
12．【详解】（1）过D点作轴交于G点，
直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
,,
，
，
，
，
，
，
，，
设，，
，
点在直线上，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为；
（2）如图，作点关于直线的对称点，则，
，
，
，当且仅当、C、E三点共线时取等，
即最小值为的长，
而当时，最小，如图所示，
，
，
，又，
，
，即，
，即点，
由和可得直线解析为，
联立直线和直线解析式得，
，解得，
；
（3）解：由可知为直角三角形，且，
①当时，如图，
此时，
点C和点P关于点E对称，
，，
；
②当时，如图，
则，，
，
，
，
，
；
③当时，如图，
此时，
过E作轴于点Q，则，
，
，
，，
，，
如图，过P构造，
，
设，，则，，
则有，解得，
；
④当时，如图，
同③可得≌，则，，，
，
；
⑤当时，如图，
此时，
四边形是平行四边形，则，，
；
⑥当时，如图，
则，,且，
,
，
，
过E作轴于点Q，过P作轴于点H，
则，
，
，
，，
，
；
综上，点P坐标为或或或或或．
13．【详解】（1）对于，令，则，
令，则，
，，
，．
，
，．
，，
，
．
又∵在中，由勾股定理得，
，
，
，
点D坐标是；
（2）证明：，，
．
，
，．
过点作于点H，如图，
，，
．
又，
,
，，
，
，．
，
，
；
（3），
当与相似时，点P只能在射线上．
，，，，
，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为,
令，则，
，
，
①当时，即，
，
解得：，
．
如图所示，过点作轴于点F，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为．
设，则，，
在中，，
，
，
解得：，（舍），
，
此时；
②当时，即，
，
解得：，
，
，
点为中点，
，，
；
综上所述：点P坐标是或．
14．【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵点，
∴，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：∵点M的横坐标为m，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴，
∴，，
∴，，，，
∵，
∴与相似时，只有和两种情况，此时M点在x轴下方，
∴，
当时，，
∴，
解得或（舍）；
当时，，
∴，
解得或（舍）；
综上所述：m的值为1或；
（3）解：设，，，
∵四边形是菱形，
∴、是菱形的对角线，，
∴，
解得或，
∴或．
15．【详解】（1）①证明∶，
，
，
，
，
，
，
，
；
②过点作于，过点作轴于，如图，
∵点在直线上，
设 ，
，，
，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
设，则，
在中，，
∵，
∴，
，
解得∶或(舍去)，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，，
∴；
（2）存在点，使得以为顶点的三角形与相似，
理由如下∶
Ⅰ．过点作于，当在线段或延长线上时，如图，图，
由 (1) ②可知∶，
设 则，，
，
，，
，
，即 ，
，
在中，
，
，
∴以为顶点的三角形与相似，
则或 ，
或 ，
解得 ，
或；
．过点作于点M，当在线段的延长线上时，如图，
由(1)②可知∶ ，
设则 ，，
，
，，
，
，即 ，
，
中，
，
，
∴以为顶点的三角形与相似，需满足
即，
解得：或(舍去)，
；
综上所述，以为顶点的三角形与相似，则的长度为：或或．
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