2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十四：一次函数与三角形全等存在性问题（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十四：一次函数与三角形全等存在性问题
1．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点.
(1)求直线的解析式；
(2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式；
(3)过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
2．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，一次函数的图象经过点，并与轴交于点．
(1)直线的表达式为 ；
(2)已知点是直线上的一个动点．
①如图2，当点在第一象限时，过点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点．若，求点的坐标；
②是否存在点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
(3)已知点是直线上的一个动点（与不重合），过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且．
(1)求的值；
(2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标；
(3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
(3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标．
5．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分；
(3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
6．在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线：与x轴相交于点C，与直线相交于点M，连接．
(1)分别求点A，B，C的坐标；
(2)若求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，M为第一象限的点，点G在x轴负半轴上，在直线上是否存在点H，使得以点A，G，H为顶点的三角形与全等，若有，请求出点H的坐标；若没有，请说明理由．
7．如图，直线交、轴分别为、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段、上（点不与点、重合），满足．
(1)点坐标是_____，点的坐标___，_____．
(2)我们容易知道：当点与点关于轴对称时，．那么当点在什么位置时，，说明理由．
(3)当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
8．在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)在y轴上有一点，在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当的面积为16时，确定直线的表达式；
(3)若点P为点B上方y轴上的点，在直线上是否存在点Q使得与全等，若存在，求出此时点Q的坐标．
9．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，．
(1)求直线与的函数解析式．
(2)求的面积．
(3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标．
10．如图1所示，正比例函数的解析式为，直线交x轴，y轴于点A、B，已知点A坐标为且．

(1)求直线的解析式；
(2)现将直线沿x轴负方向平移，交直线于点M，交x轴，y轴于点E和F．试问当与全等时，直线需沿x轴负方向平移多少单位长度．
11．如图，直线分别交轴，轴于点，，点，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，设点的移动时间为秒．
(1)求，两点的坐标．
(2)设的面积为，当时，求关于的函数表达式．
(3)当为何值时，与全等．
12．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点．
(1)求直线的解析式；
(2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式；
(3)过点作直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴交于点A，交x轴于点B，直线与直线交于点E，与y轴交于点C，与x轴交于点D，且，．
(1)求直线的解析式；
(2)连接，作交直线于点F，在直线上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标并说明理由；
(3)若点N是直线上一点，点H是x轴上一点，当以B、N、H为顶点的三角形与全等时，直接写出点N的坐标．
14．如图，直线m的函数表达式为，与x轴交于点A，直线n经过点和点，且直线m，n交于点D．
(1)求点A，点D的坐标．
(2)点P是x轴上的一个动点，求的最小值．
(3)点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当时，直接写出每一组点M和点N的坐标．
15．已知在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，直线交坐标轴于C、D两点，已知点，．
(1)设与交于点E，试判断的形状，并说明理由；
(2)点P、Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．
参考答案
1．【详解】（1）解：在中，令得，
，
∴，
，
，
，
把代入得：
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：，，
的面积为，
当时，如图：
此时，
，
即，
解得：，
在中，令，则
解得，
∴，
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴此时直线的解析式为：；
当时，如图：
此时，
，
即，
，
在中，令，
解得，
∴，
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴此时直线的解析式为：；
综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或；
（3）在中，，，
，
①若，过作交轴于，过作于，如图：
，，
，，
设，则，，，
而，
，
整理得，
解得或，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，不符合题意，舍去，
∴，
同理可知，时，，
∴，
∴点B为的中点，
∴，，
∴；
②若时，如图：
，，
，
在中，令，则
解得，
，
此时，，符合题意，
，
综上所述，点的坐标为或或．
2．【详解】（1）解：把代入得：，即；
把代入得：，
解得，，
∴；
将，代入得，，
解得，，
∴直线的表达式为；
（2）解：①由题意知，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴；
②存在；设，
∵，，
∴，
，
，
当时，，
∴，
解得：，
，
∴此时；
当时，，
∴，
解得，（舍去）或，
∴此时；
当时，，
∴，
解得，或，
∴此时点D的坐标为或；
综上所述，存在，点D的横坐标为或4或或．
（3）解：∵，，
∴，，，
当时，如图所示：
，，，
∴轴，，
∴此时点M的坐标为；
当，点M在点B上方时，过点M作轴于点E，如图所示：
∴，，，，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴此时点M的坐标为；
当，点M在点B下方时，过点M作轴于点E，如图所示：
∴，，，，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴此时点M的坐标为；
综上，点M的坐标为：或或．
3．【详解】（1）解：当时，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
把代入，
即
解得．
（2）解：∵，，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∴，
∴，
∴．
设，
则，，
则，
在中，，
即，
解得：，
∴
（3）解：∵，，
∴，
∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，
当时，
∴，
∴点E的横坐标为：或，
由（1）直线的解析式为，
∴点E的纵坐标为：，或，
故或
当时，
∴，
∴点纵坐标为或，
∴点E的纵坐标为或，
即或，
解得：或，
∴或
综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或．
4．【详解】（1）解：对于直线，
当时，；当时，，
则A、B两点的坐标分别为；
（2）解：∵，
∴，
当时，；
当时，，
综上，；
（3）解：M点的坐标为或；
理由如下：
∵，
∴只需，则，
即，
此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为；
M在x轴的负半轴，则M点的坐标为，
综上，当时，此时M点的坐标为或．
5．【详解】（1）解：在中，令得，
，，
，
，
，
把代入得：
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：，，
的面积，
当时，如图：

此时，
，即，
，
在中令，得，
∴，
∴，
当时，如图：

此时，
，即，
，
在中令，得，
∴，
∴，
综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分；
（3）解：存在点，使与全等，
在中，，，
，
①若，过作交轴于，过作于，如图：

，，
，，
设，则，，，
而，
，
解得或，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，不符合题意，舍去，
∴，
同理可知，时，
，，，
，
同理可得，
②若时，如图：

，，
，
在中，令得，
，
此时，，符合题意，
，
综上所述，点的坐标为或或．
6．【详解】（1）解：在中，令得，令得，
，，
在中，令得，
；
（2）解：如图：
，，
，
，
，
设，
，
，
解得：或，
或．
（3）解：存在点H，使得以点A，G，H为顶点的三角形与全等，
理由如下：
如图：
由（2）知，M在第一象限，则，
设，
，
以点A，G，H为顶点的三角形与全等，只需，或，即可，
当时，
解得舍去或，
；
当时，
解得：此时G不在x轴负半轴，舍去或，
；
的坐标为或．
7．（3）根据等腰三角形的定义，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：直线交、轴分别为、两点，
∴当时，，当时，，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：点在的位置，理由如下：
已知，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，，即，
∴，则，
当时，是等腰三角形，
∴，
∴当时，，此时是等腰三角形，
∴；
当时，是等腰三角形，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，这与题设矛盾，
∴此种情况不符合题意，舍去；
当时，是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得，，
∴当为等腰三角形时，点的坐标为或．
8．【详解】（1）解：由，
当时，；当时，，
则A、B两点的坐标分别为，；
（2）解：∵，
∴，
∵的面积为16，
∴，
∴，
∴或，
设直线的表达式为，
∴或，
解得或，
∴直线的表达式为或；
（3）解：分为两种情况：①当时，
则，
∴，
∴Q；
②当时，
， ， ，
过点作轴于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：点Q的坐标为或．
9．【详解】（1）解：设直线的函数解析式为.
将点，代入，
得解得
直线的函数解析式为.
设直线的函数解析式为.
将点，代入，
得解得
直线的函数解析式为.
（2）解：点，，，
，，
.
（3）解：分两种情况：
①如图1，当时，，.
，
，
，.
把代入，得，
点.
②如图2，当时，，
.
直线的函数解析式为，
直线的函数解析式为.
将与联立，解得
点.
综上所述，点的坐标为或．
10．【详解】（1）解：将直线向下平移1个单位，与x轴、y轴分别交于点C、D，交与点E，如图所示：

根据平移可知，直线的解析式为，
把代入得，
把代入得，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：设直线需沿x轴负方向平移个单位长度后，，
根据平移可知：
直线的解析式为，
把代入得，
把代入得，解得：，
∴，，
∴，，
∴，
根据解析（1）可知，，
，
∵，
∴，
∴，
即，
，
，
，
，
∴，
解得：或（舍去），
∴当与全等时，直线需沿x轴负方向平移个单位长度．

11．【详解】（1）解：对于一次函数，
当时，，解得，
当时，，
则点的坐标为，点的坐标为．
（2）解：由（1）已得：点的坐标为，
∵动点从点出发以每秒1个单位的速度沿轴负方向移动，且点的移动时间为秒，
∴，
∴当时，，
∵，
∴，
∵轴轴，
∴的面积为，
所以关于的函数表达式为．
（3）解：由（2）已得：，
∴，
∵，，，轴轴，
∴，，，
∴与全等只有一种情况：，
∴，即，
解得或，
所以当或时，与全等．
12．【详解】（1）解：在中，令得，
，
∴，
，
，
，
把代入得：
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：，，
的面积为，
当时，如图：

此时，
，
即，
解得：，
在中令，得，
∴，
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴此时直线的解析式为：；
当时，如图：

此时，
，
即，
，
在中令，得，
∴，
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴此时直线的解析式为：；
综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或；
（3）解：存在点，使与全等，
在中，，，
，
①若，过作交轴于，过作于，如图：

，，
，，
设，则，，，
而，
，
解得或，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，不符合题意，舍去，
∴，
同理可知，时，，
∴，
∴点B为的中点，
∴，，
∴；
②若时，如图：

，，
，
在中，令得，
，
此时，，符合题意，
，
综上所述，点的坐标为或或．
13．【详解】（1）解：∵直线交y轴交于点A，交x轴于点B，
∴当时，，当时，由得，
∴，，则，，
∵，
∴，则，
∴，即，又，，
∴，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
则，解得
∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
过F作轴于G，过E作轴于H，则，
联立方程组得：，解得：，
∴点E的坐标为，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴点F的坐标为；
∵点M在直线上，且，
∴，
当M为线段中点时，满足，此时；
当点M在延长线上时，
∵，，
∴，则点M与点B重合，
∴，
综上，满足条件的点M坐标为或；
（3）解：∵，
∴，
∵,点N是直线上一点，点H是x轴上一点，
∴分两种情况：
当时，则，，，如图，
∵
∴点N的坐标为；
由（1）中得点N与A重合、H与O重合时，也满足条件，此时；
当时，则，，，此时，，
设直线的解析式为，
当H在B的左侧时，如图，则，代入中，得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，
∴；
当H在B的右侧时，如图，则，代入中，得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，
∴；
综上，满足条件的N的坐标为或或或．
14．【详解】（1）解：∵直线m的函数表达式为，与x轴交于点A，
令，可得，解得：，
∴，
设直线n的解析式为，
∵直线n经过点和点，
∴，解得，
∴直线n的解析式为，
联立两解析式可得：，解得，
∴点D的坐标为．
（2）解：如图：作点C关于x轴的对称点E，连接交x轴于点P，连接，
∴，，
∴，此时最小，最小，
∵点D的坐标为，，，
∴，，
∴的最小值为．
（3）解：∵，， ，
∴， ， ，
设，，
当时， ， ，
∴，，
解得或，或，
∴点M和点N的坐标分别为、或、或、或、．
15．【详解】（1）解：把，代入得，
解得，，
直线的解析式为；
联立，得，
解得，
点的坐标为，
对于直线，当时，，
，
又，
，
即，，，
，
是等腰三角形；
（2）解：①当，在上时，如图1，此时，，
，
设，
又，
，
解得，（舍去），
，
；
②当在上，在上时，
如图2，此时，，
，，
，
设，则，
代入，得，
解得，
则，
；
③在上，在上时，
如图3，此时，，
，
；
④当在上，与点重合时，
如图4，此时，，
则，
，
，
，
与点重合，
；
综上，点在坐标为或或或．
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