2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十五：一次函数与三角形全等存在性问题（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十五：一次函数与三角形全等存在性问题
1．已知直线与轴和轴分别交于A、两点，另一直线过点A和．
(1)求直线对应的函数解析式；
(2)若直线与轴交于点，求证是直角三角形；
(3)若点是直线上一个动点，点是轴上的一个动点，当以，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点所有可能的坐标．
2．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为，连接，过点作于点，点为线段上一个动点．

(1)的长为_____________，的长为_____________；
(2)上是否存在一点，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．

(1)求A、B两点的坐标；
(2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
(3)当t为何值时，并求此时M点的坐标．
5．如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．

(1)求直线的函数表达式；
(2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为中点．
(1)求线段的长；
(2)点D在x轴负半轴上，直线与交于点E，若，求点E的坐标及的面积；
(3)若点F在直线上，点G在y轴上，当以点A，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求出点F坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点是直线上一动点（点P不与点A重合），点C的坐标为，O是坐标原点，设的面积为S．
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积为15；
(3)过点P作的垂线与x轴、y轴分别交于点E，点F， 是否存在这样的点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，，过点的直线交轴正半轴于点，且．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式；
(2)在坐标系平面内，存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出，并求出点的坐标．
9．如图，平面直角坐标系中，点，，，，．
(1)求直线解析式；
(2)点在直线上，，直接写出点的坐标__________；
(3)是平面内一点，若与全等，则点坐标为___________．
10．如图，一次函数与x轴交于点，点C在直线上且横坐标为3．
(1)求k的值和点C的坐标；
(2)点D为x轴上一点，，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上的动点，问在直线上，是否存在点N(点N与点C不重合)，使与全等？若存在，请直接写出点N的坐标，并写出其中一种情况的解答过程，若不存在，请说明理由．
11．如图，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段，且，直线交x轴于点D．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______，点C的坐标为______；直线的函数关系式______；
(2)点P是直线上的一点，且到x轴，y轴距离相等，连接，求出的面积；
(3)若点Q是图中坐标平面内不同于点B、点C的一点，当以点C，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标．
12．如图1，直线与轴，轴分别交于点，，直线与直线交于点，与轴交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求的面积；
（3）如图2，是轴正半轴上的一点，是直线上的一点，连接．
①若轴，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求的长；
②若与全等（点不与点重合），请写出所有满足要求的点坐标________．（直接写出答案）
13．在平面直角坐标系中，OA=AB=10，点A(6，8)在正比例函数上，点B的坐标为(12，0)，连接AB．
（1）求该正比例函数的解析式
（2）若点Q在直线AO上运动，且△OBQ的面积为6，求点Q的坐标；
（3）若点Q在线段AO上由点A向点O运动，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由B向O运动，点C是线段AB的中点，两点同时运动，同时停止，设运动时间为t秒，连接PQ，在运动过程中，△OPQ与△BPC是否会全等？如果全等，请求点Q运动的速度，如果不全等，请说明理由？

14．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点，动点从点以每秒2个单位的速度沿轴向左移动．
（1）求、两点的坐标
（2）求的面积与的移动时间（秒）之间的函数关系式；
（3）当何值时，并求此时点的坐标．
（4）当何值时的面积是一半，并求此时点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴，y轴分别交于点A（8，0），B（0，4），点C的坐标为（3，0），动点D是射线BO上一个动点，连结CD，过点C作CD⊥FC，交一次函数图象于点F．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）过点F作FE⊥x轴，垂足为点E，当△OCD与△EFC全等时，求出满足条件的点F的坐标；
（3）点D在运动过程中，是否存在使△ACF是等腰三角形？若存在请求出点F的坐标；不存在，请说明理由．
参考答案
1．【详解】（1）解：在中，
令，则，
，
，
设直线对应的函数关系式为，
∴，
，
∴直线对应的函数关系式为；
（2）证明：过点C作轴于点D．
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：在中，
令，则，
，，
由勾股定理得，
①当时，如图1，
，
，
，，
②当时，如图2，
，
，
，．
③当时，这种情况不存在，
综上所述：点Q的坐标为：．
2．【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点，
当时，，当时，，
点，点，
，
∴，
点的坐标为，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：存在，理由如下：
设直线的解析式为则：，
解得：，
直线的解析式为，
设点，
当时，，
，
，
点在第二象限，
点，
当时，
，
，
点在第二象限，
点，
综上所述：点坐标为：或．
3．【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（2）解：存在；
∵，，
∴，，
∴，
当时，如图所示：
∵，
∴，，，
∴，
∴此时点P的坐标为：；
当时，过点P作轴，如图所示：
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
把代入得：，
∴ 此时点P的坐标为：；
综上分析可知，点P的坐标为：或．
4．【详解】（1）解：对于直线：，
当时，，当时，，
点，点；
（2），，
，
当时，，，
当时，，，
的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当M在上时，，
，
动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需时间（秒），
；
当M在的延长线上时，，
则，此时所需要的时间为（秒）
综上所述，M点的坐标是或．
5．【详解】（1）解：因为直线：与直线交于点，
所以，
所以，
又因为过点，
故设直线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
所以直线的函数表达式为．
（2）因为直线 ：与x轴交于点A，与y轴交于点D．
所以，
因为轴于点N，
所以，
所以以O、M、N为顶点的三角形与全等，分两种情况：

①如图，当时，，
因为直线的函数表达式为，
当时，，
所以点M的坐标为；
②如图，当时，，
因为直线的函数表达式为，
当时，，
所以点M的坐标为．
综上所述，满足条件的点M的坐标为或．
6．【详解】（1）解：把代入得，
∴，
把代入得，
解得：，
∴，
∵C为的中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
设的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
∴．
（3）解：设，，
当为对角线时，则，
解得：，
此时点F的坐标为；
当为边时，根据点的平移，点C平移到F，点A平移到G，则，
解得：，
∴此时点F的坐标为；
综上分析可知，点F的坐标为或．
7．【详解】（1）∵点是直线上一动点，
∴．
∵点C的坐标为，
∴，
当时，，
当时，；
综上所述，
（2）解：令，
当时， ，解得：，此时，，
当时，，解得：，此时，；
综上所述，当点P运动到点或点时，的面积为15；
（3）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，则直线的解析式为，
联立，解得：，∴，此时点P与点A重合，不符合题意；
当时，则直线的解析式为，
令，解得：，∴．
综上所述，当时，点P 的坐标为．
8．【详解】（1）解：∵直线：过点，，
，
．
当时，，
点的坐标为，，
即．
：：，
．
点在轴正半轴，
点的坐标为，．
设直线的解析式为，
将，、，代入，得：
，
解得：，
直线的函数表达式为．
（2）分在轴上方：和如图和点在轴上如图②两种情况考虑：
如图①：①当时，
，
．
，
，，
，
点的坐标为，；
②当时，，，
，
点的坐标为，．
如图②当时，，
，
点的坐标为，．
综上所述，点的坐标为，或，或，．
9．【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点，，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，
则，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
设直线解析式为，则
，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：∵点，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，解得：，
又直线的解析式为：；令，解得：，
∴交轴于同一点，
如图，设交轴于点，
∵，， ，
∴,,
又∵，
∴且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴边上的高为，
过点作于点,则是等腰直角三角形，且，
设，
∴，
解得:，
当时，当时，，
∴的坐标为：，，
故答案为：，．
（3）解：由（1）可得，
若与全等，
∵是公共边，
∴且或且,
如图所示，
∴的坐标为，，，
故答案为：，，．
10．【详解】（1）解：点代入，得
，
解得：，
，
当时，则，
；
（2）解：令，则，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
；
（3）解：∵，，，
∴，，
∵点M是x轴上的动点，点N在直线上，
设且与点C不重合，
分两种情况：①当时，则
，即，
解得：，，
∴或，
∴或；
②当时，则，
，即，
解得：，，
或，
∵点N与点C不重合，
，
综上，存在点N(点N与点C不重合)，使与全等，点N的坐标为或或．
11．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴，
设点C的坐标为（m、n），
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点C的坐标为（3，1），
设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为；
（2）解：①当时，即点P在第二象限．
∴，
∴点P的坐标为（-3，3）
同理可求出直线BP的解析式为，则直线交y轴于点
∴．
②当时，即点P在第一象限．
∴
∴点
同理可求出直线BP解析式为
当时，，
∴．
（3）解：∵直线AC解析式为，D是直线AC与x轴的交点，
∴点D的坐标为（6，0）
∵B（1，0），C（3，1），
∴BD=5，
当△BCD≌△QDC时,
∴BC=QD，BD=QC，
设Q（s，t），
∴，，
解得或，
当△BCD≌△QCD时，
∴BC=QC，BD=QD，
∴，，
解得，
∴；；
12．【详解】（1）由＝x＋1，解得：x＝3，把x＝3代入y＝x＋1＝3＋1＝4，
∴点C的坐标为（3，4）；
（2）由题意得：B（0，8），D（0，1），C（3，4），
∴BD＝7，
∴S△BDC＝BD |xC|＝×7×3＝；
（3）①由题意得：A（6，0），
∵PQ∥x轴，
∴AA'⊥x轴，
∵A（6，0），
把x=6代入，得y=7，
∴A'（6，7）
∴AA'＝7，
∴yQ＝＝ x＋8，
∴x＝，
即PQ＝；
②按两种情形讨论：
（Ⅰ）P在B点下方，则有BP＝BC＝=5，
此时xQ＝＝＝2×÷5＝，
代入y＝ x＋8得：yQ＝，
∴Q1（，）；
（Ⅱ）P在B点上方，若BP＝BD．
则有xQ＝ xC＝ 3，
∴Q2（ 3，12），
若BP＝BC＝5，
则有xQ3＝ xQ1＝ ，
∴Q3（ ，）．
故答案为：（，），（ 3，12），（ ，）．
13．【详解】（1）设正比例函数解析式为：，
将A(6，8)代入得：，
∴正比例函数的解析式为：；
（2）设Q的坐标为，
由题意可得：OB=12，
∴，
解得：，
∴Q的坐标为或；
（3）会全等，Q的速度为个单位/秒或者个单位/秒，理由如下：
∵，点C是线段AB的中点，
∴，，
若△OPQ与△BPC全等，
则有，或者，；
①当，时，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q的运动速度为个单位/秒时，可以得到全等；
②当，时，
由可知：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点Q的运动速度为个单位/秒时，可以得到全等；
综上，当Q的运动速度为个单位/秒或者个单位/秒时，可以得到△OPQ与△BPC全等．
14．【详解】解：（1）当x=0时，y=3，
∴B(0，3)．
当y=0时，，x=9，
∴A(9，0)；
（2）9÷2=4.5秒，
当点M在原点右侧时，即0≤t≤4.5时，由题意得，OM=9-2t，
∴S==．
当点M在原点左侧时，即t＞4.5时，由题意得，OM=2t-9，
∴S==，
∴S=；
（3）当点M在原点右侧时，即0≤t≤4.5时，
∵，
∴OM=OB，
∴9-2t=3，
∴t=3，
∴OM=9-6=3，
∴M(3，0)；
当点M在原点左侧时，即t＞4.5时，
∵，
∴OM=OB，
∴2t-9=3，
∴t=6，
∴OM=12-9=3，
∴M(-3，0)；
综上可知，当t=3，M(3，0)，当t=6，M(-3，0)；
（4）S△AOB=，
∵S△COM=S△AOB，
∴，
∴OM=，
当点M在原点右侧时，
9-2t=，
∴t=，
此时M(，0)；
当点M在原点左侧时，
2t-9=，
∴t=，
此时M(-，0)，
综上可知，当t=，M(，0)；当t=，M(-，0)．
15．【详解】（1）设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
将点A（8，0），B（0，4）代入得：
，
解得：k=-，b=4．
故一次函数解析式为：y=-x+4．
（2）∵△OCD与△EFC全等，
∴可以分两种情况：△OCD≌△EFC或△OCD≌△ECF，

①当△OCD≌△EFC时，
OC=EF=3，
∴点F纵坐标为3，
将y=3代入直线解析式得：x=2，
∴F（2，3）．
②当△OCD≌△ECF，
OC=EC=3，
∴点F横坐标为6，
将x=6代入直线解析式得：y=1，
∴F（6，1）（不合题意舍弃）．
∴F点坐标为：（2，3）
（3）存在．
△ACF是等腰三角形，
①当CF=AF时，
根据等腰三角形三线合一性质，得点E为AC中点，
AC=5，CE=，
∴OE=，即F点横坐标为，
将x=代入一次函数得y=，
∴F（）．
此时点D会出现在点B的上方，与题意不符，舍去；
②当AF=AC时，OB=4，OA=8，
AB=4．
∵EF∥OB，
∴△AEF∽△AOB．
∴ ，
解得：EF=．
将y=代入直线解析式，得：x=8-2，
∴F（8-2，）．
③当CF=AC=5时，
∵OC=3，OB=4，
∴BC=5，
此时，CB=CF，点F与点B重合，
∴F(0,4) ，
∴点F坐标为：（0，4)或（8-2，）．
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