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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块三 函数
专题7 二次函数的图象及性质
【考点一】二次函数的概念
一般地，形如y=ax +bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。
【考点二】二次函数的图象与性质
1.二次函数的图象与性质
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
图象 a>0
a<0
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，)
最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=时 y 有最小值；
a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=时 时y有最大值.
增
减
性 a>0 在对称轴x=的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=的右边y随x的增大而增大.
a<0 在对称轴x=的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=的右边y随x的增大而减小.
2.二次函数的图象变换
（1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
（2）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
y=a(x-h) +k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h) +k a变号，h、k均不变
绕原点旋转180° y= -a(x+h) -k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h) -k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h) +k a、h不变，h变号
（3）二次函数的对称性问题
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等；
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称；
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.
3.二次函数与a，b，c之间的关系
关系 符号 图象特征
a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小．
a<0 开口向下
a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点
c>0 抛物线与y轴交于正半轴
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
由b -4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 b -4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
b -4ac=0 抛物线与x轴有一个交点
b -4ac＜0 抛物线与x轴没有交点
【考点三】二次函数解析式的确定
名称 解析式 适用范围
一般式 y=ax +bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标
顶点式 y＝a(x–h) ＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值
交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标
相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
【考点四】二次函数与一元二次方程
1.二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标.
b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况
b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根
b2-4ac<0 0个交点 没有实数根
2.二次函数与不等式的关系（以a大于0为例）
不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 函数y=ax +bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 xx2
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax +bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 x1【题型一】二次函数的概念
◇典例1：
下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.若关于的函数是二次函数，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．或2 D．
2.小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【题型二】二次函数的图象与性质
◇典例2：
抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．轴 D．直线
◆变式训练
1.抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.已知抛物线，当时，的取值范围为 ．
【题型三】根据二次函数的图象判断式子符号
◇典例3：
二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型四】二次函数图象与一次函数图象、反比例函数图象综合判断
◇典例4：
若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
◆变式训练
1.已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
2.抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ．
【题型五】二次函数的平移、对称问题
◇典例5：
在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
(1)求此二次函数图象的对称轴；
(2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值；
(3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围．
2.已知二次函数的图象如图所示．
(1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围．
【题型六】二次函数的最值问题
◇典例6：
如图，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)当时，求y的最小值．
◆变式训练
1.已知二次函数（为常数，且）．
(1)当时，
①求函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
(2)当时，．
①若，求的最小值；
②若，求的最大值．
2.已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点．
(1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________；
(2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围；
(3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值．
【题型七】待定系数法求二次函数解析式
◇典例7：
如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式．
◆变式训练
1.已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式．
2.已知抛物线（是常数，）．
(1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式；
(2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围．
【题型八】二次函数与一元二次方程、不等式
◇典例8：
【阅读材料】解一元二次不等式： ．
解：设 ，解得：，，则抛物线 与x轴的交点坐标为和 ． 画出二次函数 的大致图象 （如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，所以一元二次不等式． 的解集为：或．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
【数学理解】（1） 请直接写出一元二次不等式． 的解集；
【拓展探索】（2） 用类似的方法解一元二次不等式： ．
◆变式训练
1.如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示：
… 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 …
… 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 …
… 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 …
(1)表格中______；
(2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象；
(3)根据图象，完成下列填空：
①当______时，；
②当______时，．
2.某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整．
(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 0 0 …
其中，______；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；
(3)探究与应用：
①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是______；
②结合图象，直接写出关于的不等式的解集．
【题型九】二次函数与x轴交点问题
◇典例9：
抛物线的顶点坐标为，且图像经过点．
(1)求函数解析式．
(2)求抛物线与坐标轴交点坐标．
◆变式训练
1.已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标．
2.已知二次函数（，，是常数，且）．
(1)若，函数图象过点．
①用含的代数式表达；
②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点．
(2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围．
一、单选题
1．（2023·广西·中考真题）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
4．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当且时，则 B．当时，则
C．当且时，则 D．当时，则
5．（2024·陕西·中考真题）关于的二次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A． B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于
7．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 3 5 …
y … 16 0 …
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值
C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下
8．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ．
10．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ．
11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ．
12．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ．
三、解答题
13．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
14．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围．
(3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围．
15．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
一、单选题
1．二次函数的顶点坐标为（）
A． B．
C． D．
2．下列抛物线，对称轴是直线的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数的图像上有两点与，则（ ）．
A． B． C． D．无法确定
5．下列抛物线中，顶点为，且与抛物线的开口方向相同的是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列三个结论：
①若，则；
②方程一定有两个不相等的实数解；
③若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
8．二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（）
A．抛物线与x轴没有交点 B．抛物线有最低点
C．当时，y随x增大而减小 D．当时，y随x增大而增大
9．有3个二次函数，甲：；乙：；丙．嘉嘉说：甲的图象向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到乙的图象；淇淇说：乙的图象向右平移6个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到丙的图象．下列说法正确的是（ ）．
A．嘉嘉说的对，淇淇说的不对 B．嘉嘉说的不对，淇淇说的对
C．两人说的都不对 D．两人说的都对
10．如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数的最小值为：②若，则；③若，则；④一元二次方程的两个根和，其中正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．①③④
二、填空题
11．将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
12．二次函数的图象的顶点坐标为 ．
13．二次函数经过两点，则一元二次方程的两个根是 ．
14．若一元二次方程的两根为，，则二次函数的图象的对称轴是 ．
15．已知二次函数的图象与轴有交点．则的取值范围是 ．
16．已知二次函数，下列结论：
①该二次函数的图象经过点和；
②该函数图象与轴一定有交点；
③若，当时，随的增大而增大；
④若二次函数的图象经过两点，则二次函数的最小值为；
⑤若，则关于的方程的根有4个，其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题
17．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标的对应值如下表：
x … 0 1 2 …
… 0 0 4 …
(1)在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象；
(2)结合图象回答问题：
①抛物线的对称轴为________；
②已知，，直线的解析式为，直接写出时的取值范围_______；
③当时，的取值范围________．
18．已知关于的二次函数（是常数）．
(1)求证：二次函数的图象与轴总有两个交点；
(2)若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值．
19．如图，直线与抛物线交于、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知，二次函数．
(1)若该图象过点，求函数的顶点坐标；
(2)当时， y的最大值是，求a的值；
(3)当时，若在函数图象上，且，求m的取值范围．
21．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线表达式；
(2)求A，B两点的坐标；
(3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形的最大面积；若不存在，请说明理由；
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模块三 函数
专题7 二次函数的图象及性质
【考点一】二次函数的概念
一般地，形如y=ax +bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。
【考点二】二次函数的图象与性质
1.二次函数的图象与性质
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
图象 a>0
a<0
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，)
最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=时 y 有最小值；
a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=时 时y有最大值.
增
减
性 a>0 在对称轴x=的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=的右边y随x的增大而增大.
a<0 在对称轴x=的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=的右边y随x的增大而减小.
2.二次函数的图象变换
（1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
（2）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
y=a(x-h) +k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h) +k a变号，h、k均不变
绕原点旋转180° y= -a(x+h) -k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h) -k a、k变号，h不变
沿y轴翻折 y= a(x+h) +k a、h不变，h变号
（3）二次函数的对称性问题
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等；
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称；
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.
3.二次函数与a，b，c之间的关系
关系 符号 图象特征
a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小．
a<0 开口向下
a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点
c>0 抛物线与y轴交于正半轴
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
由b -4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 b -4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
b -4ac=0 抛物线与x轴有一个交点
b -4ac＜0 抛物线与x轴没有交点
【考点三】二次函数解析式的确定
名称 解析式 适用范围
一般式 y=ax +bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标
顶点式 y＝a(x–h) ＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值
交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标
相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.
【考点四】二次函数与一元二次方程
1.二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标.
b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况
b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根
b2-4ac<0 0个交点 没有实数根
2.二次函数与不等式的关系（以a大于0为例）
不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 函数y=ax +bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 xx2
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax +bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 x1【题型一】二次函数的概念
◇典例1：
下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A、中当时．y是x的一次函数，则A不符合题意；
B、不是二次函数，则B不符合题意；
C、是二次函数，则C符合题意；
D、是一次函数，则D不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
1.若关于的函数是二次函数，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．或2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可．
【详解】解：关于的函数是二次函数，
且，
解得：，
故选：B．
2.小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式．
【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，
则y与x的函数关系式是，
故选：D．
【题型二】二次函数的图象与性质
◇典例2：
抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．轴 D．直线
【答案】C
【分析】本题考查了一般式中抛物线的对称轴公式，熟知对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式为即可获解．
【详解】解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴．
故选：．
◆变式训练
1.抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据三个点的横坐标分别计算出它们所对应的纵坐标，根据计算结果比较大小．
【详解】解： 抛物线，
对于点 ，
有；
对于点 ，
有；
对于点 ，
有；
，
，
即 ．
故选：D．
2.已知抛物线，当时，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴函数最大值为3，
将代入得，
将代入得，
∴当时，，
故答案为：．
【题型三】根据二次函数的图象判断式子符号
◇典例3：
二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数各项系数对图像的影响是解题的关键．
根据二次函数图像的开口方向，对称轴位置，与y轴交点，以及时的函数值，判断的符号和的符号．
【详解】解：函数开口向下，
，
函数对称轴为直线，
，
函数图像与y轴交于负半轴，
当时，，
，
根据图像可知当时，．
故选：C．
◆变式训练
1.已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答．
【详解】解：观察函数图象，得抛物线开口向上，
，
二次函数图象的对称轴为直线，即，
，故符合题意；
观察函数图象，当时，，
，
而，
，
，
，故符合题意；
时，取得最小值，
（为任意实数），
，
即，故符合题意；
点在抛物线上时，方程的两根为，
二次函数与直线的一个交点为，
二次函数图象的对称轴为直线，
二次函数与直线的一个交点为，
即，，
，故符合题意；
故选：D．
2.如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，①分别判断a、b、c的符号，再判断的符号；②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断的符号；③利用二次函数的性质即可判断；④用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
【详解】解：①因图象开口向下，可知：；
又∵对称轴为直线，
∴，整理得：，即a、b同号．
由图象可知，当时，，
又∵对称轴为直线，可知：当时，；
即；
∴，故①正确．
②由①得：．
代入原解析式得：；
由图知，当时，，即，
∴，故②正确．
③∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确．
④设，则，
∴两边加c得到，
∴不等式左侧为时的函数值为最大值，右侧为时的函数值，则不成立，故④错误．
综上，①②③正确，共3个．
故选：C．
【题型四】二次函数图象与一次函数图象、反比例函数图象综合判断
◇典例4：
若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键．先根据一次函数的图象可得，再得出二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于与轴的负半轴上，由此即可得．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴二次函数的图象的开口向下，与轴的交点的纵坐标为，即与轴的交点位于与轴的负半轴上，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故选：A．
◆变式训练
1.已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、三、四象限，
故选：A．
2.抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或，
故答案为：或．
【题型五】二次函数的平移、对称问题
◇典例5：
在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
(1)求此二次函数图象的对称轴；
(2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围．
【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线
(2)
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键．
（1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得；
（2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：对于二次函数，
当时，，
∴这个二次函数的图象经过点，
又∵这个二次函数的图象经过点，
∴此二次函数图象的对称轴是直线．
（2）解：由（1）可设二次函数的解析式为，
∵这个二次函数的图象上存在两点，，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值；
(3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h） +k的图象和性质、把y=ax +bx+c化成顶点式、根据二次函数的对称性求函数值
【分析】本题考查二次根式的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
（1）将代入解析式，再将解析式变形为顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据平移方式求出平移后的解析式，求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值；
（3）先求出对称轴为：直线，再分和两种情况，根据抛物线的增减性分别求解即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为，
，
该抛物线的顶点为；
（2）解：由题意知，抛物线的解析式，
当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为，
即，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，
时，二次函数有最大值，最大值为：，
时二次函数有最小值，最大值为：；
（3）解：抛物线的对称轴为：直线，
当时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大，
若对于，，都有，
则，
∴，
∴；
当时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小，
对称轴为：直线，
∴在抛物线上的对称点为，
若对于，，都有，
则，
的取值范围为：或．
2.已知二次函数的图象如图所示．
(1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线；
(2)或．
【知识点】把y=ax +bx+c化成顶点式、图象法解一元二次不等式
【分析】（）利用配方法把二次函数解析式转化为顶点式即可求解；
（）利用对称性求出抛物线与轴的另外一个交点坐标，再观察函数图象即可求解；
本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与不等式，运用配方法把二次函数解析式转化为顶点式是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，
观察函数图象知，当时，的取值范围为或．
【题型六】二次函数的最值问题
◇典例6：
如图，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)当时，求y的最小值．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为；
(2)当时，y的最小值是．
【知识点】把y=ax +bx+c化成顶点式、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，函数最值问题，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式是解题的关键．
（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）二次函数的顶点式得抛物线开口向下，分别计算端点值和对称轴出的值，然后比较即可．
【详解】（1）解：把代入得：
，
解得，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，
当时，，
∵当时，，
当时，，
∵，
∴当时，y的最小值是．
◆变式训练
1.已知二次函数（为常数，且）．
(1)当时，
①求函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
(2)当时，．
①若，求的最小值；
②若，求的最大值．
【答案】(1)①；②
(2)①的最小值为；②的最大值为1
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）①依据题意，将代入二次函数解析式，即可判断得解；
②依据题意，结合①中的解析式，然后再结合二次函数的图象与性质进行求解即可；
（2）①根据，以及开口方向向下进而可以判断得解；
②根据得出抛物线的开口方向向上，再结合抛物线的性质进行计算即可．
【详解】（1）解：当时，
∴．
①∵，
∴函数图象的顶点坐标为；
②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
又∵，
∴当时，，当时，，
∴此时y的取值范围是：；
（2）解：由得，
抛物线与x轴的交点坐标为和．
∴对称轴是直线．
∴当时，；
当时，；当时，，
①当时，抛物线开口向下．
又当时，则，
∴此时二次函数在顶点处取得最大值为．
∴，则．
当时，则，
∴，
∴．
∴若，a的最小值为；
②当时，抛物线开口向上，
∴．
∵当时，，
∴．
∴．
∴若，a的最大值为1．
2.已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点．
(1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________；
(2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围；
(3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值．
【答案】(1)2
(2)
(3)或5
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化——平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由二次函数的图象交轴于点，可得，又将点向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解；
（2）依据题意，由点，在二次函数的图象上，从而，，结合，故，进而计算可以得解；
（3）依据题意，分当、和进行分类讨论，进而计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意，二次函数的图象交轴于点，
，
将点向右平移4个单位得到，
又此时在二次函数上，
，
，
故答案为：2；
（2）解：∵点，在二次函数的图象上，
，
，
，
，
．
（3）解：①当时，
二次函数在的范围内随的增大而增大，
当时，的最小值为3．
，
解得，（舍去）；
②当时，
二次函数的最小值为，不合题意，舍去；
③当时，
二次函数在的范围内随的增大而减小，
当时，的最小值为3．
，
解得（舍去），．
综上可知，的值为或5．
【题型七】待定系数法求二次函数解析式
◇典例7：
如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．由图象可得，，代入得到三元一次方程组，求解方程组得出a、b、c的值即可解答．
【详解】解：由图象可得，，
把分别代入二次函数表达式，得，
解得，
二次函数的表达式为．
◆变式训练
1.已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，由顶点设二次函数的解析式为，再把代入计算即可．
【详解】解：设该二次函数的解析式为．
该二次函数的图象经过点，
，
，
该二次函数的解析式为．
2.已知抛物线（是常数，）．
(1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式；
(2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质；
（1）将和代入函数表达式即可；
（2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线，进而根据二次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：将和代入函数中，
得： ，
解得 ，
故函数表达式为：；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线
∵当时，函数随x的增大而增大
∴，且
∴a的取值范围为
【题型八】二次函数与一元二次方程、不等式
◇典例8：
【阅读材料】解一元二次不等式： ．
解：设 ，解得：，，则抛物线 与x轴的交点坐标为和 ． 画出二次函数 的大致图象 （如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，所以一元二次不等式． 的解集为：或．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
【数学理解】（1） 请直接写出一元二次不等式． 的解集；
【拓展探索】（2） 用类似的方法解一元二次不等式： ．
【答案】（1）；（2）或
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据交点确定不等式的解集
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点，理解二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据题干提供的思路求出一元二次不等式的解集即可；
（2）先求出的解，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据确定一元二次不等式的解集即可．
【详解】解：（1）一元二次方程的解为，，
由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即 ，
∴一元二次不等式的解集为：．
（2）设 ，
解得：，，
则抛物线与x轴的交点坐标为和 ，
画出二次函数 的大致图象，如图所示：
由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，
∴一元二次不等式的解集为：或．
◆变式训练
1.如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示：
… 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 …
… 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 …
… 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 …
(1)表格中______；
(2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象；
(3)根据图象，完成下列填空：
①当______时，；
②当______时，．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①；②
【知识点】画y=ax +bx+c的图象、图象法确定一元二次方程的近似根
【分析】（1）当时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积；
（2）描点、连线即可；
（3）①观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可：
②)结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为多少时，
【详解】（1）解:(1)当时，，
∴.
故答案为：；
（2）
（3）（3）①观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的x的值约为4.7
故答案为：4.7；
②结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为7.1m时，，
故答案为：；
2.某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整．
(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 0 0 …
其中，______；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；
(3)探究与应用：
①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是______；
②结合图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①；②或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．
（1）直接将代入函数解析式中求解即可；
（2）根据表格数据描点、连线即可画出函数另一部分图象；
（3）①根据函数图象与x轴的交点个数以及最小值，得到函数的图象与直线有4个交点时的取值范围可得答案；
②在同一直角坐标系中画直线，根据图象，求得函数的图象位于直线的下方的点的横坐标的取值范围即可．
【详解】（1）解：当时，，即；
故答案为：；
（2）解：描点、连线，如图：
（3）解：①由图象知，函数有最小值，且与x轴有3个交点，
∴当函数的图象与直线有4个交点时，，
则方程有4个实数根时，的取值范围是；
故答案为：；
②当时，由得或，
直线与函数有两个交点和，
同一直角坐标系中画直线，如图，
由图可知，当时，由得或，
直线与函数有两个交点和，
故当或时，函数的图象位于直线的下方，
∴不等式的解集是或．
【题型九】二次函数与x轴交点问题
◇典例9：
抛物线的顶点坐标为，且图像经过点．
(1)求函数解析式．
(2)求抛物线与坐标轴交点坐标．
【答案】(1)
(2)与y轴的交点坐标为，与x轴无交点
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
（1）设顶点式，然后把代入求出即可得到抛物线解析式；
（2）通过解方程得抛物线与轴的交点坐标；计算自变量为0时的函数值得到抛物线与轴的交点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
整理：，无实数解，
故抛物线与轴无交点，
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为．
◆变式训练
1.已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)和；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据解析式求二次函数图象与轴，轴的交点坐标．
本题考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点．
∴，
解得，
∴．
（2）解：由，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为；
当时，，
解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和．
2.已知二次函数（，，是常数，且）．
(1)若，函数图象过点．
①用含的代数式表达；
②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点．
(2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围．
【答案】(1)①；②见详解；
(2)
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
(1) ①将代入，得，即可得；
②令，可得，即一元二次方程有两个不相等的实数根，进而可得结论．
(2)由题意可得，求出h的取值范围即可．
【详解】（1）解∶①，
，
将代入，
得，
；
②证明∶令，
，
，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
不论b为何值，该函数图象与轴一定有两个交点；
（2）解∶，点和在抛物线上，
对称轴为直线，，
，
解得，
的取值范围为．
一、单选题
1．（2023·广西·中考真题）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是，
故选：A．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键．
根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值．
【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比，
得 , ，
∴ 顶点坐标为 ，
故选： A．
3．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，
∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意；
因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意．
故选：B．
4．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当且时，则 B．当时，则
C．当且时，则 D．当时，则
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可．
【详解】解：∵
∴抛物线的开口向上，
则对称轴为直线，
把代入，得，
∴顶点为，
∵两点，在抛物线，
∴当且时，（因时抛物线在x轴上方），
故，
此时
故A选项的结论正确；
当时，抛物线在时递减，
故越大，越小，
即，
故B选项的结论错误；
当且时，，
此时应满足或，
故C选项的结论错误；
当时，抛物线在时递增，
故越大，越大，
即，
故D选项的结论错误；
故选：A
5．（2024·陕西·中考真题）关于的二次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．确定该函数图像与轴交于正半轴，开口向上，顶点坐标在第四象限，即可获得答案．
【详解】解：对于函数，
当时，可得，
∵，
∴，即该函数图像与轴交于正半轴，
∵，
∴该函数图像的顶点坐标为，
又∵，
∴该函数图像的开口向上，顶点坐标在第四象限，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
6．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A． B．该函数图象的顶点位于第四象限
C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答．
【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小，
∴，对称轴为直线，
则，
∵，
即，
∴，
故A选项不符合题意；
该函数图象的顶点为，即，
∵，
∵
∵，
∴，
∴
∵，
∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，
故B选项不符合题意；
当该函数图象的顶点位于轴上，
令，则，
∵
∴该函数的最大值为，
当该函数图象的顶点位于第二象限，
此时该函数的最大值大于，
综上该函数的最大值不小于，
故D选项符合题意；
依题意，中的，
∵，
∴，
即
∴方程有两个不相等的实数根
故C选项不符合题意；
故选：D
7．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 3 5 …
y … 16 0 …
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ）
A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值
C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
【详解】解：设二次函数的解析式为,
由题意知
，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴函数的图象开口向上，顶点为，
∴顶点在第四象限，函数有最小值，
令，则，
∴或，
∴图象与x轴的一个交点是和，
故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意．
故选：C．
8．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键．
开口向下得到；对称轴在轴的右侧得到a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方得到0，所以；当时，得到，即；对称轴为直线，可得时，即；利用对称轴得到，而，则，所以；开口向下，当有最大值，得到，即．
【详解】解：开口向下，，
对称轴在轴的右侧，、异号，则，
抛物线与轴的交点在轴的上方，，
∴，所以①正确；
当时，，即，
即，所以②不正确；
因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线，
所以抛物线与轴的另一个交点在和之间，
则时，，
即，所以③正确；
因为对称轴为直线，则，而，
则，，所以④正确；
开口向下，当，有最大值；
当时，，
则，
即，所以⑤错误．
故①③④正确，共3个．
故选：C．
二、填空题
9．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
把代入，
得，
即顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
整理得，
则，
∴，
∴
故答案为：或．
10．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
∴当时，有最大值为；
故答案为：．
11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度．
【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ，
把点 的坐标代入 ，
可得： ，
抛物线解析式为 ，
令 ，
可得方程： ，
因式分解得：，
解得：，，
抛物线与 轴交于点 和 ，
点 和点 均在 轴上，
线段 的长度为 ．
故答案为： 4．
12．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围．
【详解】解：，
∴函数图象的对称轴为直线，开口向上，
∵，
∴当时，；时，，当时，，
∴的取值范围是：，
故答案为：．
三、解答题
13．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入，解关于m的方程即可；
（2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况；
（3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围．
【详解】（1）解：将代入，得：，
解得，
故答案为：2；
（2）解：，
，
，
，
该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
（3）解：的对称轴为直线，
二次项系数，
二次函数图像开口向上，
，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
即，
或．
14．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围．
(3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）把点代入函数解析式，进行求解即可；
（2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可；
（3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果．
【详解】（1）解：把代入抛物线，得
解得．
∴．
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4，
∴，
∴当时，最小为，当时，最大为，
∴；
（3）∵直线向下平移个单位长度，
∴平移后直线解析式为．
由得，即．
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴．
解得．
又当时，，
解得，
∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上，
∴的取值范围为．
15．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式；
（2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标；
（3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中得，
，解得，
；
（2）解：，，
当的值最小时，则的周长最小．
作点关于对称轴的对称点，即为点，
由（1）可知抛物线的解析式为，
对称轴为直线，且，
．
如图，连接，与对称轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
把，代入中得，
，解得，
直线的解析式为．
点的横坐标为，
把代入得，
；
（3）解：设，，
①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键．
一、单选题
1．二次函数的顶点坐标为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
该二次函数已给出顶点式，直接读取顶点坐标即可．
【详解】当二次函数顶点式为时，顶点坐标为，
对于，有，
则顶点坐标为．
故选：A．
2．下列抛物线，对称轴是直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可．
【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意；
B、对称轴为直线，本选项不合题意；
C、对称轴为直线，本选项不合题意；
D、对称轴为直线，本选项符合题意；
故选：D．
3．已知点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
二次函数开口向上，对称轴为，点在对称轴上函数值最小，点距离对称轴最远函数值最大，然后即可求解；
【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为，且，开口向上，
∴当时，函数值最小，即最小，
又∵点的横坐标，距离对称轴，
点的横坐标，距离对称轴，
∵距离对称轴最远，函数值最大，
∴；
故选：D；
4．已知二次函数的图像上有两点与，则（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
根据二次函数的增减性，即可判断出的大小关系．
【详解】解：由可得抛物线的对称轴为轴，开口向上，
，
，
故选：B．
5．下列抛物线中，顶点为，且与抛物线的开口方向相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；首先根据顶点坐标和开口向上，对选项中的抛物线逐一判断，然后可得答案．
【详解】解：所求抛物线与抛物线的开口方向相同，
所求抛物线开口向上，
A、的顶点为，开口向上，与题干所要求的抛物线不相符；
B、的顶点为，开口向上，与题干所要求的抛物线相符；
C、的顶点为，开口向下，与题干所要求的抛物线不相符；
D、的顶点为，开口向下，与题干所要求的抛物线不相符；
故选：B
6．抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列三个结论：
①若，则；
②方程一定有两个不相等的实数解；
③若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断①，由一元二次方程根的判别式判断②③．
【详解】解：的对称轴为直线，
，
，
抛物线经过，
，即，，
若，则，
，①正确．
，
，
方程中，
时，方程有两个相同实数解，②错误．
，
，
，
与异号，
，
抛物线与轴有2个不同交点，③正确．
故选：C．
7．设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，解答此题的关键是判断出函数与轴的交点为．首先根据一次函数的图象经过点，可得；然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，再结合对称轴公式求解．
【详解】解：∵一次函数的图象过点，
，
，
又，
，
当时，，
∴当时，，
∵与轴仅有一个交点，
∴的图象与轴的交点为，
，
化简得．
即，
故选：B．
8．二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（）
A．抛物线与x轴没有交点 B．抛物线有最低点
C．当时，y随x增大而减小 D．当时，y随x增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
通过计算判别式判断与x轴的交点；由二次项系数为负判断开口向下，有最高点；通过对称轴分析函数的增减性．
【详解】解：∵二次函数，
∴，
判别式，
∴抛物线与x轴有两个交点，故A错误；
，
∴抛物线开口向下，有最高点，无最低点，故B错误；
对称轴为直线，
∵开口向下，
∴当时，y随x增大而减小，故C正确，D错误，
故选：C．
9．有3个二次函数，甲：；乙：；丙．嘉嘉说：甲的图象向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到乙的图象；淇淇说：乙的图象向右平移6个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到丙的图象．下列说法正确的是（ ）．
A．嘉嘉说的对，淇淇说的不对 B．嘉嘉说的不对，淇淇说的对
C．两人说的都不对 D．两人说的都对
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：甲向左平移3个单位、向上平移5个单位后的函数解析式为，与乙：不符，
∴嘉嘉的说法错误；
乙向右平移6个单位、向上平移5个单位后的函数解析式为，与丙：不符，
∴淇淇的说法错误，
∴两人说的都不对，
故选：C．
10．如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数的最小值为：②若，则；③若，则；④一元二次方程的两个根和，其中正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据、两点写出抛物线的交点式化简得，再配成顶点式，即可判断①；当时，，根据二次函数的性质，即可判断②；利用二次函数的对称性及增减性即可判断③；由可知，，则可化为，，解方程即可判断④．
【详解】解：抛物线解析式化成交点式为，
即，
配成顶点式得，
当时，二次函数有最小值为，所以①正确；
当时，，
当，，所以②错误；
点的坐标为，点关于直线的对称点为，
若，则或，所以③错误；
由可知，，
则可化为，
，
方程，整理得：，
解得，，所以④正确．
故选：A．
二、填空题
11．将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；根据抛物线平移规则，向左平移2个单位，将原函数中的替换为，然后问题可求解．
【详解】解：原抛物线为，向左平移2个单位后，新抛物线表达式为，化简得．
故答案为．
12．二次函数的图象的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，从而求出顶点坐标．
【详解】解：，
所以二次函数的图象的顶点坐标为，
故答案为：．
13．二次函数经过两点，则一元二次方程的两个根是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，牢记解一元二次方程得出的值为直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
由方程的解可得出二次函数图象与直线的交点坐标．
【详解】解：由题意，点在二次函数上，
即当或时，函数值，
∴方程的两个根为和，
故答案为：，．
14．若一元二次方程的两根为，，则二次函数的图象的对称轴是 ．
【答案】直线
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，根据题意可得二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为，进而根据对称性求得对称轴，即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，
∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为
∴二次函数的图象的对称轴是直线．
故答案为：直线．
15．已知二次函数的图象与轴有交点．则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，抛物线与轴交点知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
本题二次函数与轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，根据判别式非负，然后即可求解．
【详解】解：二次函数的图象与轴有交点，则方程有实数根，
∴判别式，
令，
即，
解得：，
故答案为：；
16．已知二次函数，下列结论：
①该二次函数的图象经过点和；
②该函数图象与轴一定有交点；
③若，当时，随的增大而增大；
④若二次函数的图象经过两点，则二次函数的最小值为；
⑤若，则关于的方程的根有4个，其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，根的判别式，二次函数的最值等知识，关键是掌握二次函数的性质和根的判别式．
把和 3 代入函数解析式即可判断①；根据判别式可以判断②；求出抛物线对称轴即可判断③；根据关于对称轴对称求出的值，再根据二次函数的性质求最值即可判断④；根据可以判断⑤．
【详解】解：当时，，
∴点在二次函数的图象；
当时，，
∴点在二次函数的图象，故①正确；
，
∴方程有实数根，
∴二次函数函数图象与轴一定有交点，故②正确；
二次函数对称轴为直线，
若，则，
，
∴当时，随的增大而先减小后增大，故③错误；
∵纵坐标相同，
∴关于对称轴对称，
∴对称轴为直线，
解得，
此时函数解析式为，
，故④正确；
方程可整理成，
，
，
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，故⑤错误．
故答案为：①②④．
三、解答题
17．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标的对应值如下表：
x … 0 1 2 …
… 0 0 4 …
(1)在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象；
(2)结合图象回答问题：
①抛物线的对称轴为________；
②已知，，直线的解析式为，直接写出时的取值范围_______；
③当时，的取值范围________．
【答案】(1)，图见解析
(2)①；②或；③
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，描点法画二次函数图象，根据图象求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键．
（1）根据表格数据，利用待定系数法求解抛物线的解析式；描点、连线可得抛物线的图象；
（2）①根据表达式，结合图象可得对称轴；
②画出直线，观察图象，找到抛物线位于直线上方部分的点的横坐标取值范围即可得出答案；
③观察图象可得的取值范围．
【详解】（1）解：根据表格数据，将、、代入中，
得，解得，
∴该抛物线的表达式为；
描点，连线可得该抛物线的图象，如图所示：
（2）解：①由得顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
故答案为：；
②在（1）中图象中画出直线，如图，
由图可知，当时，x的取值范围为或；
故答案为：或．
③当时，
由图可知，当时，取最小值；
当时，取得最大值4，
∴当时，的取值范围为．
故答案为：．
18．已知关于的二次函数（是常数）．
(1)求证：二次函数的图象与轴总有两个交点；
(2)若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟练掌握以上知识点并可以灵活运用是解答本题的关键．
（1）令，即，根据根的判别式恒大于0即可求解；
（2）由题意得：和是方程的两个根，即，，再根据，得到，变形得到，然后分别代入即可求解．
【详解】（1）证明：令，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴方程有2个不相等的根，
即二次函数的图象与轴总有两个交点；
（2）解：由题意得：和是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
19．如图，直线与抛物线交于、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为
(2)
【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用．
（1）将点代入，即可求出直线的解析式；将点，代入，即可求出抛物线的解析式；
（2）由点与点关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线的交点即为点．
【详解】（1）解：将点代入，
得，解得，
∴直线的解析式为．
令，则，
．
将点，代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵点与点关于抛物线的对称轴对称，
∴．
．
∴当，，三点共线时，的值最小．
如图，抛物线的对称轴与直线的交点即为点．
当时，，
∴点．
20．已知，二次函数．
(1)若该图象过点，求函数的顶点坐标；
(2)当时， y的最大值是，求a的值；
(3)当时，若在函数图象上，且，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
a的值为或
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象性质，二次函数的对称性，增减性，是解题的关键．
（1）把点代入中，求解即可；
（2）分两种情况：和讨论，利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据当时，抛物线开口向上，对称轴为直线，故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小，结合可知B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离，然后求解即可．
【详解】（1）解：把点代入中，得，
解得，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，
∵当时，y的最大值是，
∴当时，，
∴把代入中，得，
当时，
∵当时，y的最大值是，
∴当时，，
∴把代入中，得，
∴综上所述，a的值为或；
（3）解：∵当时，，，在二次函数图象上，
此时抛物线开口向上，对称轴为直线，
故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小，
∵，
∴B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离，
即，
化简得，
由，两边平方得，
解得；
由，两边平方得，
解得，
∴m的取值范围．
21．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线表达式；
(2)求A，B两点的坐标；
(3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形的最大面积；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)；
(3)存在，点坐标为，四边形面积最大为．
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质：
（1）二次函数 的对称轴是直线；
（2）如果二次函数的图象与轴有公共点，那么公共点的横坐标就是一元二次方程的实根；
（3）求得直线的解析式，用含有的代数式表示，根据，即可求得答案．
【详解】（1）解：因为抛物线的对称轴是直线，可得
解得
所以抛物线的解析式为
（2）解：当时，可得
解得，
所以点的坐标为，点的坐标为
（3）解：当时，，则点的坐标为．
设直线的解析式为．
将，代入，得
解得
所以直线的解析式为．
假设存在点，使四边形的面积最大．
设点的坐标为．
如图所示，过点作轴，交直线于点，
则点的坐标为．
则．
所以
所以当时，四边形的面积最大，最大值是．
因为，
所以存在点，使得四边形的面积最大，最大为．
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