吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试卷（含答案）

高三数学
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符 合题目要求.
1. 已知全集 ，集合 或 ， ，则 Venn 图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2. 若 ，复数 所对应的点在实轴上，则实数 等于( )
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
3. 在一次篮球比赛中, 某支球队共进行了 8 场比赛, 得分分别为 29,30,38,25,37,40,42,32 , 那么这组数据 第 75 百分位数为( )
A. 38 B. 39 C. 40 D. 41
4. 已知向量 的夹角为 ,且 ,则 ( )
A. 1 B. C. D.
5. 抛掷一枚质地均匀的硬币,一直到出现正面向上时或抛满 100 次时结束,设抛掷的次数为 ,则随机变量 的数学期望 ( )
A. 大于 2 B. 小于 2 C. 等于 2 D. 与 2 的大小无法确定
6. 已知 为正项数列 的前 项和. 若 ，且 ，则 ( )
A. 7 B. 15 C. 8 D. 16
7. 为等边三角形 所在平面内的一点,向量 ,且 . 设向量 与 的夹角为 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ， 有 5 个不相等的实数根，从小到大依次为 ， ,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. 若数列 为等差数列,公差为 ,其前 项和为 ,则 ( )
A. B.
C. D. 使 的最小正整数 的值为 22
10. 已知函数 对 都有 ,且函数 的图像关于点 对称,当 时, ，则下列结论正确的是( )
A.
B. 在区间 上单调递减
C. 是 上的偶函数
D. 函数 有 6 个零点
11. 在长方形 中, ，点 分别为边 和 上两个动点(含端点)，且 ，设 ,则 ( )
A. B. 为定值
C. 的最小值 50 D. 的最大值为
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分)
12. 已知公比不为 1 的等比数列 中， 且 、 、 成等差数列，则 _____(结果用幂表示)
13. 将甲、乙等 8 人安排在 4 天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为_____. (结果用分数表示)
14. 若实数 满足 ，试确定 大小关系是_____. 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知锐角 的内角 ,所对的边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的周长的取值范围.
16. 已知数列 的前 项和为 ,数列 为等差数列,且满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
17. 已知椭圆 两个焦点 ，过 点且与坐标轴不平行的直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 的周长等于 16.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过点 的直线与椭圆 交于两点 ，设直线 的斜率分别为 . 求证: 为定值. 18. 某企业对生产设备进行优化升级,升级后的设备控制系统由 个相同的元件组成,每个元件正常工作的概率均为 ,各元件之间相互独立. 当控制系统有不少于 个元件正常工作时,设备正常运行,否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 (例如: 表示控制系统由 3 个元件组成时设备正常运行的概率， 表示控制系统由 5 个元件组成时设备正常运行的概率).
(1)若 ，当 时，求控制系统中正常工作的元件数 的分布列和数学期望，并求 ；
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下， 单位时间的产量是原来的 4 倍,且出现了高端产品,每件产品成为高端产品的概率为 ,每件高端产品的利润是 2 元. 记设备升级后单位时间内的利润为 (单位:元).
(i) 请用 表示 ;
(ii) 设备升级后, 已知该企业现有控制系统中有 5 个元件, 若增加 2 个元件, 则单位时间内的利润是否提高.
19. 已知函数 ,当 时, 恒成立.
(1)求实数 a 的取值范围；
(2)若函数 ，当实数 取最小值时，求使得关于 的不等式 恒成立的最大整数 ；
( 3 )已知 ，证明: .
参考答案
15【小问 1 】
由已知得, ,
则根据正弦定理得 ,
,
为锐角三角形, .
【小问 2 】
由正弦定理得 ,即 ,
则 ,
因为 ,解得 ,得 ,
所以 ,得 .
16 【小问 1 】
解: 令 ,
令 ,又 ,所以 ,即 . 所以 ,
,① . ②
两式相减得 ,
即 是公比为 2 的等比数列,且 ,
所以 .
【小问 2 】
解: 由 可得
累加可得 ,
,
而
,
.
17 【小问 1 】
由题意可得椭圆焦点在 轴上,且 ,解得 ,
所以椭圆的方程为 .
【小问 2 】
由题意可知直线斜率存在,
当直线斜率为 0 时,显然 ,所以 ;
当直线斜率不为 0 时,设直线 方程为 ,
联立方程 ,消去 可得 ,
则 ,
设 ,则 ,
所以 ,
因为 ,
所以 .
综上, 为定值 0 .
18【小问 1 】
因为 ,所以控制系统中正常工作的元件个数 的可能取值为0,1,2,3,
因为每个元件的工作相互独立,且正常工作的概率均为 ,所以 ,
所以 ,
所以控制系统中正常工作的元件个数 的分布列为
0 1 2 3
2 9 4 9
控制系统中正常工作的元件个数 的数学期望为 ,
【小问 2 】
(i) 升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 0
设备运行概率
所以升级改造后单位时间内产量的期望为 ,
所以
产品类型 高端产品 一般产品
产量(单位:件)
利润(单位:元) 2 1
设备升级后单位时间内的利润为 ,即 .
(ii) 若增加 2 个元件,则第一类: 原系统中至少有 4 个元件正常工作,其概率为 ;
第二类:原系统中恰好有 3 个元件正常工作，新增 2 个元件中至少有 1 个正常工作，
其概率为 ;
第三类:原系统中恰好有 2 个元件正常工作，新增 2 个元件全部正常工作，
其概率为 .
所以
,
则 ,
所以当 时, ,即增加 2 个元件设备正常工作的概率变大;
当 时, ,即增加 2 个元件设备正常工作的概率没有变大.
又因为 ,
所以当 时,增加 2 个元件后利润提高; 当 时,增加 2 个元件后利润没有提高.
19【小问 1 】
由题设 在 时恒成立,
等价于 在 上恒成立,
令 ,则 ,
令 ,且 ,
当 ,即 时, ,即 ,
此时 在 上单调递增,则 ,满足题意;
当 ,即 时, ,对称轴 ,
所以存在 ,使 ,在 时, ,即 ,
所以 在 上单调递减,此时 ,不满足题意;
综上, 的取值范围为 .
【小问 2 】
由 (1) 知 ,所以 ,则 ,
令 ,易知 在 上单调递增,
由 知,存在 使 ,即 ,
所以 时, ,所以 在 上单调递减,
时, ,所以 在 上单调递增,
则 在 处取得极小值, ,
又 ,即 ,
故 ,
由函数 在 上单调递增,
故 在 上单调递减,
所以 ,
又 恒成立,即 ,故 ,
所以整数 的最大值为 -1 .
【小问 3 】
当 时,右边 ,左边 ,左边 右边,原不等式成立,
下面考虑 时的情况,
由(1)知当 时, ,即 在 上恒成立,
即 ,
令 且 ,
则 ,
所以 ,
则 ,故 ,
所以 ,
综上,当 时, 成立.