2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十三：一次函数与平行四边形存在性问题（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十三：一次函数与平行四边形存在性问题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点；直线过点和点，且轴．点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设点运动的时间为（秒）．
(1)求直线的函数表达式及点的坐标；
(2)运动秒后，点坐标为 ，点坐标为 ；（用含的式子表示）
(3)若以为顶点的四边形为平行四边形，求的值．
2．如图，四边形为矩形，，将矩形沿直线折叠，使点A落在点处．
(1)求证：；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在y轴上作点，连接，点N是x轴上一动点，直线上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点．
(1)点坐标为(________，________)．
(2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
(3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
4．综合与探究：如图，直线AB：分别交x轴，y轴于点B，E，过点A作直线分别交x轴，y轴于点， ．

(1)求直线的解析式．
(2)在y轴左侧作直线轴，分别交直线，于点F，G．当时，过点G作直线轴，交y轴于点H．能否在直线上找一点P，使的值最小，求出P点的坐标．
(3)M为直线上一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在点Q使得以P，Q，M，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．
(1)求点C的坐标及直线的表达式；
(2)如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线轴，交直线于点F，交直线于点G，若点E的坐标是，求的面积；
(3)在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，请直接写出点H的坐标．
6．如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，．
(1)求直线的解析表达式；
(2)点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值；
(3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标．
7．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过点B的直线交x轴正半轴于点C．
(1)求点A、B两点的坐标；
(2)若已知的面积为40．
①求点C的坐标及直线的解析式；
②点P是平面内一点，且以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，已知D是的中点，若E是直线上一点，且，求点E的坐标；
8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段上，过点C作的垂线交直线于点D，且，过点D作轴于点E．
(1)求证：；
(2)如图1，求点D的坐标及直线的解析式；
(3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)如图2，过点的直线与y轴交于点F，与直线交于点D，．
①求直线的解析式；
②若E是直线上的动点，则在y轴上是否存在点G，使以点G，E，B，D为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，将沿过原点的直线折叠，点A落在x轴上的点E处，折痕交边于点D，点B坐标为，四边形的面积为12．
(1)点坐标为____________；
(2)求直线解析式；
(3)四边形的形状为____________，请说明理由；
(4)坐标平面内的点使以点、、、为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点，且与坐标轴交于、B两点．
(1)求m的值及一次函数解析式；
(2)求的面积；
(3)在第一象限内是否存在点P，使得四边形为平行四边形，若存在请直接写出点P坐标，若不存在请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，，经过点的直线与轴、轴分别交于点．
(1)直接写出点坐标为___________，点的坐标为___________；
(2)求经过点，且与直线平行的直线的函数解析式；
(3)问直线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)在平面直角坐标系内确定点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C．
(1)求a，b的值；
(2)求；
(3)若x轴上存在一点P，使得是等腰三角形，求点P的坐标；
(4)直线与y轴相交于点D，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以点A，B，D，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
14．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上．
(1)求线段的长度；
(2)过点D作垂直于x轴于点E，已知点，求出的函数解析式；
(3)若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．
(1)线段的长度为_____；
(2)求直线所对应的函数表达式；
(3)求点E的坐标；
(4)若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【详解】（1）解：对于，当时，，当时，，
∴，，
把和代入，得
，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（2）解：运动秒后，，，
∴点坐标为，点坐标为，
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴当时，以为顶点的四边形为平行四边形，
∵，
∴，
解得：．
2．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
在中，，
∴解得：，
∴，
∵点E在上，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
（3）解：∵以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当为对角线时，于互相平分，
∴的中点也是的中点，
由（2）知，，
∵，
∴的中点坐标为，
设，，
∴，，
∴，，
∴，；
②当为边时，
a.为对角线时，，
由（2）知，直线的解析式为，
∵点
∴直线的解析式为，
∴，
∵，，
根据待定系数法可得：直线的解析式为，
∵
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴；
②为对角线时，的中点，也是的中点，
∴的中点在直线上，
设，
∵，
∴的中点坐标为，
∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴的中点坐标为，
设，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴满足条件的点，，．
3．【详解】（1）解：将点代入直线得：，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，
∴点坐标为；
故答案为：．
（2）解：将代入直线得：，即，
将点代入直线得：，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得或，
所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
（3）解：由上已得：，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，
过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
4．【详解】（1）解；设直线解析式为，由， 得
，解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：与y轴交于点，与y轴交于点，
∴．
∴．
设，则，
将代入，得，解得，
∴，，．
直线AB：与y轴于点， 与点重合.
设F关于直线的对称点，则，
∵点P在上，由对称知，，
∴，
如图，连接，则,
当P，D ，三点共线，即点P为与直线的交点时，，此时取最小值．

设直线的解析式为，则
，解得，
∴直线的解析式为．
令，得，
∴．
（3）解：存在，点Q的坐标，或，或．
①如图，当，时，四边形是平行四边形；
由，时，，得，
∴
∴
∴．

②如图，当，时，四边形是平行四边形，
∵，
∴

③如图，当，，四边形是平行四边形，
过点P作轴，垂足为N，过点M作轴，垂足为K，
∵，
∴．
而，
∴．
∴．
又，，
∴．
∴，．
∴点M的纵坐标为．
时，，得
∴

综上，点Q的坐标为，或，．
5．【详解】（1）解：∵点在直线上，
，
解得，
∴；
将，代入直线得，，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：，
∴，，
，
．
（3）解：设，
∵直线的解析式为与y轴交于点B，
，，
∴，
∵在平面内找一点H，使其与点O、C、B构成平行四边形，
①当为对角线，
∴，
则
∵，，，
∴
，
∴；
②当为对角线，
∴，
则，
∵，，，
∴
，
∴H；
③当为对角线，
∴，
∵，，，
∴
，
∴；
综上：H的坐标为或或．
6．【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，
∴当时，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴将代入得，
解得，
∴直线的解析表达式为；
（2）解：联立直线和直线得，
，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线与y轴的交点为F，
将代入得，
∴，
∵直线交y轴于点B，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则，
∴，
∴，
当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度
∵，，
∴，
∴的最小值为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴当时，
解得
∴；
（3）解：将直线向上平移3个单位得到直线，
∴直线的解析式为，
设，，
∵，，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴当为平行四边形的对角线时，
解得，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
解得，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
解得，
∴；
综上所述：N点坐标为或或．
7．【详解】（1）解：令，得，
令，得，
∴
（2）①设点，则
∴，
解得
∴；
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
②∵，
∴
当为边时，
如图，当四边形是平行四边形时，
∴且，
∵，
∴；
如图，当四边形是平行四边形时，
同理可得；
当为对角线时，
如图，此时四边形是平行四边形，
连接交于N，作交于M，
由平行四边形的性质可知，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或；
（3）如图，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点E、作交于点G，交于点H，
∵，
∴
∵点D是直线的中点，轴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，E、均为所求，
在和中
∴（）
设
∴，，
∴横坐标为：，纵坐标为：，
∴，
把代入直线中得：，
∴，
∴，，
即点E的坐标为或．
8．【详解】（1）证明：∵，轴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：对于直线，
当时，，解得，则，
当时，，则，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
将点代入直线得：，
解得，
∴，点的坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
所以直线的解析式为．
（3）解：由题意，设点的坐标为，点的坐标为，
①当以点为顶点构成四边形为平行四边形时，
∴对角线互相平分，
∴，解得，
∴；
②当以点为顶点构成四边形为平行四边形时，
∴对角线互相平分，
∴，解得，
∴；
③当以点为顶点构成四边形为平行四边形时，
∴对角线互相平分，
∴，解得，
∴；
综上，所有满足条件的点的坐标为或或．
9．【详解】（1）解：当时，，当时，，
；
（2）①设直线的解析式为，
，
当时，解得，
，
，
，
解得或（舍），
∴直线的解析式为；
②在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设，
由①可知，
当为平行四边形的对角线时，
，解得：
；
当为平行四边形的对角线时，
，解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，解得，
．
综上所述：G点坐标为或．
10．【详解】（1）解：如图，延长，交轴于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵点坐标为，
∴，
由折叠的性质得：，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形的面积为12，
∴，
解得，
∴，
∴点坐标为，
故答案为：．
（2）解：由（1）已得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
设直线解析式为，
将点，代入得：，解得，
所以直线解析式为．
（3）解：四边形的形状为菱形，理由如下：
由（1）已得：，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（4）解：由上已得：，，，
∴，
∴，，
设点的坐标为，
①当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，
∴对角线互相平分，
∴，解得，
∴；
②当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，
∴对角线互相平分，
∴，解得，
∴；
③当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，
∴对角线互相平分，
∴，解得，
∴；
综上，点的坐标为或或．
11．【详解】（1）解：∵一次函数与正比例函数交于点，
∴，即，
将点C、A代入中，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为．
（2）解：∵，
∴当时，，即
∴，
∴的面积．
（3）解：存在点P，使得四边形为平行四边形，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，即．
12．【详解】（1）解：∵矩形的边在轴上，，
设点C的坐标为，
∵点C在直线上，
∴，
∴，
即点C的坐标为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴点D的坐标为；
（2）解：设经过点D且与平行的直线函数表达式为，
将代入，得，
∴经过点D且与平行的直线函数表达式为；
（3）解：存在．理由如下：
∵当时，，即，而，
∴，
∴，而，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当时，延长与直线交于点，
∵点D的坐标为，
∴点的横坐标为1，
把代入得，，
∴点；
②当时，作的垂直平分线与直线的交点即为点，
所以，点的横坐标为，
把代入得，，
所以，点，
综上所述，符合条件的点P的坐标为或；
（4）解： 由（3）可得：，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，如图，
∴若是对角线，则，
∴，
此时，点的坐标为，
若是对角线，则，
，
此时，点的坐标为，
若是对角线，，，，
由平移可得点M的坐标为，
综上所述，点M的坐标为，，．
13．【详解】（1）解：将点代入直线，
得，
解得，
直线，
将点代入直线，
得，
解得；
（2）解：∵，
∴直线，
当时，，
点坐标为，
当时，，
点坐标为，
，
的面积为；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，
，
，
∴，
当时，点P的坐标为或，
当时，，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
当时，，
∴，
解得：或（舍去），
∴此时点P的坐标为；
综上分析可知：点P的坐标为，，，；
（4）解：把代入得：，
∴，
设点Q的坐标为，
，，
当，为对角线时，，
解得：，
∴此时点Q坐标为；
当，为对角线时，，
解得：，
∴此时点Q坐标为；
当，为对角线时，，
解得：，
∴此时点Q坐标为；
综上分析可知：点Q的坐标为：或或．
14．【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直于x轴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可知，
设，，，
①当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
∴；
③为平行四边形的对角线时，则F点在的延长线上，与题意矛盾，这种情况不成立；
综上所述：E点坐标或.
15．【详解】（1）解：由题意，得：点的坐标为，，，
，
故答案为：10；
（2）解：设，则，，，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
设直线所对应的函数表达式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线所对应的函数表达式为；
（3）解：过点E作轴于点F，如图所示．
∵，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴点E的坐标为．
（4）解：存在，
如图所示，由，设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
∴存在，点P的坐标为：．
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