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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块三 函数
专题8 二次函数与几何图形的综合
【考点一】二次函数中线段有关综合题
（1）线段相等问题解题思路
借助几何性质：
利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。
利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。
利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。
（2）线段和差倍问题解题思路
截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。
（3）线段倍数问题解题思路
加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。
利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。
【考点二】二次函数中角度有关综合题
（1）角相等问题
对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。
二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。
利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。
借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。
依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。
（2）二倍角问题
倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。
加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。
二倍角的构造方法
如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.
这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了
（3）特殊角问题
运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。
构造特殊三角形：遇 45°构造等腰直角三角形，遇 30°、60°构造等边三角形，遇 90°构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。
【考点三】相似三角形的存在性
寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。
确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。
根据相似三角形的性质列方程求解：
导边处理：若已找到一组相等角，可根据 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。
导角处理：根据 “有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A = ∠D，则讨论∠B = ∠E 或∠B = ∠F 的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。
解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。
【考点四】平行四边形的存在性
1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类;
2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移 可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)
3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解
常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形
分类讨论:
当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标;
当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.
4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可
【考点五】矩形、菱形、正方形存在性
1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。
2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。
3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。
【考点六】利用二次函数解决最值与动点问题
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
【考点七】二次函数与销售利润的问题
解决此类问题的基本思路:
（1）理解问题;
（2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系;
（3）利用总利润=单件利润×销售量，或总利润=总售价一总成本，列出二次函数的解析式，
（4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量≥0;②降价要保证单件利润≥0.
（5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值
【题型一】函数性质与几何图形判定
◇典例1：
如图，以原点为位似中心，将按相似比2放大，得到，点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B点左边），在抛物线上，连接．点D在线段上运动，以为边向右构造正方形．设点D的横坐标为x，则点E的纵坐标为______．
2.如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
【题型二】特殊图形存在性问题
◇典例2：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；
(3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；
(4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
◆变式训练
1.综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标．
(3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为抛物线的顶点，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当和相似时，求点P坐标．
【题型三】动点/动线/图形变换综合
◇典例3：
在平面直角坐标中，已知抛物线（d为常数，），抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的对称轴（用含d的式子表示）；
(2)如图1，点D在第四象限，且在抛物线的图像上，连接、，两线相交于点E，求的最大值（用含d的式子表示）；
(3)如图2，当时，将抛物线向上平移4个单位得抛物线，抛物线与x轴相交于点E，与y轴相交于点F，点P是直线上任意一点，且点P在抛物线的对称轴右侧，直线、分别交抛物线于点M、N，连接，是否存在某一定点，使得该点总在直线上，若存在求出该定点的坐标，若不存在说明理由．
◆变式训练
1.综合与探究
如图，抛物线经过点，，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)点是直线下方抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线交于点．
①过点作与抛物线的对称轴交于点，当时，求的值．
②连接，是否存在点，使得的一个内角的度数是的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标；
(3)若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围．
【题型四】函数最值与几何量最值结合
◇典例4：
综合与实践
问题情境：
学校有一块矩形空地，空地中有一条小路可近似地看成抛物线的一部分，该抛物线的顶点在矩形空地的边上．为了将此矩形空地加以利用，设置课外活动区和劳动实践区，其余部分为绿化区域，现面向全体同学征集设计方案．
方案设计：
小慧同学设计了如下方案：
第一步，如图1，在矩形中，，以边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点在矩形的边上．根据测得的数据得到小路所在抛物线的函数表达式为．
第二步：如图2，连接，将其作为小路，在线段上取一点，过点作轴与抛物线交于点，连接，将设置为课外活动区．
第三步：如图2，在线段上取一点，过点分别作轴于点，轴于点，将四边形设置为劳动实践区．
问题解决：
(1)请直接写出直线的函数表达式．
(2)①当是以为底边的等腰三角形时，求所设置的课外活动区底边的长；②求所设置的劳动实践区（四边形）的最大面积．
(3)在满足（2）的条件下，请直接写出此矩形空地中绿化区域的面积．（小路的面积忽略不计）
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点．点是第一象限的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如左图，连接，当时，求点的坐标；
(3)如右图，过点作于点，求的最大值．
2.如图，抛物线经过，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为抛物线上一点，当时，求点M的坐标
(3)P是直线下方抛物线上一点，连接交于E，求的最大值．
一、单选题
1．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论：
①小球运动时间是时，高度为；
②小球运动中高度可以是；
③当时，高度h随着时间t的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数
5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
B．
C． D．
7．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
B．
C． D．
8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·山东滨州·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ．
10．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
11．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ．
12．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ．
三、解答题
13．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
14．（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）．
(1)求两点的坐标．
(2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标．
(3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式．
15．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
一、单选题
1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
2．如图，在直角三角形中，，，．动点P以每秒1个单位从点A出发沿A﹣B运动；动点Q以每秒1个单位从点A出发沿A﹣C﹣B运动．若点P、Q同时出发，当其中一动点运动到点B时另一点停止运动，则的面积S与运动时间t之间的函数图形大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ）
A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24
C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24
4．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（ ）
A． B． C．2 D．3
5．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
7．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
8．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为，两图象交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．的值为2
B．当时，点之间的距离为6
C．四边形为菱形
D．当时，四边形为正方形
二、填空题
11．已知抛物线，是抛物线上一动点，以点为圆心，2个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为 ．
12．如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为 ．
14．如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点，当的周长最小时，则此时的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，若作，且（C、O在的两侧），设点的坐标为，则关于的函数关系式为 ．
16．如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：
①；
②；
③；
④当点C坐标为时，抛物线顶点；
⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，．
其中正确的有 ．（只填序号）
三、解答题
17．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线（b为常数）．当时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若的最大值为4，求b的值．
19．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：交于E，F两点．
(1)直线L经过定点D，直接写出点D的坐标；
(2)求面积的最小值．
20．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)用含有a的式子表示b，并求抛物线的对称轴；
(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．
①若，，求的长；
②已知在点P从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求a的取值范围．
21．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．
(1)求的值和直线的函数表达式；
(2)设的周长为，的周长为，若，求的值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接、，求的最小值．
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模块三 函数
专题8 二次函数与几何图形的综合
【考点一】二次函数中线段有关综合题
（1）线段相等问题解题思路
借助几何性质：
利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。
利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。
利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。
（2）线段和差倍问题解题思路
截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。
（3）线段倍数问题解题思路
加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。
利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。
【考点二】二次函数中角度有关综合题
（1）角相等问题
对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。
二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。
利用三角函数值：根据等角的三角函数值相等，通过计算角的正弦、余弦或正切值来证明角相等。可利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角，进而利用等角的三角比解决问题。
借助相似三角形：证明包含这些角的三角形相似，根据相似三角形对应角相等得出结论。也可利用角平分线的相关性质定理，通过角平分线得到等角。
依据几何性质：运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等的性质来证明角相等。还可将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决。
（2）二倍角问题
倍角减半法：将二倍角转化为等角，如作一个角等于二倍角的一半，利用三角函数求解。
加倍法构造等腰三角形：构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及三角函数或相似三角形来求解。
二倍角的构造方法
如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.
这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了
（3）特殊角问题
运用三角函数值：已知特殊角（如 30°、45°、60°、90° 等），可直接利用其三角函数值来建立边与边之间的关系，进而解决问题。
构造特殊三角形：遇 45°构造等腰直角三角形，遇 30°、60°构造等边三角形，遇 90°构造直角三角形，利用特殊三角形的性质来求解。
【考点三】相似三角形的存在性
寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。
确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。
根据相似三角形的性质列方程求解：
导边处理：若已找到一组相等角，可根据 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。
导角处理：根据 “有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A = ∠D，则讨论∠B = ∠E 或∠B = ∠F 的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。
解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。
【考点四】平行四边形的存在性
1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类;
2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移 可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)
3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解
常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形
分类讨论:
当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标;
当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.
4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可
【考点五】矩形、菱形、正方形存在性
1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。
2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。
3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。
【考点六】利用二次函数解决最值与动点问题
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
【考点七】二次函数与销售利润的问题
解决此类问题的基本思路:
（1）理解问题;
（2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系;
（3）利用总利润=单件利润×销售量，或总利润=总售价一总成本，列出二次函数的解析式，
（4）确定自变量取值范围：①涨价要保证销售量≥0;②降价要保证单件利润≥0.
（5）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值
【题型一】函数性质与几何图形判定
◇典例1：
如图，以原点为位似中心，将按相似比2放大，得到，点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点，
∴点，即点，
∵点是抛物线的顶点，
∴，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式是，即．
故选：A．
◆变式训练
1.如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B点左边），在抛物线上，连接．点D在线段上运动，以为边向右构造正方形．设点D的横坐标为x，则点E的纵坐标为______．
【答案】4
【详解】解：由题可知抛物线，
令，
即，
解得，，
在左边，
，，
设直线的解析式为，
把， 代入可得，
得：，
即，解得，
把代入，解得，
直线的解析式为，
点在直线上运动，横坐标为，
把代入，
得点的纵坐标为，
过D作垂直x轴，过E作交的延长线于G点，
∴,
∴
∴
由于四边形为正方形，
且，
∴,
∴,
，
，
，
即的纵坐标为，
故答案为．
2.如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N，利用三角形全等的性质，即可得出C点坐标，代入即可得出b的值．
【详解】解：过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N，
∴，
由条件可知，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
解得：，
∴，
∵点C在抛物线的图象上，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型二】特殊图形存在性问题
◇典例2：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；
(3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；
(4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：抛物线经过原点，
抛物线的表达式为，
将点代入上式得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，
当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，
即，
点B、M不重合，
故，
即且；
（3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，
当点M的纵坐标为时，，
解得；
当点M的纵坐标为时，，
解得：或，
综上，m的值为1或或；
（4）存在，或，理由如下：
当点在点B的上方时，如图，设点，
过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G，
是以为斜边的等腰直角三角形，
则，
，
，
，
，
，
则点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得，
解得（舍去）或，
则；
当点在点B的下方时，
同理可得，点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得，，
解得：（不合题意的值已舍去），
则，
综上，或．
◆变式训练
1.综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标．
(3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：对于，令，则，
解得，，
∵点在点的右侧，
∴，，
令，得，
∴，
设直线的表达式为，
将，代入，得：
，
解得 ，
∴直线的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴，交直线于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
由（）知，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
当时，，
∴当的面积最大时，点的坐标为；
（3）解：点的坐标为或或，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴点的横坐标为，
由（）知，由（）知点的横坐标为，
设点的坐标为，
分三种情况：
当为平行四边形的对角线时，如图，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
当为平行四边形的对角线时，如图，
∵，
解得，
∴点的坐标为；
当为平行四边形的对角线时，如图，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
综上，点的坐标为或或．
2.如图，抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为抛物线的顶点，连接，求的值；
(3)在（2）的条件下，点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，连接，直线与对称轴交于点M，点P是抛物线对称轴上的一动点，当和相似时，求点P坐标．
【详解】（1）解：将点B、C的坐标代入抛物线表达式．
可得，
解得，
故抛物线的解析式为；
（2）解：，
.
，
．
，
，
，
是直角三角形，，
；
（3）解：∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，的对称轴为直线，
.
又，
可设直线的解析式为，将点B、E的坐标代入，
得，
解得，
∴直线为，
当时，，
；
由（2）知是直角三角形，，
若和相似，可分两种情况进行解析：
①时，点P在x轴上，
，
，
，
，
和相似，
；
②时，
，
.
和相似，
，
，
解得，
∴点的纵坐标为，
．
综上所述，点P的坐标为或．
【题型三】动点/动线/图形变换综合
◇典例3：
在平面直角坐标中，已知抛物线（d为常数，），抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的对称轴（用含d的式子表示）；
(2)如图1，点D在第四象限，且在抛物线的图像上，连接、，两线相交于点E，求的最大值（用含d的式子表示）；
(3)如图2，当时，将抛物线向上平移4个单位得抛物线，抛物线与x轴相交于点E，与y轴相交于点F，点P是直线上任意一点，且点P在抛物线的对称轴右侧，直线、分别交抛物线于点M、N，连接，是否存在某一定点，使得该点总在直线上，若存在求出该定点的坐标，若不存在说明理由．
【详解】（1）解：由抛物线可得：对称轴为直线；
（2）解：令时，则有，即，
解得：，
∴，
令时，则有，
∴，
设直线的解析式为，则把点B、C坐标代入可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点D作轴交于点F，如图所示：
∴，
∴，
，
设点，则有点，
，
，
∴当时，最大，最大值为；
（3）解：当时，则有，
由将抛物线向上平移4个单位得抛物线，可得：，
由可得：、，
设、，
设直线的解析式为，则有：，
解得：，
∴直线的函数表达式：，
同理可得：函数表达式：；函数表达式：，
联立得：，
解得：，
∴与的交点，
∵点P在直线上，
，
，
∵函数表达式：，
∴
，
∴当时，即时，则有，
∴直线过定点．
◆变式训练
1.综合与探究
如图，抛物线经过点，，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)点是直线下方抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线交于点．
①过点作与抛物线的对称轴交于点，当时，求的值．
②连接，是否存在点，使得的一个内角的度数是的2倍？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将，的坐标分别代入，
得
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：①对于，
当时，，
∴．
设直线的函数表达式为，
将，的坐标分别代入，
得解得
∴直线的函数表达式为．
∵点的横坐标为（），轴，
∴，，
∴．
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，．
过点作直线的垂线，垂足为．
当点在直线右侧时，如图（1），
由题意知，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
解得，（舍去）．
当点在直线左侧时，如图（2）．
同理得，
∵，
∴，
解得（舍去），．
综上可知，的值为4或．
②存在．点的坐标为或．
作点关于轴的对称点，连接，
则，．
分三种情况讨论：
ⅰ．当时，，
∴．
设直线的函数表达式为
∵，，
∴，解得，
则直线的函数表达式为．
那么，将直线向下平移6个单位长度可得直线，
∴直线的函数表达式为．
令，
解得（舍去），，
∴．
ⅱ．当时，
∵过点作轴的垂线交于点，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
故此种情况不存在．
ⅲ．当时，如图，
则．
∵，
∴，
∴，
∴与点关于直线对称的点在直线上．
过点作于点，则，
设点，则，解得，
则，
∴．
∵，，
∴直线的函数表达式为．
令，解得，（舍去），
∴．
综上可知，点的坐标为或．
2.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方），作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积为2？求出此时点坐标；
(3)若将上方的抛物线沿直线翻折下来，原图象其余部分不变，与翻折下来的部分组成新图象，当直线与新图象有四个交点时，直接写出的取值范围．
【详解】（1）∵，当时，；
当时，，解得：，
∴，，
∵抛物线过A，B两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵轴，，
∴点C的纵坐标为3，
，解得：或，
∴，
∴，
设点P坐标为且（），
∵轴，
∴D点坐标为，
∴，
∵，
，
∵四边形的面积为2，
，解得：，，
∵，
，
此时P点坐标为；
（3）如图所示，当直线在图示区间符合有四个交点．
翻折后的抛物线与原抛物线的形状大小一致，开口相反，
所以它们的二次项系数互为相反数，
所以翻折后的抛物线可设为，
∵，在抛物线上，
∴，解得，
∴翻折后的抛物线解析式为（），
当直线过点A时，，解得；
当直线于抛物线有唯一一个公共点时，
方程有相等的实数解，
所以有相等的实数解，
所以，
解得:，
所以当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围为．
【题型四】函数最值与几何量最值结合
◇典例4：
综合与实践
问题情境：
学校有一块矩形空地，空地中有一条小路可近似地看成抛物线的一部分，该抛物线的顶点在矩形空地的边上．为了将此矩形空地加以利用，设置课外活动区和劳动实践区，其余部分为绿化区域，现面向全体同学征集设计方案．
方案设计：
小慧同学设计了如下方案：
第一步，如图1，在矩形中，，以边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点在矩形的边上．根据测得的数据得到小路所在抛物线的函数表达式为．
第二步：如图2，连接，将其作为小路，在线段上取一点，过点作轴与抛物线交于点，连接，将设置为课外活动区．
第三步：如图2，在线段上取一点，过点分别作轴于点，轴于点，将四边形设置为劳动实践区．
问题解决：
(1)请直接写出直线的函数表达式．
(2)①当是以为底边的等腰三角形时，求所设置的课外活动区底边的长；②求所设置的劳动实践区（四边形）的最大面积．
(3)在满足（2）的条件下，请直接写出此矩形空地中绿化区域的面积．（小路的面积忽略不计）
【详解】（1）解：∵以边所在直线为轴，，
∴，
已知小路所在抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴，
设直线的函数表达式，
∴，
解得，，
∴直线的函数表达式；
（2）解：①直线的函数表达式，点在线段上，且轴，
∴设，则，且，
∴，
，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
整理得，，则
解得，，（舍去），
当时，，，
∴，，，
∴；
②线段上取一点，过点分别作轴于点，轴于点，
∴，
∴四边形是矩形，
设，
∴，
∴，
∵，
∴当时，即，有最大值，最大值为，
∴所设置的劳动实践区（四边形）的最大面积为；
（3）解：抛物线的顶点在矩形的边上，
∴抛物线的顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∴，
又∵矩形中，，
∴，
由（2）可得，是以为底边的等腰三角形，，，，
如图所示，过点作于点，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴矩形空地中绿化区域的面积为．（小路的面积忽略不计）
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、点，与轴交于点．点是第一象限的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如左图，连接，当时，求点的坐标；
(3)如右图，过点作于点，求的最大值．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线解析式为：；
（2）过点作，则，过点作于点，
当，则，
则，则
，则，
又，则，
则
设，则，
，
解得：舍去或
当时，
；
（3）过点作轴于点，交于点，作于点，
设，，
，
设直线的表达式为，代入，
，
解得：
直线的表达式为，
设点，则点
则
又
，当时，有最大值，
的最大值为．
2.如图，抛物线经过，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为抛物线上一点，当时，求点M的坐标
(3)P是直线下方抛物线上一点，连接交于E，求的最大值．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，
过点作垂直于轴，交轴于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当点在轴下方时，
可得，
解得（舍去）或，
，
∴点的坐标为，
当点在轴上方时，
可得，
解得（舍去）或，
，
∴点的坐标为，
∴点M的坐标为或．
（3）解：过点作平行于轴，交于点，
∵抛物线与轴交于点，
∴点的坐标为，
设的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设点的坐标为，则点的纵坐标为，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得，
即，
∴的最大值为．
一、单选题
1．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论：
①小球运动时间是时，高度为；
②小球运动中高度可以是；
③当时，高度h随着时间t的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键．
①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断．
【详解】解：①当时，，故①正确；
②，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，故②错误；
③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确，
∴正确的个数有 2 个，
故选：C．
2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可．
【详解】解：是等边三角形，
∴，
∵
，
即，
，
∴，
过点A作于G点，则，
∴
∴，
∴，
∴，
过点D作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
'
，
∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为，
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B
3．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论．
【详解】解：矩形，
，
，
，，
．
，
．
．
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，关于的函数图象经过，
代入得，，
，
．
故选：A．
4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的定义．当点P在上运动时，由题意得，，作于点，求得，利用列式计算即可；当点P在上运动时，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，
∴，，
当点P在上运动时，由题意得，，
作于点，
∵，
∴，
∴，是二次函数；
当点P在上运动时，由题意得，
∴，是一次函数；
故选：D．
5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键．
分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象．
【详解】解：当点在上时（）：
过点作于点．
，，
．
又，，
．
．
这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，．
当点在上时（）,
∵四边形是平行四边形，
，点从到用时秒，
此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）．
，
．
这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，．
综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降．
故选：A．
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解．
【详解】解：当点E在上时，如图，
，，
，
，，
，
此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项；
当点E在上且l与相交时，作，如图，
，，
，
，，
，
此时图象为直线一部分；
当点E在上且l与相交时，如图，
，，，
，
，
，
此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项；
故选A．
【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键．
7．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，，
则，
∴，
①当时，
∵以的速度沿方向匀速运动，
∴，
∵，，，
∴，
即，
；
②当时，
；
③当时，如图，
则，同理，，
；
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用．
8．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，
四边形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
点、的横坐标分别为、，
，．
，，，
设，则，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
点、在轴的同侧，且点在点的右侧，
．
．
故选：B．
二、填空题
9．（2023·山东滨州·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
水管的高度为，
故答案为：．
10．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，当时，，
∵，
∴可判定货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
11．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积．
设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值．
【详解】解：设矩形中，（）．
∵ ，，
∴ 是等腰直角三角形．
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，又是等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ .
则.
矩形面积
∵ 二次函数中，，图象开口向下，
当时，取最大值．
最大值.
故答案为：．
12．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ．
【答案】2
【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点，
∵，，是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则：，，
∴，
∴面积，
∴当时，面积的面积最大；
此时；
故答案为：2．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键．
三、解答题
13．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识，
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出当时，，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过，
设其表达式为，
，
解得，
所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到的距离均为，
当时，，
，
这两条灯带的总长为．
14．（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）．
(1)求两点的坐标．
(2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标．
(3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)2或
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案；
（2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案；
（3）设，设直线解析式为，利用待定系数法可得，进而可得；求出直线解析式为，得到，同理可得，进一步可得，则，根据，可得，据此可得，，，即直线解析式为．
【详解】（1）解：联立，解得或，
∴；
（2）解：设，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
解得或（舍去）或或（舍去），
∴点P的横坐标为2或；
（3）解：设，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（此时的面积相等，不符合题意），
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
∴直线解析式为．
15．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，．；
(2)．
(3)能，边上的顶点的坐标为，或．
【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标；
（2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可．
【详解】（1）解：中，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∵抛物线经过A，B，C三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
令，则，
∴，或，
∴．
∵
∴顶点；
（2）∵，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
延长至点，使，连接，交直线于点P，如图，
则，B关于直线对称，此时的周长最小，
过点作轴于点E，
∵轴，轴，
∴ ，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
（3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K，
设，
∵四边形为矩形，，
∴四边形，为矩形，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴，
∵，
∴H为的中点，
∴．
同理，点G为的中点，
∴．
②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，
设，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形的面积取得最大值为．
∴，
∴点G为的中点，
∵，
∴为的中位线，
∴
∴，
∴．
综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
一、单选题
1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积．
先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由
得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积．
【详解】解：∵抛物线，
令，则，解得或，
∴；
令，则，
∴．
∵（x轴），
∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C），
∴，
则，A到的距离为，
∴的面积
故选：B．
2．如图，在直角三角形中，，，．动点P以每秒1个单位从点A出发沿A﹣B运动；动点Q以每秒1个单位从点A出发沿A﹣C﹣B运动．若点P、Q同时出发，当其中一动点运动到点B时另一点停止运动，则的面积S与运动时间t之间的函数图形大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数动点问题，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点Q在线段上和当点Q在线段上时，然后分别表示出，，然后根据三角形面积公式表示出S，然后根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】解：由勾股定理可得，
当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P，
由条件可知，即，
∴，
的面积；
当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点H，
∵根据题意得，，，
∴，即，
∴，
∴的面积；
综上所述，，
故选：A．
3．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ）
A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24
C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24
【答案】C
【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，全等三角形的判定和性质，证明，得到，同理可得：，即可求解．
【详解】解：令，则或6，
即点A、B的坐标分别为：、，
∴，
设点P的横坐标为：m，
分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得：，
则与的面积之和，
即与的面积之和始终不变，面积为32．
故选：C．
4．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”， 称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”的定义是解题的关键．把抛物线三角形系数代入抛物线，令，求出与轴的交点为，，再求出顶点坐标，然后根据等腰直角三角形的斜边上的高线等于斜边的一半列出方程求解即可得到b的值．
【详解】解：∵抛物线三角形系数为，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，
令，则，
解得，
∴与轴的交点为，，
∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴，
∴或，
∵时，抛物线与x轴只有一个交点，
∴不符合题意，
∴或，
故选：A．
5．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键．
如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解．
【详解】解：在中，
当，，
解得，，
，，
当时，，
∴原抛物线与轴交点坐标为，
∴翻折后与y轴的交点坐标为，
如图，当直线经过点B时，直线与新图象有3个交点，
把代入中，得，
∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：，
∴翻折后的部分解析式为：，
当直线与抛物线只有一个交点C时，
直线与图象有3个交点，
把代入中，
得到方程有两个相等的实数根，
整理得，
∴，
解得，
∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是．
故选：D．
6．如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，先根据题意得出点的坐标为，联立方程组求出二次函数与一次函数的交点，再分为线段的端点和端点在二次函数的图象上这两种情况，分别分析，结合函数图象和线段的移动轨迹，即可求解．
【详解】解：∵的坐标为，线段平行于轴，，
故点的坐标为，
若线段的端点在抛物线上，
联立方程组，得，
整理得，
解得，，
即当、时，线段的端点在抛物线上，
当时，点的坐标为，
令，此时，
即当时，线段的端点在抛物线上，
此时线段与抛物线有两个交点，
故．
当时，点的坐标为，
令，此时，
即当时，线段与抛物线有一个交点．
若线段的端点在抛物线上，
即，
整理，得，
解得，（舍去）；
即当时，线段与抛物线有一个交点．
结合函数图象可得，
当时，线段端点在抛物线上，
当时，线段与抛物线有一个交点，
当时，线段与抛物线有两个交点，
当时，线段与抛物线有一个交点，
当时，线段的端点在抛物线上，
综上，的取值范围为或．
故选：D．
7．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积．
【详解】解：联立得，
解得或，
点的坐标为，点的坐标为，
，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
∴，
解得，
直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为，
过点作于点D，
将代入直线中，得，
∵点的坐标为，
∴直线与轴的夹角是，
∴是等腰直角三角形，
∴，
的面积，
故选：A．
8．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式．能画出函数图象并利用数形结合的方法解决问题是解题的关键．
分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，解得：，，
∴抛物线与轴的交点为，，
把抛物线图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，
则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为，
如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
∴，解得：；
当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解，
整理得：，
∴，
解得，
由图可知，当时，直线与新函数的图象有4个公共点．
故选：D．
9．如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．先将转化为，过点作轴的平行线交的延长线于点，得到，从而得到，将转化为，利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，点的坐标为，表示出的长，进而表示出，最后根据二次函数的图象与性质求得最大值．
【详解】解：由题知，
如图所示，过点作轴的平行线交的延长线于点，
轴，
，
，
，
对于函数，
令，则有，
解得，，
，，
，
令，则有，
，
设直线的函数解析式为，则有：
，解得，
直线的函数解析式为，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为，
即的最大值为．
故选：B．
10．如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为，两图象交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．的值为2
B．当时，点之间的距离为6
C．四边形为菱形
D．当时，四边形为正方形
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质,菱形的判定与性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．求出抛物线的对称轴，即可求出的值，可判断选项A；分别求出两抛物线的顶点坐标可判断选项B；由抛物线的对称性得，根据题意得轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，根据两抛物线的顶点到直线的距离相等，可得垂直平分,从而得到，可判断选项C；根据，可判断选项D．
【详解】解：,
抛物线的对称轴为直线，
两抛物线的对称轴相同，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
故选项A正确，不符合题意；
，
抛物线，且顶点D的坐标为，
，顶点C的坐标为，
当时，点之间的距离，
故选项B错误，符合题意；
联立得，
解得或，
两抛物线的交点分别为或，
即它们交点所在的直线为，
抛物线的顶点到直线的距离为，抛物线的顶点到直线的距离为，
即两抛物线的顶点到直线的距离相等，
如图，连接，
由抛物线的对称性得，
根据题意得轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，
，
两抛物线的顶点到直线的距离相等，
垂直平分，
，
，
四边形为菱形，
故选项C正确，不符合题意；
当时，两顶点的距离，
，，
，
菱形是正方形，
故选项D正确，不符合题意．
综上，结论错误的选项是．
故选：B．
二、填空题
11．已知抛物线，是抛物线上一动点，以点为圆心，2个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了二次函数综合应用问题，切线的性质，由与轴相切，可得点P到x轴的距离等于半径2，即点P的纵坐标为2或，代入抛物线解析式求解即可．
【详解】解：∵与x轴相切，且半径为2，
∴点P到x轴的距离为2，即，
∴或．
当时，
，
解得，，
∴点P坐标为或．
当时，
，
解得，
∴点P坐标为．
综上所述：点的坐标为或或；
故答案为或或．
12．如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键．
令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：令，即，
解得：，
∴点，
将，代入，得，
∴点，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为；
设点，则点，
∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方，
∴，
∴当时，的长度最大，最大值为．
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，当抛物线经过时，求得，当抛物线经过时，求得，当顶点在线段上时，求得，根据有交点，即可求解．
【详解】解：点，的坐标分别是，，
线段轴，
当抛物线经过时，
，
当抛物线经过时，
，
解得，
当顶点在线段上时，
，
解得，
抛物线与线段有交点，且开口大小和方向都已确定，
，
故答案为．
14．如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点，当的周长最小时，则此时的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，二次函数图象上的点的坐标特征以及待定系数法求解析式，作出B的对称点是本题的关键．
先求出点A、B坐标，再根据抛物线的性质，作出B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，点P即为所求，再求出的面积即可．
【详解】解：如图，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P，
则点就是使的周长最小时的位置．
∵抛物线的对称轴是y轴，B、关于y轴对称，
∴点P在抛物线的对称轴上，且，
∴，
∴此时的周长最小，
当时，，当时，，
∴，，
∴=6，点H的坐标是，
∵，
∴点A到的距离为，
设直线的直线方程为，把点A和点的坐标代入后得到，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴P点的坐标为
∴，
此时，
即的面积为，
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，若作，且（C、O在的两侧），设点的坐标为，则关于的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】延长CA，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作于M．利用证明，得出，利用证明，得出，．根据函数解析式求出点A和点B的坐标，再证明，求出，那么点C的坐标为，即，将代入，即可求出y关于x的函数关系式．
【详解】解：延长，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作于M，如图，
令，解得
点B坐标为，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
抛物线的顶点为A，
点，
，
，
，
即：，
点C的坐标为
即
，
∴所求函数的解析式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正确作出辅助线，求出点C的坐标是解题的关键．
16．如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：
①；
②；
③；
④当点C坐标为时，抛物线顶点；
⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，．
其中正确的有 ．（只填序号）
【答案】①②⑤
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；根据函数图象可得时，；由函数的图象可知，，再由可知；求得函数解析式即可解答；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值．
【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意；
②当时，，
由图象可得，故②正确，符合题意；
③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点，
，，，
故，③错误，不符合题意；
④根据题意可设二次函数解析式为，
把代入可得，
解得，
，
当时，，
即抛物线顶点，故④错误，不符合题意；
⑤根据，可设函数解析式为，
将点代入，
可得
，
，
如图，过点作轴交于点，
设直线，过点，，
则
解得：，
直线
，
直线．
由条件可知：，
，
，
当时，的面积最大，
故⑤正确，符合题意；
故答案为：①②⑤．
三、解答题
17．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标求解及三角形面积的计算，熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法是解题的关键．
先求出二次函数与轴的交点、的坐标，得到的长度；再求出与轴交点的坐标，得到点到轴的距离；最后利用三角形面积公式计算的面积．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴，，
∴，
令，则，
∴，点到轴的距离为．
∴．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线（b为常数）．当时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若的最大值为4，求b的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出抛物线与x轴的交点横坐标为，结合已知可判断，则点在的上方，设，，则，其对称轴为，然后分两种情况讨论：①；②，根据二次函数的性质求解即可。
【详解】设，则．
过直线上一点作轴的平行线，
令，
解得．
，
，
点在的上方，如图1．
设，则，
其对称轴为，且．
①当时，即．
由图2可知，
当时，取得最大值4，
解得或（舍去）．
②当时，得．
由图3可知，
当时，取得最大值4，
解得（舍去）．
综上所述，的值为．
19．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：交于E，F两点．
(1)直线L经过定点D，直接写出点D的坐标；
(2)求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据即可求解；
（2）作轴交直线于D，设E、F点的横坐标分别为，，则，为方程的两根，可用，表示出，再根据根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵k为任意不为0的实数，
∴，，
解得: ，，
∴直线L经过定点D，其坐标为；
（2）解：设E、F的横坐标分别为，，
则，为方程的两根，
整理得，
∴，，
∴，
当时，有最小值，最小值为8，
当时，，
解得：，，
∴，
作轴交直线于点D，如图，
则，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，的最值，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
20．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)用含有a的式子表示b，并求抛物线的对称轴；
(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．
①若，，求的长；
②已知在点P从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求a的取值范围．
【答案】(1)；对称轴
(2)①6；②或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，函数值的计算与线段的长度，二次函数的最值，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）将点和点代入抛物线方程即可得a与b的关系，再由求解对称轴即可；
（2）①根据，，可将点M与点N的坐标求解出来，再求解长度即可；
②先将点M与点N的坐标表示出来，再表示的长，根据二次函数的对称轴求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，即，
可得；
∴对称轴；
（2）解：①若，，
则点，抛物线为，直线，
∵点作x轴的垂线，交抛物线于点M，
∴当时，，即点，
∵过点作x轴的垂线，交直线于点N，
∴当时，，即点，
∴的长度为；
②∵，，
∴抛物线为，
∵点作x轴的垂线，交抛物线于点M，
∴当时，，即点，
∵过点作x轴的垂线，交直线于点N，
∴当时，，即点，
∴的长度为，
∴的对称轴为，
∵点P从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，
∴或，
即或，
∴或．
21．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．
(1)求的值和直线的函数表达式；
(2)设的周长为，的周长为，若，求的值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接、，求的最小值．
【答案】(1)；直线解析式为
(2)
(3)最小值为
【分析】（1）令，求出抛物线与轴交点，列出方程即可求出，根据待定系数法可以确定直线解析式．
（2）由，推出，列出方程即可解决问题．
（3）在轴上取一点使得，构造相似三角形，可以证明就是的最小值，从而求得的最小值．
【详解】（1）解：令，则，
，
或，
抛物线与轴交于点，
，
．
，，
设直线解析式为，则，
解得，
直线解析式为．
（2）解：如图1中，
，，
，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
抛物线解析式为，
，
，
解得或4，
经检验是分式方程的增根，
．
（3）解：如图2中，在轴上 取一点使得，连接，在上取一点使得．
，，
，
，
，
，
，
，
，此时最小（两点间线段最短，、、共线时），
的最小值．
∴的最小值．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值，从而求得的最小值．
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