2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十一：一次函数与直角三角形存在性问题（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十一：一次函数与直角三角形存在性问题
1．如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，连接，，点是线段上的一动点．
(1)______；______；
(2)求的面积；
(3)将沿直线翻折，点的对应点为，若为直角三角形，求线段的长．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点．
(1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______．
(2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标．
(3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，有一条直线过点和点，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求所在直线的表达式及线段的长；
(2)求线段的长；
(3)在轴上找一点，使得为直角三角形，求点的坐标．
4．如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标．
5．在平面直角坐标系中，如图，长方形的顶点分别在轴和轴上，为坐标原点，为上一点，且为长方形边上一动点（不与点重合），作点关于直线的对称点，已知．
(1)直接写出点的坐标为___________；点的坐标为___________；
(2)当时，求直线的表达式；
(3)是否存在点，使是直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知一次函数的图象经过点．
(1)若该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积是4，求b的值；
(2)平面内有点．
①试说明：一次函数的图象经过点B；
②一次函数的图象与y轴交于点C，当为直角三角形时，求点B的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于两点，C为中点．
(1)求直线的解析式；
(2)若D为线段上一动点，沿所在直线将翻折到的位置，直线交于点F．当是直角三角形时，求点D的坐标；
(3)连接，若直线与直线所夹锐角小于，求k的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．
(1)求m和的值；
(2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒．
①求的面积S与时间t的关系式；
②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
9．如图1，平面直角坐标系中，直线交 y 轴于点，交 x 轴于点 ，直线交 于点 ，交 x 轴于点E．
(1)求直线的表达式和点的坐标．
(2)如图 2，点的坐标为，则的面积是 ．
(3)设点是 x 轴上一动点，求的最小值．
(4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，直接写出点C的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1)如图1，求点、两点的坐标；
(2)如图2，求直线的表达式；
(3)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B．过点B的直线y=-x+b与x轴交于点C．已知A（-4，0）、C（3，0），点D为x轴上一动点，将△ABD沿BD折叠得到△EBD，直线BE与x轴交于点F．
(1)求直线AB、BC的函数解析式；
(2)若点D在线段AO上，且△DEF与△BFC的面积相等，求线段BD的长；
(3)在点D的运动过程中，△DEF能否成为直角三角形？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
12．如图：在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于点A，点B，已知点．

(1)求出点A，B的坐标；
(2)点P是直线上的一个动点，且，求点P的坐标；
(3)如图2，过点C作y轴的平行线m，在直线m上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在请直接写出符合条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，在坐标系中，函数y=2x+6的图象分别与轴、轴交于两点.过点的直线交轴上方的点M，且点为线段的中点．
(1)求直线的函数解析式．
(2)试在直线上找一点P，使得，请直接写出点的坐标．
(3)在x轴上是否存在点H，使得以点A，B，H为顶点的三角形边形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接；
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积
(3)直接写出时，的取值范围；
(4)在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
15．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，那么称点是点，的融合点．例如：，，当点满足，时，则点是点，的融合点．
（1）已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点，点是直线上任意一点，点是点，的融合点．
①试确定与的关系式；
②在给定的坐标系中，画出①中的函数图象；
③若直线交轴于点．当为直角三角形时，直接写出点的坐标．
参考答案
1．【详解】（1）解：直线l：与x轴，y轴分别交于A，B两点，
把代入，得，
点A的坐标为，
把代入，得，
点B的坐标为，
，
；；
（2）解：由（1）可知：；；，
，，
，
是直角三角形，即，
；
（3）解：①当时，如图，
沿直线翻折，
，
，
，
C、M、A三点共线，
；，
设，，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
；
②当时，如图，过点M作于N点，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
；，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即，
综上所述：的长为或．
2．【详解】（1），
解：∵，则，，
∴，
∴，则点，
设直线的表达式为，
∴，
解得：
∴直线的表达式为：，
故答案为：，；
（2）设点，
由点A、B、P的坐标得，，，，
当为斜边时，则，
解得：（舍去）或，
∴点；
当为斜边时，,
解得，
∴点P，
当为斜边时，
解得：（舍去），
综上，点P的坐标为：或；
（3）当点P的坐标为时，如图，作轴于，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折叠性质可知：，，
∴，
∴，，
∴，
如图，当点P的坐标为时，则，
设直线解析式为，与交于点，
∴，
解得：，直线解析式为，
由折叠性质可知：垂直平分，
∵，
∴，
解得：，
设，
∴，
解得：，
∴点，
由中点坐标公式得：点，
综上，B′或．
3．【详解】（1）解：设所在直线的表达式为，
将点，点代入
得解得
所在直线的表达式为．
当时，代入得，当时，代入得，
点，点，即，．
在中，．
（2）解：如图1，分别过点，作轴，轴，与相交于点．
点，点，点．
，．
在中，．
（3）解：如图2，过点作轴于点，过点作轴与点，连接，．
点，点，，，，．
设点，则，．
，．
①当为斜边时，有，即．
整理得．解得．
点的坐标为或．
②当为斜边时，有，即．
整理得．解得．
点的坐标为．
③当为斜边时，有，即．
整理得．解得．
点的坐标为．
综上，点的坐标为或或或．
4．【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴的值为；
（2）∵直线与轴交于点，
当时，得：，解得：，
∴，
由（1）知：，
∴，，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
（3）①当时，
由（2）知：，
此时点与点重合，
∴点的坐标为，
②当时，即，此时点的横坐标为，如图，
∵直线，
当时，得：，
∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
5．【详解】（1）解：∵，
∴
∵四边形是长方形，
∴轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接，
∵，
∴，
由轴对称知，，直线垂直平分，
∵轴，且，
∴点在x轴上，
当点在点A的左边时，，
∴，
∵，
∴中点坐标为，
设所在直线解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴；
当点在点A的右边时，，
∴，
∴中点坐标为，
∴，
解得，
∴．
∴直线的表达式为或．
（3）解：过点作轴于点F，
则，
∴，
由轴对称知，，
∵是直角三角形，
∴，
∴
，∵，
∴，
∴，
∴，
当点在x轴下方时，
∴，
∴，
∵，
∴的中点坐标为，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴；
此时点E在上，
∴时，，
∴；
当点在x轴上方时，，
∴，
∴中点坐标为，
∴，
解得，
∴，
∵此时点E在上，
∴时，，
解得，
∴．
∴点的坐标为或．
6．【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，
∴
即，
∵，
∴，
∵所围三角形的面积为4，且，
∴，
∴或（不符合题意，舍去）；
答：b的值为4．
（2）①将代入得
，
∴，
当时，，
∴一次函数的图象经过点；
②∵一次函数与y轴交于点C，
∴点C坐标为，
∵点，点A坐标为，
∴，
在中，，
同理可得：，
当为直角三角形时，分三种情况进行分类讨论：
当，得：，
即：，
解得：；
∵，
∴，
∴点B坐标为；
当，得：，
即：，
解得：，
∵，
∴，
∴点B坐标为；
当，得：，
即：，
解得：，
∴该方程无解；
综上所述，当为直角三角形时，点B坐标为或．
7．【详解】（1）设直线的解析式为，代入，得
解得：
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，C为中点．
∴
∴
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
①当时，如图所示，
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，沿所在直线将翻折到的位置，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴
延长交轴于点，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：，
∴
∴
∴
②当时，如图所示，过点作轴于点，
同理可得是等腰直角三角形，
∴
设，则，则，
∴，，，，
∴，
在中，，
在中，，
∵折叠
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
∴
在中，
∴
解得：
∴，
∴；
综上所述，或；
（3）解：如图所示，作直线分别与直线所夹锐角为，交轴于点，使得，交于点，
∴三角形是等腰直角，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
在中，
在中，
又∵
∵
∴，
∴
∴
解得：或（舍去）
∴，
设直线的解析式为
代入，
∴
解得：
直线的解析式为；
过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴即
设直线的解析式为
代入，
∴
解得：
直线的解析式为；
综上所述，直线与直线所夹锐角小于，则k的取值范围为或．
8．【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴点，
∵函数的图象过点，
∴，
解得，
即m的值是6，b的值是；
（2）解：①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴点，点，
∵函数的图象与x轴交于点D，
∴点D的坐标为，
∴，
∵点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动），点E的运动时间为t秒，
∴，，，
∴的面积，
即当的面积S与时间t的关系式为；
②如图，分两种情况讨论：
当时，，
∵点，点，点，点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，；
当时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，；
综上所述，当或时，是直角三角形．
9．【详解】（1）解：∵直线交 y 轴于点，交 x 轴于点 ，
∴，解得：，
∴直线的表达式为，
当时，，
∴点D的坐标为；
（2）解：由（1）得：点D的坐标为，
∵点P的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：存在，
如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点Q，
∴，点的坐标为，
∴，
∴当点、Q、D三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵点的坐标为，点D的坐标为，
∴；
（4）解：∵以为腰在第一象限作等腰直角三角形，
∴或，
当时，记等腰直角三角形为，作轴于点M，则，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点；
当时，记等腰直角三角形为，
同理可得，
综上所述，满足条件的点C的坐标为或．
10．【详解】（1）解：在中，
令得，
令得，解得．
，．
（2）解：由（1）知，，．
．
将沿直线折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处，
， ．
．
．
设，则，．
，
，解得．
即．
设直线的表达式为．
把，代入，
得，解得．
直线的表达式为．
（3）解：在第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，理由如下：
设，
当A为直角顶点时，过A作轴，过P作于K，过B作于T，如图
．
为等腰直角三角形，
， ．
，
，
．
在和中
，
．
，．
．
解得，
；
当P为直角顶点时，过P作轴交y轴于H，过A作于G，
同理可得．
，．
．
解得，
；
综上所述，的坐标为或．
11．【详解】（1）将C（3，0）代入直线BC解析式y=－x+b得，解得，
即直线BC的解析式为，
令，则，，
设直线AB的解析式为，
将A（－4，0）、代入得
，解得，
∴直线AB的解析式为；
（2），
，
即，
由折叠可得，
，
，
，
，
，
，
，，
，
（3）分类讨论：
①当时，此时点F在线段BE上，且点F与点O重合，如图所示：
过点D作DG⊥AB，垂足为点G，如上图所示，
由折叠可知，即BD为∠ABE的角平分线，
，
由（2）可得，AB=5，OB=3，
设，则，
，
即，解得，
；
②当时，有两种情况：
Ⅰ）当点F在线段BE上时，如图所示：
∵，∴，
由折叠可得，
，
∴△OBD为等腰直角三角形，
，；
Ⅱ）当点F在直线EB的延长线上时，如图所示：
由折叠可得，
∴△OBD为等腰直角三角形，
，；
③当时，此时点F在EB的延长线上，且点F与O点重合，如图所示：
∵折叠，∴，，
设，则，
由折叠可得，则，
即，
，
解得，
∴，
综上，在点D的运动过程中，△DEF能成为直角三角形，此时点D的坐标为 ．
12．【详解】（1）解：令，解得，
∴，
令，，
∴；
（2）①如图，当P点在线段上，设，

∵，，，
∴，，
∵，
∴ ， 即，
解得，
∴；
②当P在线段的延长线上时，，不合题意．
③如图2，当点P在线段的延长线上时，

设，
∵，
∴，即 ，
解得，
∴，
综上，或；
（3）存在，Q点坐标为：或． 理由如下：
∵过点作平行于y轴的直线，点Q在直线m上，
∴设，
∵，，
∴，
，
，
故当，即， 解得：或，
当时，，，，不是直角三角形，
当时，，，，是直角三角形，
∴，
故当，即， 解得：，
当时，，，，不是直角三角形，
当时，，，，是直角三角形，
∴，
当，即， 解得：，
∵在直线上，故舍去．
∴Q点坐标为：或．
13．【详解】（1）∵直线AB的函数解析式y＝2x＋6，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=－3，
∴A(－3，0)，B(0，6)，
又∵M为线段OB的中点，
∴M(0，3)，
设直线AM的解析式为y=kx+b，将A(－3，0)，M(0，3)分别代入得：
，解得：，
∴直线AM的解析式为：y＝x＋3；
（2）设P点坐标(x，x＋3)，
∵A(－3，0)，B(0，6)，M(0，3)，
∴，，
∵S△ABP＝S△AOB，
∴，
解得：x＝3或－9，
∴P(3，6)或P(－9，－6)；
（3）存在，理由如下：
∵点H在x轴上，
∴设H(h，0)，
∵A(－3，0)，B(0，6)，
∴，，，
若△ABH为直角三角形，则：
①当AB为斜边时，，即，
解得：或（舍去），
∴H(0，0)；
②当AH为斜边时，，即，
解得：，
∴H(12，0)；
③当BH为斜边时，，即，
解得：（舍去），不存在当BH为斜边的△ABH为直角三角形，
综上所述，当点H的坐标为(0，0) 或(12，0)时，以点A，B，H为顶点的三角形边形是直角三角形.
14．【详解】（1）解：依题得
解得，即
将代入得，即反比例函数解析式为：；
（2）∵
解得：或，即
设与轴交于点，
当时，，即，则,
∴
；
（3）结合图象可得当时，的取值范围是或；
（4）如图，假设在轴上存在使为直角三角形，
①，即
解得或；
② 即
解得：；
③即
解得：；
综上所述，在轴上存在点或或使为直角三角形．
15．【详解】解：（1）x＝，y＝，
故点C是点A、B的融合点；
（2）①由题意得：x＝，y＝，则，
则；
②令x＝0，y＝；令y＝0，x＝，图象如下：
③当∠THD＝90°时，
∵点E（t，2t＋5），点T（t，2t 1），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．
∴t＝（t＋4），
∴t＝2，
∴点E（2，9）；
当∠TDH＝90°时，
∵点E（t，2t＋5），点T（4，7），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．
∴4＝（4＋t）
∴t＝8，
∴点E（8，21）；
当∠HTD＝90°时，
由于EH与x轴不平行，故∠HTD不可能为90°；
故点E的坐标为：（2，9）或（8，21）．
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