2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十二：二次函数中的最值问题（含答案）

2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十二：二次函数中的最值问题
1．已知二次函数（为常数）的图象交轴于点．
(1)求此函数图象的顶点坐标；
(2)当时，若点，都在该二次函数的图象上，且，求的最大值；
(3)若，求的取值范围．
2．已知抛物线（为常数）经过点，．
(1)求的值．
(2)若抛物线先向下平移1个单位，再向左平移1个单位后经过原点，求原图象与轴的另一个交点坐标．
(3)当时，的最大值为3，求的值．
3．某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长），中间用一道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两间饲养室合计长（），总占地面积为（）．
(1)求矩形饲养室的宽．（用含的代数式表示）
(2)求关于的函数表达式，并求出面积的最大值．
4．神韵随州，一见钟情．为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系．
(1)当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？
(2)“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．
5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、，连接．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大值是多少？
6．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
为何值时的面积最大，并求出其最大值；
是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)将抛物线向上平移m个单位长度后与x轴交于M，N两点，若，求m的取值范围；
(3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值．
8．在平面直角坐标系中，抛物线，过点．
(1)用含的式子表示；
(2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
①若，时，求的长；
②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，求的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？
(3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交于点C，交x轴于点D．
(1)若点A为该二次函数的顶点，
①求二次函数的表达式；
②求线段长度的最大值．
(2)若该二次函数与x轴的一交点为，且，求a的取值范围．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点，当取得最大值时，求点的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，求点的坐标．
12．定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如，抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线的“孪生抛物线”为，与y轴交于点E．
(1)直接写出抛物线的表达式______；
(2)若点E的坐标为，求抛物线的解析式；
(3)设的顶点为F，若，求点E的坐标；
(4)记在时的最大值为M，最小值为m，且，则______．
13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
(1)求出点A、B、C的坐标；
(2)若点D为抛物线上在第一象限内的动点，请连接，，并解答下面的问题：当点D运动到何处时，的面积最大？并求出点D的坐标和面积的最大值．
14．已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点．
(1)求的值；
(2)求当随的增大而减小时，自变量的取值范围；
(3)若直线与抛物线有且只有一个交点．
①求的值；
②若点在直线上，点在抛物线上．当时，直接写出的最大值．
15．如图所示，已知抛物线经过点，，，与直线交于两点．
(1)求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
(2)在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的面积为？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标；
(4)当时，函数有最小值为，请写出的值．
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
1．【详解】（1）解：，
二次函数图象的顶点坐标为．
（2）解：当时，函数解析式为，对称轴为直线，
点，都在该二次函数的图象上，且，
点和点关于二次函数对称轴对称，
，
二次函数开口向上，函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
当，即时，的值最大，为．
（3）解：根据题意，可知为方程的两个不相等的实数根，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的取值范围为．
2．【详解】（1）解：∵抛物线（为常数）经过点，．
∴，
解得；
（2）解：由题意得平移后的抛物线为，
∵平移后的抛物线经过原点，
∴，即，
∵，
∴，，
∴原抛物线为，
令，则，
解得或，
∴另一个交点坐标为；
（3）解：当时，
∵，抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，取到最大值，
∴，
∵，解得．
当时，抛物线的对称轴为直线，
又∵，抛物线的对称轴为直线，
∵，当时，取到最大值3，
∴，可得，
解得，
∵，
∴．
综上所述：或．
3．【详解】（1）解：由题意得，矩形饲养室的宽为m；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴开口向下，
∴当时，饲养室的面积最大为．
4．【详解】（1）解：设每天获利w元，
根据题意得，
∵，
∴当时，w取最大值为1250，
答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元．
（2）解：由（1）知，当w时，，
解得：，，
∵由（1）知利润函数对称轴为，最大值为，
最大利润小于，
∴．
当时，w随x增大而增大，
∴最大利润在处取得．
∵，
∴舍去，
∴．
5．【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、，
解得
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
将、代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
又是抛物线上的一动点，
故，且，
故，
故，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当，的长度最大，且最大值为，
，
此时．
6．【详解】（1）解：把，，代入，得，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线的表达式为：，
由题知，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为；
存在，理由如下：
∵轴，即轴，
∴，
∵是直角三角形，
∴要使相似，只有保证是直角三角形即可，
当时，如图，
∴，
此时轴，关于抛物线的对称轴对称，
∴；
当时，如图，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由知，
∵，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上，存在点使与相似，此时的坐标为或．
7．【详解】（1）解：将点和点代入得：
，
解得：
所以抛物线的表达式为：；
（2）解：设M，N两点坐标分别为，
因为抛物线向上平移个单位长度后为，
所以关于的方程的两个实数根为，
所以，
所以，
因为，
所以，
解得；
（3）解：抛物线开口向下，对称轴为，
①即时，随的增大而增大
时时
所以，
解得：；
②且，即时，
当时，当时，
所以，
解得：（舍）
③且，即时，
当时，时，
所以，
解得：（舍）
④时，随的增大而减小
时，时，
所以，
解得：；
综上所述，的值为或0．
8．【详解】（1）解：将点代入，抛物线，
可得，
解得：；
（2）解：①当，，抛物线的解析式为，直线为，
∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且：
∴把代入抛物线中，
可得，
∴，
把代入直线中，
可得，
∴，
∴的长为；
②由()知抛物线解析式为 ，直线，
∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，
设点的坐标为，点的坐标为，
∴，
第一种情况：当时，即点在轴右侧，如图
①当时，，,
∴二次函数，图象开口向下，对称轴为，
∵的长随的长增大而增大，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
第二种情况：当时，即点在轴左侧，如图
当，，
此时，二次函数图象开口向上，对称轴为，
如图可知：点从点运动到点的过程中，的长随的长增大而增大，
∴时，满足的长随的长增大而增大；
综上，当或时，满足的长随的长增大而增大．
9．【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，
，
抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为，
，
解得
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：过点P作轴，交于点E，如图1，
，
设，
轴，
，
，
的面积
，
∴当时，的面积的最大值为；
（3）解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，
连接交y轴于点F，连接，如图2，
点P，关于y轴的对称，
，
，
当，A，G在一条直线上时，取等号，
∴此时的值最大，最大值为，
的最大值为；
10．【详解】（1）解：（1）①∵为二次函数的顶点，
∴，
解得，
∴二次函数表达式为；
②∵正比例函数经过点，
∴，
∴，
∴正比例函数表达式为，
设，则，
∴，
∴当时，线段的长度取得最大值；
（2）解：∵二次函数经过点，
∴，即，
令，
解得，，
∵二次函数与轴的一个交点为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴a的取值范围是．
11．【详解】（1）解：将，代入，得，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：令抛物线解析式中，得，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，
将，代入得，解得，
∴直线的表达式为，
设点的坐标为，过点作轴交于点，则点的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
此时，故点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到抛物线，
∴，
过点作轴于点，过点作轴于点，连接，
∵，
∴，由平移性质知，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点的坐标为，则，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，由得，
①当点在轴下方时，，则，
解得或(，舍去)；
②当点在轴上方时，，则，
解得或(，舍去)．
综上，点的坐标为或．
12．【详解】（1）解：根据题意，抛物线的表达式；
（2）解：与y轴交于点，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：抛物线的表达式，
∴顶点的横坐标为：，顶点的纵坐标为：，
∴，
∵与y轴交于点，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴；
（4）解：抛物线，顶点坐标为，
∵，
∴，，二次函数图象开口向上，
∵，
∴当时，即，取最大值，，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
∴；
当，时，即，
取得最大值，最小值为，
∴，
整理得，，
解得，，
∴；
当时，即，
最大值，
最小值为，
∴，
整理得，，
解得，，不符合题意，舍去；
综上所述，的值为或．
13．【详解】（1）解：，
当时，或，
，；
当时，，
；
（2）解：设直线的解析式为，将代入，
得：，
解得，
直线的解析式为，
点D为抛物线上在第一象限内的动点，
可设，过点D作轴交于点E，
则，
，
，
当，
当时，面积的最大值是8，
此时点D的坐标是．
14．【详解】（1）解：将代入解析式，得，
解得．
（2）解：由（1）可知，则解析式为，
把点代入解析式，得，
化简得，
二次函数的对称轴为直线，
当，函数开口向上，时，随的增大而减小；
当，函数开口向下，时，随的增大而减小．
（3）解：①可知二次函数解析式为，
联立函数解析式，得 ，
∵，
∴，
直线与抛物线有且只有一个交点，
，
解得或（不合题意，舍去）．
②根据题意可知直线解析式为，二次函数解析式为，
当时，，，
则，
，
当时，n有最大值，最大值为．
15．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
由，
解得或，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线与对称轴的交点为，
把代入，得，
∴，
∵点在抛物线对称轴上，
∴可设，则，
∴，
解得或，
∴在抛物线对称轴上，存在一点或，使的面积为；
（3）解：设，
过点作轴的垂线交直线于点，如图，则，
∵点为直线下方抛物线上的一个动点，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，的面积最大，最大值为，此时；
（4）解：由（）知，抛物线的对称轴为直线，
①当，即时，自变量都在对称轴左侧，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时，
解得（不合题意，舍去）或，
∴；
②当即时，自变量位于对称轴两侧，
当时，有最小值，此时，
解得（不合题意，舍去）；
③当时，自变量都在对称轴右侧，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最小值，此时，
解得或（不合题意，舍去），
∴；
综上，的值为或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页