第2讲平行四边形性质及判定
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
本节课主要针对第23章平行四边形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了平行四边形相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
1、概念总结
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形
平行四边形性质：对边相等且平行；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形
平行四边形判定方法：①两组对边分别平行的四边形；
②两组对边分别相等的四边形；
③一组对边平行且相等的四边形；
④对角线互相平分的四边形
2、典型例题分析
例题1：在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大60°，求各角度数。
解题思路：设∠B=x，则∠A=x+60，利用邻角互补：x+(x+60)=180，解得x=60，所以∠B=∠D=60°，∠A=∠C=120°。
例题2：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，AC+BD=30，CD=9，求△COD的周长。
解题思路：AO+BO= (AC+BD)=15，△COD周长=OC+OD+CD=15+9=24。
一．平行四边形性质（共24小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝9，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．以上都不对
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，结合角平分线的定义可求得BE＝AB、CD＝CF，再由线段的和差可求得EF．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝9，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝BA＝3，
同理CF＝CD＝3，
∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝9﹣3﹣3＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，结合平行四边形的性质求得AB＝BE＝CF是解题的关键．
2．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，，则BD的长是（ ）
A． B． C．8 D．12
【分析】由平行四边形的性质推出BD＝2BO，AOAC＝2，由勾股定理求出BO6，得到BD＝2BO＝12．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2BO，AOAC42，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO＝90°，
∵AB＝4，
∴BO6，
∴BD＝2BO＝12．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，关键是平行四边形的性质推出BD＝2BO，AOAC，由勾股定理求出BO的长，
3．在同一平面内，已知a∥b∥c，若直线a、b之间的距离为5cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（ ）
A．2cm或8cm B．2cm C．8cm D．不确定
【分析】分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题．
【解答】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1），
直线a、c间的距离为5﹣3＝2（cm）；
当直线c在直线a、b外部时，如图（2），
直线a、c间的距离为5+3＝8（cm），
∴直线a、c间的距离是2或8cm．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的距离，关键是要分两种情况讨论．
4．如图，已知在平行四边形ABCD中，BC＝6，延长CD至E，使，连接BE，交AD于点F，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2.5
【分析】先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出相关线段和角的关系；再据此证明△DEF∽△ABF，得到对应边成比例关系；最后结合已知线段长度，通过线段间的等量代换求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，AD∥CB，AB＝CD．
∴∠EDF＝∠A，∠E＝∠FBA，
∴△DEF∽△ABF．
∴，
∵，
∴，
则，
∴AF＝2DF．
∵AD＝AF+DF，且AD＝BC＝6，AF＝2DF，
∴2DF+DF＝6，即3DF＝6，
解得DF＝2．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形性质与相似三角形的判定及性质，解题关键是利用平行四边形性质证明三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例建立线段关系求解．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作 PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′，
∴则PQ的最小值为2OP′，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．
6．设直线a、b、c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b的距离是7cm，b与c的距离是4cm，则a与c的距离是 3或11 cm．
【分析】分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．
【解答】解：如图1，直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为7cm，b与c的距离为4cm，
∴a与c的距离为7+4＝11（cm），
如图2，直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为7cm，b与c的距离为4cm，
∴a与c的距离为7﹣4＝3（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或11cm，
故答案为：3或11．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，熟练掌握分类讨论是关键．
7．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为 2cm或8cm ．
【分析】点M的位置不确定，可分情况讨论．
（1）点M在直线b的下方，直线a和直线b之间的距离为5cm﹣3cm＝2cm
（2）点M在直线a、b的之间，直线a和直线b之间的距离为5cm+3cm＝8cm．
【解答】解：当M在b下方时，距离为5﹣3＝2cm；
当M在a、b之间时，距离为5+3＝8cm．
故答案为：2cm或8cm
【点评】本题需注意点M的位置不确定，需分情况讨论．
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，连接AC．下列说法正确的是（ ）
A．AB＝AC B．CF＝BC
C．AC平分∠BCD D．△ABC是等边三角形
【分析】由题意可知∠ABF＝∠CBF，结合AB∥CD可得∠ABF＝∠CFB，进而得到∠CBF＝∠CFB，则CF＝BC即可判断B正确，而ACD无法判断．
【解答】解：∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CFB，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC，故B正确；而ACD无法判断．
故选：B．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，等角对等边，掌握角平分线性质是解题的关键．
9．如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠D＝60°，点E是线段CD上一动点，F为线段AE上一点，连结BE，BF，若∠CEB＝∠AFB，则AF的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据等量代换得：∠ABE＝∠AFB，在由三角形外角的性质与角的和差得：∠AEB＝∠ABF，证明△AFB∽△ABE，列比例式得AF，如图1，当AE⊥CD时，AE有最小值，此时AF有最大值，根据图1即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CEB＝∠ABE，
∵∠CEB＝∠AFB，
∴∠ABE＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠AEB+∠EBF，∠ABE＝∠ABF+∠EBF，
∴∠AEB＝∠ABF，
∵∠BAF＝∠BAE，
∴△AFB∽△ABE，
∴，
∵AB＝4，
∴AF，
如图1，当AE⊥CD时，AE有最小值，此时AF有最大值，
∴∠AED＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DEAD3，
∴AE3，
∴AF，
即AF的最大值是．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形性质，直角三角形性质，相似三角形判定和性质等知识，证明△AFB∽△ABE是解题的关键．
10．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，且四边形EFCD的周长为12，则EF的长是 3 ．
【分析】利用平行四边形性质结合ASA证△AEO≌△CFO，得AE＝CF，再结合平行四边形周长求出AD+CD，然后将四边形EFCD周长转化为AD+CD+EF，进而解得EF．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE＝CF，
∵平行四边形ABCD的周长为18，
∴2AD+2CD＝18，即AD+CD＝9，
∵四边形EFCD的周长为ED+CD+CF+EF＝AD+CD+EF＝12，
∴EF＝12﹣9＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，周长的转化计算，通过证明三角形全等实现边的等量代换是解题关键．
11．如图， ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D＝65°，则∠BCE等于 25° ．
【分析】根据平行四边形的对角相等得到∠B＝∠D＝65°，再由直角三角形锐角互余即可求解．
【解答】解： ABCD中，
∵∠D＝65°，
∴∠B＝∠D＝65°，
∵CE⊥AB，E为垂足，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
12．如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE．若AE＝4，DE＝3，DC＝5，则AC的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【分析】由线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再由勾股定理的逆定理证明△EDC是直角三角形，∠CED＝90°，然后由勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，OA＝OC，
∵OE⊥AC
∴CE＝AE＝4，
∵DE＝3，
∴CE2+DE2＝42+32＝25，CD2＝25，
∴CE2+DE2＝CD2，
∴△EDC是直角三角形，∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AC4，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明△EDC为直角三角形是解题的关键．
13．如图，在 ABCD中，AC⊥BC，BC＝5，AC＝3，则CD的长为 ．
【分析】由勾股定理可求AB的长，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：∵BC＝5，AC＝3，AC⊥BC，
∴AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交AE于F，如AE＝AD，，，则CD的长为 8 ．
【分析】延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，求出∠DAG＝90°＝∠GAD，根据SAS证△ABE≌△DAG，推出DG＝AB＝CD，∠1＝∠2，求出∠AFD＝∠GDF，推出DG＝GF＝AF+AG即可．
【解答】解：延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠DAG＝90°，
∴∠DAG＝90°，
在△ABE和△DGA中，
，
∴△ABE≌△DGA（SAS），
∴∠1＝∠2，DG＝AB，∠B＝∠G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，
∵∠B+∠1＝∠ADC+∠2＝90°，∠3＝∠4，
∴∠GDF＝90°﹣∠4，∠GFD＝90°﹣∠3，
∴∠GDF＝∠GFD，
∴GF＝GD＝AB＝CD，
∵GF＝AF+AG＝AF+BE，
∴CD＝AF+BE，
∵BE＝3，AF＝5，
∴CD＝AF+BE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义，平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的运用，本题综合性比较强，有一定的难度．
15．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且F是CD的中点，DG⊥AE，垂足为G，如果DG＝1，那么AE的长是 4 ．
【分析】由平行四边形的性质得CD＝AB＝4，推导出∠DFA＝∠ABE，∠FAD＝∠E，由∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，得∠DAF＝∠BAE，所以∠DFA＝∠DAF，因为DF＝CFCD＝2，所以DA＝DF＝2，由DG⊥AE于点G，DG＝1，得AG＝FG，求得AG，则AF＝2AG＝2，再证明△AFD≌△EFC，得AF＝EF，则AE＝2AF＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，
∴CD＝AB＝4，CD∥AB，AD∥BC，
∴∠DFA＝∠ABE，∠FAD＝∠E，
∵∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠DFA＝∠DAF，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CFCD＝2，
∴DA＝DF＝2，
∵DG⊥AE于点G，DG＝1，
∴∠AGD＝90°，AG＝FG，
∴AG，
∴AF＝2AG＝2，
在△AFD和△EFC中，
，
∴△AFD≌△EFC（AAS），
∴AF＝EF，
∴AE＝2AF＝4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠DFA＝∠DAF及△AFD≌△EFC是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形，求证：AC与DE互相垂直平分．
【分析】由直角三角形的性质可得AE＝BE＝CE，通过题意证明四边形AECD是菱形，即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴AE＝BE＝CE，
∴AE＝CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵AE＝CE，
∴平行四边形AECD是菱形，
∴AC与DE互相垂直平分．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，证明四边形AECD是菱形是解题的关键．
17．如图，在 ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G．
（1）求证：△AGD≌△CEB；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若平行四边形ABCD的周长为48，EF＝8，求 ABCD的面积．
【分析】（1）由BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G，得∠ADG∠ADC，∠CBE∠ABC，由平行四边形的性质得∠ADC＝∠ABC，AD∥CB，AD＝CB，则∠ADG＝∠CBE，∠DAG＝∠BCE，即可根据“ASA”证明△AGD≌△CEB；
（2）作EH⊥BC于点H，则EH＝EF＝8，由平行四边形ABCD的周长为48，得2AB+2BC＝48，则AB+BC＝24，所以S△ABC＝S△ABE+S△CBE8（AB+BC）＝96，因为△ABC≌△CDA，所以S△ABC＝S△CDA＝96，则S ABCD＝S△ABC+S△CDA＝192．
【解答】（1）证明：∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G，
∴∠ADG∠ADC，∠CBE∠ABC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB，AD＝CB，
∴∠ADG＝∠CBE，∠DAG＝∠BCE，
在△AGD和△CEB中，
，
∴△AGD≌△CEB（ASA）．
（2）解：作EH⊥BC于点H，
∵BE分别平分∠ABC，EF⊥AB于点F，
∴EH＝EF＝8，
∵AB＝CD，BC＝DA，且平行四边形ABCD的周长为48，
∴2AB+2BC＝48，
∴AB+BC＝24，
∴S△ABC＝S△ABE+S△CBEAB EFBC EH8（AB+BC）8×24＝96，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴S△ABC＝S△CDA＝96，
∴S ABCD＝S△ABC+S△CDA＝96+96＝192，
∴ ABCD的面积是192．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．如图， ABCD中，，BC＝8，∠ABC＝45°，点M为 ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝8，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 2 ．
【分析】取BC的中点N，连接MN，过D作DL⊥BC交BC的延长线于L，判定△BMN≌△BCH（SAS），推出MN＝CH，由平行四边形的性质推出DC∥AB，CD＝AB＝6，得到∠DCL＝∠ABC＝45°，判定△DCL是等腰直角三角形，求出CL＝DL＝6，由勾股定理求出DN＝2，由三角形三边关系定理得到DM+CH≥2，即可得到答案．
【解答】解：取BC的中点N，连接MN，过D作DL⊥BC交BC的延长线于L，
∴BNBC，
∵H是BM的中点，
∴BHBM，
∵BC＝BM＝8，
∴BN＝BH，
∵∠MBN＝∠CBH，
∴△BMN≌△BCH（SAS），
∴MN＝CH．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD＝AB＝6，
∴∠DCL＝∠ABC＝45°，
∴△DCL是等腰直角三角形，
∴CL＝DLDC＝6，
∵CNBC＝4，
∴NL＝CN+CL＝10，
∴DN2，
∵DM+MN≥DN，
∴DM+CH≥2，
∴DM+CH的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理，关键是判定△BMN≌△BCH（SAS），推出MN＝CH，由三角三边关系定理得到DM+MN≥DN．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果 ABCD的周长为32，△COD的周长比△BOC的周长多4，那么BC的长为 6 ．
【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC，AB＝CD，OD＝OB，由AD+AB+BC+CD＝2BC+2CD＝32，求得BC+CD＝16，由△COD的周长比△BOC的周长多4，推导出CD﹣BC＝4，则BC+4+BC＝16，可求得BC，
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴AD＝BC，AB＝CD，OD＝OB，
∵ ABCD的周长是32，
∴AD+AB+BC+CD＝2BC+2CD＝32，
∴BC+CD＝16，
∵△COD的周长比△BOC的周长多4，
∴CD+OC+OD﹣（BC+OC+OB）＝CD﹣BC＝4，
∴BC+4＝CD，
∴BC+4+BC＝16，
∴BC＝6，
故答案为：6．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质等知识，推导出BC+4＝CD是解题的关键．
20．四边形ABCD是一个平行四边形，BE长是BC的长的，若S1、S2、S3、S分别表示△ABE、△CDE、△ADE和平行四边形ABCD的面积，求S1：S2：S3：S＝ 1：2：3：6 ．
【分析】根据同底等高的三角形面积是平行四边形的一半以及三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵BE长是BC的长的，若S1、S2、S3、S分别表示△ABE、△CDE、△ADE和平行四边形ABCD的面积，
∴，S1+S2＝S3，
∴S＝2S3；
∵BE长是BC的长的，
∴S2＝2S1，
∴
∴S1：S2：S3：S＝1：2：3：6．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
21．如图，已知平行四边形中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝6，E为AB的中点，DE⊥AB，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．
【分析】取DE的中点H，连接FH，证明AD＝BC＝5，AB＝CD＝6，AB∥CD，得到，求出，由DE的中点H，F为CE的中点，得到，，证明△AEG≌△FHG（AAS），则HG＝GE＝1，即可求出．
【解答】解：如图，取DE的中点H，连接FH，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝5，AB＝6，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝6，AB∥CD，
∵E为AB的中点，
∴，
∵DE⊥AB，
∴，
∵DE的中点H，F为CE的中点，
∴，，
∴AE＝HF＝3，∠FHG＝∠AEG，
在△AEG与△FHG中，
，
∴△AEG≌△FHG（AAS），
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，构造中位线是解题的关键．
22．如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
（1）求证：E为CD的中点；
（2）如果点F为AE的中点，联结CF交BE于点G．写出BG与EG满足的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形性质得AD＝BC，AB∥CD，则∠DEA＝∠BAE，∠CEB＝∠ABE，再根据角平分线定义得，∠DAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE，进而得∠DAE＝∠DEA，∠CBE＝∠CEB，则DE＝AD，CE＝BC，继而得DE＝CE，据此即可得出结论；
（2）设BE的中点为H，连接FH，则BH＝EH，证明FH是△EAB的中位线得FH∥AB，FHAB，进而根据平行四边形性质得FH∥CD，FHCD，由（1）的结论得ECCD，则FH＝EC，由此即可证明△GFH和△GCE全等，则EG＝HG，据此即可得出BG与EG满足的数量关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，∠CEB＝∠ABE，
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE，
∴∠DAE＝∠DEA，∠CBE＝∠CEB，
∴DE＝AD，CE＝BC，
又∵AD＝BC，
∴DE＝CE，
∴点E为CD的中点；
（2）解：BG与EG满足的数量关系是：BG＝3EG，理由如下：
设BE的中点为H，连接FH，如图所示：
∴BH＝EH，
∵点F为AE的中点，
∴FH是△EAB的中位线，
∴FH∥AB，FHAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴FH∥CD，FHCD，
由（1）可知：点E为CD的中点，
∴ECCD，
∴FH＝EC，
∵FH∥CD，
∴∠GFH＝∠GCE，∠GHF＝∠GEC，
在△GFH和△GCE中，
，
∴△GFH≌△GCE（ASA），
∴EG＝HG，
∴EH＝2EG，
∴BH＝EH＝2EG，
∴BG＝BH+HG＝2EG+EG＝3EG．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
23．平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，联结AF、BE交于点G，联结CE、DF交于点H，四边形EGFH是矩形．
（1）如图1，联结GH，如果GH∥AD，求证：①AE＝ED；②AD＝2AB；
（2）如图2，若AE＝CF＝a，BF＝DE＝b，且a＜b，又EF＝AB，用含a、b的代数式表示AB的长．请直接写出结果：AB＝ ．
【分析】（1）①根据题意，结合图形，易得到四边形AGHE及EGHD都是平行四边形，即可证得结论；
②根据题意，得到四边形ABFE为平行四边形，结合已知条件，得到四边形ABFE是菱形，即可得到结论；
（2）根据题意，结合图形，得到△AEG与△BGF为等腰直角三角形，求出AG和BG，利用勾股定理得到结果．
【解答】（1）证明：①连接EF，如图1所示：
∵四边形EGFH是矩形，
∴FD∥BE，AF∥EC，
即GE∥HD，AG∥EH，
又∵GH∥AD，
∴GH∥AE，GH∥ED，
∴四边形AGHE及EGHD都是平行四边形，
∴AE＝GH，ED＝GH，
∴AE＝ED；
②由①得，E为AD中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵GH∥AD，
∴GH∥BC，
同理可得F为BC中点，
∴AE＝BF，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∵四边形EGFH是矩形，
∴∠EGF＝90°，即AF⊥BE，
∴四边形ABFE是菱形，
∴，
∴AD＝2AB；
（2）解：如图所示：过点A作 AM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N，
则AM∥EN，
∵ ABCD中AE∥MN，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴AM＝EN，
∵AB＝EF，
∴Rt△ABM≌Rt△EFN（HL），
∴∠ABM＝∠EFN，
∵BF＝FB，
∴△ABF≌△EFB（SAS），
∴∠AFB＝∠EBF，AF＝BE，
∴GB＝GF，
∴BE﹣BG＝AF﹣GF，即AG＝EG，
∵矩形EGFH中∠EGF＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∴△AEG与△BGF为等腰直角三角形，
∵AE＝a，BF＝b，
∴AG，BG，
∴AB
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形，矩形，菱形的性质应用，熟练掌握相关特殊四边形的性质是解题的关键．
24．如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）当∠ABC＝90°时，G是EF的中点，联结DB，DG（如图2），请直接写出∠BDG的度数
（2）当∠ABC＝120°时，FG∥CE，且FG＝CE，分别联结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【分析】（1）根据∠ABC＝90°，G是EF的中点可直接求得；
（2）延长AB、FG交于H，连接HD．易证平行四边形AHFD为菱形，进而可得△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再证明△BHD≌△GFD，所以可得∠BDH＝∠GDF，然后即可求得答案．
【解答】解：（1）连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∵∠DCB＝90°，DF∥AB，
∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，
∴BE＝DC，
∵∠CEF＝∠GCF＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
在△BEG与△DCG中，
，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA＝90°，
又∵∠DGC＝∠BGA，
∴∠BGA+∠DGA＝90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°；
（2）延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD＝DF，
∴CE＝CF，
∴平行四边形AHFD为菱形，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°．
∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，
∴BH＝GF．
在△BHD与△GFD中，
，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH＝∠GDF，
∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
二．平行四边形判定（共16小题）
25．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
26．如图在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD成为平行四边形的条件是（ ）
A．∠DAB＝∠ADC B．AD＝BC C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAD＝∠BCD
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由AB∥CD，∠DAB＝∠ADC，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，不能判定四边形ABCD成为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
27．如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是
【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙，证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙，证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案丙正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
28．点A、B、C、D在同一平面内，若从①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（ ）
A．①② B．①④ C．②④ D．①③
【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行选择判断．
【解答】解：A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
B、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，属于基础题型，关键要记准平行四边形的判定方法．
29．如图，△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，△ABC的周长为128，则△CDF与△BDE的周长和为 128 ．
【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，得到对应边相等，再结合平行线判定三角形相似，推导△CDF与△BDE的周长和与△ABC周长的关系．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF＝AE，DE＝AF；
∵△CDF的周长为CF+FD+DC，△BDE的周长为BE+ED+DB，
∴△CDF与△BDE的周长和为（CF+FD+DC）+（BE+ED+DB）
＝（CF+DE）+（FD+BE）+（DC+DB）
＝（CF+AF）+（AE+BE）+（DC+DB）
＝AB+AC+BC
＝128，
故答案为：128．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边相等及平行线判定相似三角形的性质是解题的关键．
30．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当t＝ 4.8s或8s或9.6s 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
综上所述，4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
31．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4cm，则四边形DECF的周长是 8cm ．
【分析】求出BC，求出BF＝DF，CE＝AE，代入得出四边形DECF的周长等于BC+AC，代入求出即可
【解答】解：∵∠A＝∠B，
∴BC＝AC＝4cm，
∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝∠BDF，
∴DF＝BF，
同理AE＝DE，
∴四边形DECF的周长为：CF+DF+DE+CE＝CF+BF+AE+CE＝BC+AC＝4cm+4cm＝8cm，
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，关键是求出BF＝DF，DE＝AE．
32．如图，AC是 ABCD的对角线，点E、F在AC上，要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是AE＝CF （只要填写一种情况）．
【分析】由平行四边形的性质可得到GB＝GD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要GE＝GF即可，故添加的条件只要能证明GE＝GF即可．
【解答】解：需要增加的一个条件是AE＝CF（答案不唯一）；理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴GB＝GD，GA＝GC，
若AE＝CF，则AG﹣AE＝CG﹣CF，
即GE＝GF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE＝CF（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
33．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝10cm．动点M从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动．同时，动点N从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间t＝ s时，四边形AMND为平行四边形．
【分析】由题意可得AM＝tcm，DN＝（10﹣2t）cm，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解．
【解答】解：由题意得，AM＝tcm，DN＝（10﹣2t）cm，
∵AB∥CD，
∴当AM＝DN时，四边形AMND是平行四边形，
即t＝10﹣2t，
整理得，3t＝10，
解得，即当运动秒时，四边形AMND为平行四边形．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
34．点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有 3 个．
【分析】连接PR、PQ、QR，分别以PR、PQ、QR为对角线，作出以P、Q、R、M为顶点的平行四边形，可知符合条件的点M有3个，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，连接PR、PQ、QR，
若以PR为对角线，可作出 PQRM；
若以PQ为对角线，可作出 PRQM1；
若以QR为对角线，可作出 RPQM2，
∴符合条件的点M有3个，
故答案为：3．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．
35．如图，在 ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF⊥AE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BC，则∠DAE＝∠E，而∠DAE＝∠BAE，所以∠E＝∠BAE，则AB＝BE，即可证明BE＝CD；
（2）连接AC、DE，由AD∥BC，点E在BC的延长线上，得AD∥EC，∠D＝∠FCE，由AB＝BE，BF⊥AE，根据等腰三角形的“三线合一”得AF＝EF，而∠AFD＝∠EFC，即可根据“ASA”证明△AFD≌△EFC，得AD＝EC，即可证明四边形ACED是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E，
∵∠BAD的角平分线AE交BC的延长线于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠E＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD．
（2）连接AC、DE，
∵AD∥BC，点E在BC的延长线上，
∴AD∥EC，∠D＝∠FCE，
由（1）得AB＝BE，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF，
在△AFD和△EFC中，
，
∴△AFD≌△EFC（ASA），
∴AD＝EC，
∴四边形ACED是平行四边形．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠E＝∠BAE，进而证明AB＝BE是解题的关键．
36．已知 ABCD，点O为对角线AC的中点，过点O分别作直线EF，GH，直线EF交边AD、BC于点E、F，直线GH交边AB、CD于点G、H．求证：四边形EHFG为平行四边形．
【分析】由平行四边形得到OA＝OC，AD∥BC，∠DAO＝∠BCO，证明出△AOE≌△COF（ASA），得到OE＝OF，同理得到OG＝OH，即可证明四边形EHFG为平行四边形．
【解答】证明：已知 ABCD，点O为对角线AC的中点，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴同理可证，△AOG≌△COH，
∴OG＝OH，
∴四边形EHFG为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
37．已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AB、AC上的点，AF∥ED，且AF＝ED，延长FD到点G，使DG＝FD．求证：ED、AG互相平分．
【分析】设DE交AG于点H，由AF∥ED，且AF＝ED，证明四边形AEDF是平行四边形，则FD＝EA，FD∥EA，所以∠G＝∠HAE，而∠GHD＝∠AHE，DG＝FD，则DG＝EA，即可根据“AAS”证明△GHD≌△AHE，则GH＝AH，DH＝EH，所以ED、AG互相平分．
【解答】证明：设DE交AG于点H，
∵AF∥ED，且AF＝ED，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴FD＝EA，FD∥EA，
∴∠G＝∠HAE，
∵DG＝FD，
∴DG＝EA，
在△GHD和△AHE中，
，
∴△GHD≌△AHE（AAS），
∴GH＝AH，DH＝EH，
∴ED、AG互相平分．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明四边形AEDF是平行四边形是解题的关键．
38．在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
【分析】由题意先证∠DAE＝∠BCF＝60°，再由SAS证△DCF≌△BAE，继而题目得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF．
∠DAE＝∠BCF＝60°．
∵∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF，
∠BAE＝∠DAB﹣∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE．
∴△DCF≌△BAE（SAS）．
∴DF＝BE．
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
39．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC、BD相交于点O，E在边BC的延长线上，且OE＝OB，∠ADB＝∠OEB．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）联结DE，求证：DE⊥BE．
【分析】（1）根据等边对等角得出∠OBE＝∠OEB，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和证明证明OE＝OB＝OD可得结论．
【解答】证明：（1）∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠ADB＝∠OEB，
∴∠OBE＝∠ADB，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）联结DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OE＝OB，
∴OE＝OB＝OD，
∴∠DEB＝90°，
∴DE⊥BE．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
40．【阅读材料】
老师提出的问题： 同学们的方案：
如图，在平行四边形ABCD中，AD＜AB，∠A为锐角．在对角线BD上如何确定点E、F的位置，使四边形AECF为平行四边形？ 方案1：分别作AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，交BD于点E、F．
方案2：取BD的两个三等分点E、F．
方案3：在BD上任意取一点E，联结AE，再以C为圆心，AE长为半径画弧，交BD于点F．
【解决问题】
（1）写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图中画出图形，并说明理由；
（2）除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由．
【分析】（1）方案一：连接OC交BD于点O，证明△ADE和△CBF全等得DE＝BF，进而得OE＝OF，再根据OA＝OC即可判定四边形AECF是平行四边形；
方案二，连接OC交BD于点O，根据OD＝OBBD，DE＝EF＝BFBD得OE＝OFBD，再根据OA＝OC即可判定四边形AECF是平行四边形，
方案三：连接OC交BD于点O，根据AD＝CB，AE＝CF，∠ADE＝∠CBF，无法判定△ADE和△CBF全等，无法得到DE＝BF，故不能四边形AECF是平行四边形；
（2）过点A，C分别作BD的垂线，垂足分别为E，F，则四边形AECF是平行四边形（答案不唯一），证明△ADE和△CBF全等得DE＝BF，进而得OE＝OF，再根据OA＝OC即可判定四边形AECF是平行四边形．
【解答】解：（1）方案一、二正确，方案三不正确，理由如下：
方案一：连接OC交BD于点O，如图1①所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，OA＝OC，OD＝OB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE∠BAD，∠BCF∠BCD，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF，
∵OD＝OB，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
故方案一正确；
方案二，连接OC交BD于点O，如图1②所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OBBD，
∴点E，F是BD的两个三等分点，
∴DE＝EF＝BFBD，
∴OE＝OD﹣DEBDBDBD，OF＝OB﹣BFBDBDBD，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
方案三：连接OC交BD于点O，如图1③所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，OD＝OB，
∴∠ADE＝∠CBF，
依题意得：AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
AD＝CB，AE＝CF，∠ADE＝∠CBF，
不符合全等三角形的判定条件，无法证明DE＝BF，
故方案三不正确；
（2）有，过点A，C分别作BD的垂线，垂足分别为E，F，则四边形AECF是平行四边形（答案不唯一），理由如下：
连接OC交BD于点O，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，OD＝OB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF，
∵OD＝OB，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
1．平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝240°，∠A＝ 120° ．
【分析】根据平行四边形对角相等求解．
【解答】解：平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝240°，
∴∠A＝∠C，
∴∠A240°＝120°，
故答案为：120°．
【点评】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形对角相等．
2．已知 ABCD中，AC＝24，BD＝10，且AC⊥BD，则 ABCD的周长为 52 ．
【分析】根据题意推出四边形ABCD是菱形，由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．
【解答】解：如图，AC、BD交于点O，
∵平行四边形ABCD中，BD＝10，AC＝24，AC⊥BD，
∴OBBD＝5，OAAC＝12，四边形ABCD是菱形，
∴AB13，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝52，
故答案为：52．
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为 2 ．
【分析】由勾股定理求出AC＝2，由平行四边形的性质推出AOAC，BD＝2OB，求出OB，即可得到BD的长，于是得到答案．
【解答】解：如图， ABCD中，AC⊥AB，AB＝2，BC＝4，
∴∠BAC＝90°，
∴AC2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AOAC，BD＝2OB，
∵OB，
∴BD＝2OB＝2．
∴平行四边形的较长的对角线长为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，关键是由勾股定理求出OB的长．
4．已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF．
【分析】通过证明△AOE≌△COF，即可求证．
【解答】证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB+BE＝CD+DF，
∴AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
5．如图， ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
【分析】连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF．
即EO＝FO．
∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，要求对平行四边形的所有判定和性质都要掌握．
1．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形
B．一组对边相等一组对角是直角的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相平分的四边形
【分析】根据初中数学教材，平行四边形的判定包括：一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分等；选项A和D是标准判定条件，能判定平行四边形；选项B通过推导可知能判定；选项C对角线相等不能判定平行四边形，如等腰梯形．
【解答】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定，不符合题意；
B．一组对边相等且一组对角是直角的四边形：连接对角线，利用勾股定理可证另一组对边相等，从而判定平行四边形，能判定，不符合题意；
C．对角线相等的四边形不能判定平行四边形，如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形，不能判定，符合题意；
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形，能判定，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定条件，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC B．∠BAC＝∠ACD C．AB＝AD D．∠B＝∠D
【分析】由平行四边形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、AD＝BC，四边形ABCD有可能是等腰梯形，故A不符合题意；
B、由AB∥CD推出∠BAC∠ACD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故B不符合题意；
C、AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故C不符合题意；
D、由AB∥CD推出∠B+∠BCD＝180°，得到∠BCD+∠D＝180°，推出AD∥BC，判定四边形ABCD是平行四边形，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
3．在 ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AD＝7，BD＝10．则 ABCD的面积为 ．
【分析】过点A作AE⊥BD于E，设OE＝a，则OA＝2a，，在直角三角形ADE中，利用勾股定理可得DE2+AE2＝AD2，进而可求出a的值，由平行四边形的性质可知： ABCD的面积＝2S△ABD，即可求解．
【解答】解：过点A作AE⊥BD于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOE＝60°，
设OE＝a，则OA＝2a，，
∴DE＝5+a，
在直角三角形ADE中，由勾股定理可得DE2+AE2＝AD2，
∴，
解得：（负数已舍），
∴，
∴ ABCD的面积．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，含30°角直角三角形的性质，解题关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
4．已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是（ ）
①如果再加上条件BC＝AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件∠BAD＝∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件AO＝CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件∠DBA＝∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①④ B．①③④ C．②③ D．②③④
【分析】根据已知，结合题意，画出图形，再根据平行四边形的判定，逐一判断即可．
【解答】解：①当BC＝AD时，也可能是等腰梯形，故①错误；
②∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝180°
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
④当∠DBA＝∠CAB时，也可能是等腰梯形，故④错误．
故选：C．
【点评】平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：
1、四边形的两组对边分别平行；
2、一组对边平行且相等；
3、两组对边分别相等；
4、对角线互相平分；
5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．
5．如图，平行四边形ABCD的边长AB＝2，∠ABC＝60°，AF平分∠BAD，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为 ．
【分析】过点F作FH∥AB，交AD于点H，交DE于点O，根据平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质可得AB＝BF＝AF＝2，即FC＝1，AD＝BC＝3，证得△AND∽△FNB，可得，求得，再根据平行四边形的判定与性质可得HD＝FC＝1，HF＝CD＝2，证得△DHO∽△DAE，得，求得，即，证明△AME∽△FMO，可得，求得，即可求解．
【解答】解：过点F作FH∥AB，交AD于点H，交DE于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∵∠ABC＝60°，AF平分∠BAD，
∴∠ABF＝∠BAF＝∠FAD＝60°，
∴AB＝BF＝AF＝2，
∵BF＝2FC，
∴FC＝1，AD＝BC＝3，
∵AD∥BC，
∴△AND∽△FNB，
∴，
∴，
∴，
∵AB∥FH，AB∥CD，
∴FH∥CD，
∵DH∥FC，
∴四边形HFCD是平行四边形，
∴HD＝FC＝1，HF＝CD＝2，
∵点E是AB的中点，
∴，
∵AE∥OH，
∴△DHO∽△DAE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AE∥OF，
∴△AME∽△FMO，
∴，
∴，
∴，
∵AM+MF＝2，
∴，
∴，
∴MN＝AF﹣AM，
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）且t＞0，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值为 3.6或6或7.2 ．
【分析】当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝9cm，AD∥BC，
∴当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
①点Q的运动路线是C﹣B，
则9﹣4t＝9﹣t，
解得：t＝0，不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
则4t﹣9＝9﹣t，
解得：t＝3.6；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
则9﹣（4t﹣2×9）＝9﹣t，
解得：t＝6；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
则4t﹣3×9＝9﹣t，
解得：t＝7.2；
综上所述，t＝3.6或6或7.2时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：3.6或6或7.2．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质等知识，求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16cm，BC＝21cm，CD＝13cm．动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动．动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 2.5或 ．
【分析】分两种情形根据QD＝PC，构建方程求解．
【解答】解：由题意QD∥CP，当DQ＝PC时，点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，
则有16﹣t＝21﹣3t或16﹣t＝3t﹣21，
解得t＝2.5或．
故答案为：2.5或．
【点评】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定，解题的关键是理解题意正确构建方程求解．
8．如图，AB∥CD，E是直线CD上的一点，CE＝CD，连接AD，AE，BC，AE，BC交于点F，且点F是BC的中点，连接DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEF＝∠CFE，求证：DF⊥AE．
【分析】（1）证△ABF≌△ECF（ASA），得AB＝CE，再证AB＝CD，架空层四边形ABCD是平行四边形；
（2）证CF＝CE，再证CF＝CE＝CD，则CFDE，然后证△DFE是直角三角形，∠DFE＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠ECF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△ABF和△ECF中，
，
∴△ABF≌△ECF（ASA），
∴AB＝CE，
∵CE＝CD，
∴AB＝CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵∠CEF＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∵CE＝CD，
∴CF＝CE＝CD，
∴CFDE，
∴△DFE是直角三角形，∠DFE＝90°，
∴DF⊥AE．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及直角三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
9．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC＝AD，点E在边BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，联结DE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）当AC＝BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）证△ABC≌△AED（SAS），即可得到结论；
（2）证BC＝AD＝DE，则∠EAD＝∠AED，再证∠AEB＝∠B，则∠EAD＝∠AEB，得AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD．
在△ABC与△AED中，
．
∴△ABC≌△AED（SAS）．
∴BC＝DE；
（2）由（1）可知，△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠AED，BC＝DE，AC＝AD，
∵AC＝BC，
∴BC＝AD＝DE，
∴∠EAD＝∠AED，
∴∠B＝∠EAD，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题关键．
10．如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC上的一点，DA＝DB，点F是AB的中点，过点C作CE∥BD交FD的延长线于点E．
（1）求证：四边形CBDE是平行四边形；
（2）联结BE、AE，如果∠CBE＝45°，求证：AB＝3BC．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出DF⊥AB，进而得出EF∥BC，由平行四边形的判定则可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得出DFBC，得出EF＝DF+DEBC，由角平分线的定义证得BF＝EF，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵DA＝DB，
∴△ADB是等腰三角形，
∵点F是AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AFD＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∵EC∥DB，
∴四边形CBDE是平行四边形；
（2）∵DF⊥AB，点F是AB的中点，
∴EF垂直平分AB，
∴DFBC，
∵四边形CBDE是平行四边形，
∴BC＝DE，
∴EF＝DF+DEBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE＝45°，
∴∠FBE＝∠FEB＝45°，
∴BF＝EF，
∴BFBC，
∴AB＝2BF＝3BC．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DEBG，再证明AG＝AC，可得到BF（AB﹣AG）（AB﹣AC）．
【解答】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF（AB﹣AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DEBG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF（AB﹣AG）（AB﹣AC）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
第1页（共1页）第2讲平行四边形性质及判定
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
本节课主要针对第23章平行四边形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了平行四边形相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
1、概念总结
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形
平行四边形性质：对边相等且平行；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形
平行四边形判定方法：①两组对边分别平行的四边形；
②两组对边分别相等的四边形；
③一组对边平行且相等的四边形；
④对角线互相平分的四边形
2、典型例题分析
例题1：在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大60°，求各角度数。
解题思路：设∠B=x，则∠A=x+60，利用邻角互补：x+(x+60)=180，解得x=60，所以∠B=∠D=60°，∠A=∠C=120°。
例题2：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，AC+BD=30，CD=9，求△COD的周长。
解题思路：AO+BO= (AC+BD)=15，△COD周长=OC+OD+CD=15+9=24。
一．平行四边形性质（共24小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝9，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．以上都不对
2．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，，则BD的长是（ ）
A． B． C．8 D．12
3．在同一平面内，已知a∥b∥c，若直线a、b之间的距离为5cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（ ）
A．2cm或8cm B．2cm C．8cm D．不确定
4．如图，已知在平行四边形ABCD中，BC＝6，延长CD至E，使，连接BE，交AD于点F，则DF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2.5
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作 PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
6．设直线a、b、c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b的距离是7cm，b与c的距离是4cm，则a与c的距离是 cm．
7．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为 ．
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，连接AC．下列说法正确的是（ ）
A．AB＝AC B．CF＝BC
C．AC平分∠BCD D．△ABC是等边三角形
9．如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠D＝60°，点E是线段CD上一动点，F为线段AE上一点，连结BE，BF，若∠CEB＝∠AFB，则AF的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，且四边形EFCD的周长为12，则EF的长是 ．
11．如图， ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D＝65°，则∠BCE等于 ．
12．如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE．若AE＝4，DE＝3，DC＝5，则AC的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
13．如图，在 ABCD中，AC⊥BC，BC＝5，AC＝3，则CD的长为 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交AE于F，如AE＝AD，，，则CD的长为 ．
15．如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且F是CD的中点，DG⊥AE，垂足为G，如果DG＝1，那么AE的长是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形，求证：AC与DE互相垂直平分．
17．如图，在 ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G．
（1）求证：△AGD≌△CEB；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若平行四边形ABCD的周长为48，EF＝8，求 ABCD的面积．
18．如图， ABCD中，，BC＝8，∠ABC＝45°，点M为 ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝8，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 ．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果 ABCD的周长为32，△COD的周长比△BOC的周长多4，那么BC的长为 ．
20．四边形ABCD是一个平行四边形，BE长是BC的长的，若S1、S2、S3、S分别表示△ABE、△CDE、△ADE和平行四边形ABCD的面积，求S1：S2：S3：S＝ ．
21．如图，已知平行四边形中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝6，E为AB的中点，DE⊥AB，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．
22．如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
（1）求证：E为CD的中点；
（2）如果点F为AE的中点，联结CF交BE于点G．写出BG与EG满足的数量关系，并说明理由．
23．平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，联结AF、BE交于点G，联结CE、DF交于点H，四边形EGFH是矩形．
（1）如图1，联结GH，如果GH∥AD，求证：①AE＝ED；②AD＝2AB；
（2）如图2，若AE＝CF＝a，BF＝DE＝b，且a＜b，又EF＝AB，用含a、b的代数式表示AB的长．请直接写出结果：AB＝ ．
24．如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）当∠ABC＝90°时，G是EF的中点，联结DB，DG（如图2），请直接写出∠BDG的度数
（2）当∠ABC＝120°时，FG∥CE，且FG＝CE，分别联结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
二．平行四边形判定（共16小题）
25．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD
26．如图在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD成为平行四边形的条件是（ ）
A．∠DAB＝∠ADC B．AD＝BC C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAD＝∠BCD
27．如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是
28．点A、B、C、D在同一平面内，若从①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（ ）
A．①② B．①④ C．②④ D．①③
29．如图，△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，△ABC的周长为128，则△CDF与△BDE的周长和为 ．
30．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．在运动以后，当t＝ 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
31．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4cm，则四边形DECF的周长是 ．
32．如图，AC是 ABCD的对角线，点E、F在AC上，要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只要填写一种情况）．
33．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝10cm．动点M从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动．同时，动点N从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间t＝ s时，四边形AMND为平行四边形．
34．点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有 个．
35．如图，在 ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF⊥AE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
36．已知 ABCD，点O为对角线AC的中点，过点O分别作直线EF，GH，直线EF交边AD、BC于点E、F，直线GH交边AB、CD于点G、H．求证：四边形EHFG为平行四边形．
37．已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AB、AC上的点，AF∥ED，且AF＝ED，延长FD到点G，使DG＝FD．求证：ED、AG互相平分．
38．在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
39．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC、BD相交于点O，E在边BC的延长线上，且OE＝OB，∠ADB＝∠OEB．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）联结DE，求证：DE⊥BE．
40．【阅读材料】
老师提出的问题： 同学们的方案：
如图，在平行四边形ABCD中，AD＜AB，∠A为锐角．在对角线BD上如何确定点E、F的位置，使四边形AECF为平行四边形？ 方案1：分别作AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，交BD于点E、F．
方案2：取BD的两个三等分点E、F．
方案3：在BD上任意取一点E，联结AE，再以C为圆心，AE长为半径画弧，交BD于点F．
【解决问题】
（1）写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图中画出图形，并说明理由；
（2）除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由．
1．平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝240°，∠A＝ ．
2．已知 ABCD中，AC＝24，BD＝10，且AC⊥BD，则 ABCD的周长为 ．
3．我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为 ．
4．已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF．
5．如图， ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
1．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形
B．一组对边相等一组对角是直角的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相平分的四边形
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC B．∠BAC＝∠ACD C．AB＝AD D．∠B＝∠D
3．在 ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AD＝7，BD＝10．则 ABCD的面积为 ．
4．已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是（ ）
①如果再加上条件BC＝AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②如果再加上条件∠BAD＝∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件AO＝CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④如果再加上条件∠DBA＝∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①④ B．①③④ C．②③ D．②③④
5．如图，平行四边形ABCD的边长AB＝2，∠ABC＝60°，AF平分∠BAD，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为 ．
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）且t＞0，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值为 ．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16cm，BC＝21cm，CD＝13cm．动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动．动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 ．
8．如图，AB∥CD，E是直线CD上的一点，CE＝CD，连接AD，AE，BC，AE，BC交于点F，且点F是BC的中点，连接DF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEF＝∠CFE，求证：DF⊥AE．
9．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC＝AD，点E在边BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，联结DE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）当AC＝BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
10．如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC上的一点，DA＝DB，点F是AB的中点，过点C作CE∥BD交FD的延长线于点E．
（1）求证：四边形CBDE是平行四边形；
（2）联结BE、AE，如果∠CBE＝45°，求证：AB＝3BC．
11．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
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