（进阶篇）2025-2026学年下学期小学数学北师大版五年级第二单元长方体（一）练习卷（含解析）

（进阶篇）2025-2026学年下学期小学数学北师大版五年级第二单元练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．长方体的六个面中，相对的面（ ）。
A．一定相等 B．一定不相等 C．可能相等 D．无法确定
2．给一个正方体的饼干盒的侧面贴上商标，实际是求正方体（ ）个面的面积之和。
A．3 B．4 C．5
3．有一个长26厘米、宽18.5厘米、高0.7厘米的物体，它最有可能是（ ）。
A．皮鞋盒 B．数学课本 C．沙发床 D．牛奶盒
4．下图为正方体展开图，折叠正方体后，与“我”字相对的是“（ ）”字。
A．爱 B．家 C．乡 D．远
5．用棱长为1厘米的小正方体拼成一个大长方体（如图）、拿走两个小正方体，剩下部分的表面积与原长方体相比，表面积增加最多的是（ ）。
A．拿走①② B．拿走②③ C．拿走③⑤
6．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积就扩大到原来的（ ）倍。
A．2 B．8 C．4
7．将四个长10cm，宽6cm，高4cm的长方体盒子用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（ ）。
A． B． C．
8．在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，（ ）。
A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法判断
9．如图，用棱长为1厘米的正方体像下图这样摆放下去。n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．6n B．4（n＋2） C．5n＋1 D．4n＋2
二、填空题
10．如图，这个长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。
11．一个长方体的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米。
12．一个正方体的棱长总和是72cm，它的棱长是 cm。
13．如图，将4个棱长为6cm的小正方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积会比原小正方体的表面积之和( )（填“增加”或“减少”）( )cm2。
14．一个无盖长方体盒子的长是18厘米、宽是5厘米、高是9厘米，制作这个长方体盒子的框架至少需要( )厘米长的铁丝，覆盖四周和底面至少需要( )平方厘米的纸板。（接头处忽略不计）
15．探索发现规律。
小正方体个数 1 2 3 4 5 6 … n
露在外面的面/个 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
如果每个小正方体的棱长是1厘米，那么，60个小正方体按图中方式摆放，所有露在外面的面的总面积是（ ）平方厘米。
16．如图是同样大小的小方块堆积在墙角，每个小方块的棱长是1分米，这堆小方块露在外面的面积是( )平方分米。
三、判断题
17．做一个棱长为1m的无盖正方体铁箱，至少需要铁皮6。( )
18．长方体的展开图中，只有长方形，不可能出现正方形。( )
19．三个相同的正方体排成一列放在墙角，有7个面露在外面。( )
20．正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大9倍。( )
21．一个长方体（不包含正方体）最多有8条棱相等。( )
22．三角形、平行四边形和长方体都是平面图形。( )
四、计算题
23．计算下面图形的表面积。
24．下图的纸板可以折成一个长方体纸盒（单位：厘米），这个长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？
五、解答题
25．只列综合算式，不计算。
一个长方体，从一个顶点引出的三条棱长度分别是4分米、5分米、3分米。这个长方体的棱长总和是多少分米？
列式：
26．中国是茶的故乡，饮茶始于中国。张伯伯买了一提信阳毛尖，装茶的手提袋长25厘米，宽12厘米，高32厘米。做这样一个手提袋至少需要多少平方厘米的纸？

27．有一种长方体包装箱，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。用这种包装箱装长5厘米、宽4厘米、高3厘米的首饰盒，要想装得最多，第一层装多少盒？第二层装多少盒？
28．下图是田径运动会的领奖台示意图。它是由4个棱长为0.6米的正方体拼成的。如果把领奖台的表面包上一层红布（底面不包），至少需要红布多少平方米？

29．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？
《（进阶篇）2025-2026学年下学期小学数学北师大版五年级第二单元练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A B B D C C C C D
1．A
【分析】长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）。长方体相对的面，指的是上下相对、左右相对、前后相对的面。从长方体的定义来看，它是由六个长方形（特殊情况有两个正方形）围成的立体图形，相对的面是完全平行且形状、大小一样的。
【详解】由分析可知：
长方体相对的面是完全平行且形状、大小一样的。比如一个普通的长方体盒子，上面和下面的形状、大小完全相同，前面和后面、左面和右面也是如此。
故答案为：A
2．B
【分析】给这个饼干盒的侧面贴上商标纸，也就是求这个正方体的前后、左右4个面的面积，据此解答即可。
【详解】给一个正方体的饼干盒的侧面贴上商标，实际是求正方体4个面的面积之和。
故答案为：B
【点睛】理解侧面的含义，正方体的侧面是指前后左右4个面。
3．B
【分析】根据生活经验、数据大小及对长度单位的认识，结合长方体的特征可知，皮鞋盒、沙发床、牛奶盒不可能是长26厘米、宽18.5厘米、高0.7厘米的长方体，据此选择。
【详解】A．皮鞋盒的高约十几厘米，不可能是0.7厘米，所以这个物体不可能是皮鞋盒；
B．数学课本的长约二十几厘米，宽约十几厘米，高约在1厘米以下，与物体的尺寸较为相符，所以这个物体可能是数学课本；
C．沙发床的长约190厘米，宽约90厘米，高约几十厘米，比物体的尺寸大很多，所以这个物体不可能是沙发床；
D．牛奶盒的高约几厘米到十几厘米，不可能是0.7厘米，所以这个物体不可能是牛奶盒。
故答案为：B
4．D
【分析】正方体展开图中，相对的面在折叠后不相邻，且中间相隔一个面。观察展开图，“爱”字所在的面与“乡”字所在的面相对，“家”字所在的面与“清”字所在的面相对，“我”字所在的面与“远”字所在的面相对。
【详解】观察展开图，“我”字所在的面与“远”字所在的面，在折叠成正方体后是相对的面。
所以与“我”字相对的是“远”字。
故答案为：D
5．C
【分析】根据选项分析，看拿走两个小正方体，减少的面和增加的面比较，增加部分的面积是露出部分的面积，找出比较完后增加最多的即可；
拿走①②，会减少5个小正方形的面，同时又增加5个小正方形的面，表面积不变；
拿走②③，则会减少4个小正方形的面积，同时增加6个小正方形的面积，相当于增加了2个小正方形的面积；
拿走③⑤，会减少3个小正方形的面积，同时增加7个小正方形的面积，相当于增加了4个小正方形的面积，据此即可选择。
【详解】由分析可知：
拿走③⑤表面积增加的最多。
故答案为：C
6．C
【分析】根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，再根据乘数与积的变化规律，积扩大的倍数等于乘数扩大倍数的乘积，据此解答即可。
【详解】2×2＝4
即一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积就扩大到原来的4倍。
故答案为：C
【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的表面积公式、乘数与积的变化规律及应用。
7．C
【分析】要想更省包装纸，需使表面积最小，由题意可知：只要求出哪种情况下，拼组后的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。据此解答即可。
【详解】A．表面积减少了：
（10×4＋6×4）×4
＝（40＋24）×4
＝64×4
＝256（cm2）
B．表面积减少了：
（10×6＋6×4）×4
＝（60＋24）×4
＝84×4
＝336（cm2）
C．表面积减少了：
10×6×6
＝60×6
＝360（cm2）
360＞336＞256
最省包装纸的方法是选项C
故答案为：C
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。明确：要使拼组后的表面积最小，则把最大的面相粘合。
8．C
【分析】原来大正方体的表面积需要计算小长方体上面、正面、右面的面积，挖掉小长方体后剩下物体的表面积需要计算小长方体下面、后面、左面的面积，其余部分面积不变，小长方体相对的面完全相同，则表面积不变；据此选择。
【详解】由分析可得：在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，不变。
故答案为：C
9．D
【分析】确定长方体长、宽、高，代入长方体表面积公式，表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）。
第一幅图：长1厘米，宽1厘米，高1厘米；
第二幅图：长2厘米，宽1厘米，高1厘米；
第三幅图：长3厘米，宽1厘米，高1厘米；
第四幅图：长4厘米，宽1厘米，高1厘米；
……
第n幅图：长n厘米，宽1厘米，高1厘米。
所以n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的表面积S＝2×（n×1＋n×1＋1×1）。
【详解】n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的长n厘米，宽1厘米，高1厘米。
S＝2×（n×1＋n×1＋1×1）
＝2×（n＋n＋1）
＝2×（2n＋1）
＝（4n＋2）平方厘米
故答案为：D
10． 10 5 3
【分析】长方体每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。如下图所示。
【详解】这个长方体的长是10cm，宽是5cm，高是3cm。
【点睛】掌握长方形棱的特点是解题的关键。
11．236
【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求解。
【详解】（8×6＋8×5＋6×5）×2
＝（48＋40＋30）×2
＝118×2
＝236（平方厘米）
这个长方体的表面积是236平方厘米。
12．6
【分析】正方体的棱长之和＝棱长×12，则正方体的棱长＝棱长之和÷12，把题目中的数据代入公式计算，即可求得。
【详解】72÷12＝6（cm）
所以，它的棱长是6cm。
13． 减少 216
【分析】看图可知，将4个小正方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积会比原小正方体的表面积之和减少了6个正方形的面，减少的面积＝正方体棱长×棱长×6，据此分析。
【详解】6×6×6＝216（cm2）
大长方体的表面积会比原小正方体的表面积之和减少216cm2。
14． 128 504
【分析】求长方体框架所需铁丝长度，就是求长方体的棱长总和，根据公式：长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可解答；对于覆盖四周和底面的纸板面积，就是求无盖长方体的表面积。先根据公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方形的面积＝长×宽，求出长方体的表面积和上面的面积，最后用长方体的表面积减去上面的面积，即可求出覆盖四周和底面至少需要多少平方厘米的纸板。
【详解】（18＋5＋9）×4
＝32×4
＝128（厘米）
（18×5＋18×9＋5×9）×2－18×5
＝（90＋162＋45）×2－18×5
＝297×2－18×5
＝594－90
＝504（平方厘米）
即制作这个长方体盒子的框架至少需要128厘米长的铁丝，覆盖四周和底面至少需要504平方厘米的纸板。
15．表见详解；182
【分析】正方体的1个面的面积：1×1＝1平方厘米；观察图形可知，一个正方体有5个面露在外面，面积：1×5＝5，可以写成：5＋3×（1－1）；
二个正方体有8个面露在外面，面积：1×8＝8平方厘米，可以写成：5＋3×（2－1）；
三个正方体露有11个面露在外面，面积：1×11＝平方厘米，可以写成：5＋3×（3－1）；
……
由此可知，n个正方体露在外面的面的面积＝5＋3×（n－1）＝3n＋2，据此进行解答。
【详解】5＋3×（60－1）
＝5＋3×59
＝5＋177
＝182（平方厘米）
小正方体个数 1 2 3 4 5 6 … n
露在外面的面 5 8 11 14 17 20 … 5＋3×（n－1）
如果每个小正方体的棱长是1厘米，那么，60个小正方体按图中方式摆放，所有露在外面的面的总面积是182平方厘米。
【点睛】解答本题的关键是找出露在外面的面积与图几的规律，利用它们之间的规律进行解答。
16．13
【分析】从前面看有4个面露在外面，从上面看有5个面露在外面，从右面看有4个面露在外面，一共有4＋5＋4＝13个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面面的个数，即可解答。
【详解】4＋5＋4
＝9＋4
＝13（个）
1×1×13
＝1×13
＝13（平方分米）
如图是同样大小的小方块堆积在墙角，每个小方块的棱长是1分米，这堆小方块露在外面的面积是13平方分米。
【点睛】解答本题的关键是数清楚露在外面面的个数。
17．×
【分析】无盖的正方体铁箱缺少一个面，因此只有5个面。每个面为边长1m的正方形，面积为1m 。总表面积为5个面的面积之和，即5×1m ＝5m 。题干中“至少需要铁皮6m ”与计算结果不符，故说法错误。
【详解】无盖正方体铁箱有5个面。
每个面的面积：1 × 1 ＝ 1（m2）
总需要铁皮面积：5 × 1 ＝ 5（m2）
则至少需要铁皮5m2，题干上是至少需要6m2，说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】长方体有6个面，其中有两个相对的面可能是正方形，据此解答。
【详解】当长方体有两个相对的面是正方形时，它的展开图中会有两个正方形。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握特殊的长方体的特征是解题的关键。
19．√
【分析】正方体在墙角且排成一列时的遮挡情况。墙角有两个垂直墙面和一个地面，第一个正方体有三个面与墙面或地面接触而被遮挡，其他正方体有较少的面与墙面或地面接触，但相邻正方体接触导致额外遮挡，由此即可判定。
【详解】三个相同的正方体排成一列放在墙角。
2＋2＋3＝7（个），一共有7个面露在外面。
故答案为：√
20．√
【分析】设扩大前的正方体的棱长是1，扩大后的棱长是3，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，分别求出扩大前的表面积和扩大后的表面积，再用扩大后的表面积除以扩大前的表面积，即可解答。
【详解】设扩大前正方体棱长为1，则扩大后的正方体棱长为3。
（3×3×6）÷（1×1×6）
＝（9×6）÷（1×6）
＝54÷6
＝9
正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大9倍。
原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】熟练掌握正方体表面积公式是解答本题的关键。
21．√
【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。所以当长方体有2个面是相等的正方形，此时就有8条棱相等。
【详解】一个长方体（不包含正方体）最多有8条棱相等。原题说法正确。
故答案为：√
22．×
【分析】平面图形是指所有点都在同一平面内的图形，三角形和平行四边形的所有点都在同一平面内，属于平面图形；长方体是由六个长方形面围成的立体图形，不属于平面图形。
【详解】三角形和平行四边形是平面图形，长方体是立体图形。
因此，三角形、平行四边形和长方体都是平面图形的说法错误。
故答案为：×
23．94cm2；150dm2
【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。
【详解】（5×3＋5×4＋3×4）×2
＝（15＋20＋12）×2
＝47×2
＝94（cm2）
5×5×6＝150（dm2）
24．184平方厘米
【分析】观察长方体的展开图可知，这个长方体纸盒有6个面，长是14－2－2＝10（厘米），宽6厘米，高2厘米。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算。
【详解】14－2－2＝10（厘米）
（10×6＋10×2＋6×2）×2
＝（60＋20＋12）×2
＝92×2
＝184（平方厘米）
则这个长方体纸盒的表面积是184平方厘米。
25．（4＋5＋3）×4
【分析】长方体有12条棱，可分为3组，每组4条棱长度相等，从一个顶点引出的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。因为长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，题目中给出从一个顶点引出的三条棱长度（即长、宽、高）分别是4分米、5分米、3分米。把数据代入公式即可。
【详解】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长4分米、宽5分米、高3分米。
（4＋5＋3）×4
＝12×4
＝48（分米）
答：这个长方体的棱长总和是48分米。
26．2668平方厘米
【分析】根据题意可知：这样的一个手提袋是无盖的，所以只求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式求出它的一个底面和4个侧面的总面积即可。
【详解】25×12＋（25×32＋12×32）×2
＝300＋（800＋384）×2
＝300＋（800＋384）×2
＝300＋1184×2
＝300＋2368
＝2668（平方厘米）
答：至少需要2668平方厘米的纸板。
【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
27．24盒；32盒
【分析】要使装的首饰盒最多，应让首饰盒的长、宽、高尽可能与包装箱的长、宽、高匹配。将首饰盒按长5厘米、宽4厘米的面为底面放置在包装箱第一层。沿包装箱的长摆放：40÷5＝8（盒）。沿包装箱的宽摆放：12÷4＝3（盒）。则第一层能装的首饰盒数量为：8×3＝24（盒）。此时包装箱剩余的高度为7－3＝4厘米，将首饰盒按长5厘米、高3厘米的面为底面放置在第二层。沿包装箱的长摆放：40÷5＝8（盒）。沿包装箱的宽摆放：12÷3＝4（盒）。则第二层能装的首饰盒数量为：8×4＝32（盒）。
【详解】第一层：40÷5＝8（盒）
12÷4＝3（盒）
8×3＝24（盒）
第二层：40÷5＝8（盒）
12÷3＝4（盒）
8×4＝32（盒）
答：第一层装24盒，第二层装32盒
28．4.32平方米
【分析】通过图可知，这个领奖台的长是0.6×2＝1.2（米），宽是0.6×2＝1.2（米），高是0.6米，由于底面不包，根据长方体的5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。
【详解】由分析可知：
长：0.6×2＝1.2（米）
宽：0.6×2＝1.2（米）
1.2×1.2＋（1.2×0.6＋1.2×0.6）×2
＝1.44＋（0.72＋0.72）×2
＝1.44＋1.44×2
＝1.44＋2.88
＝4.32（平方米）
答：至少需要红布4.32平方米。
【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式，熟练掌握长方体的表面积公式并灵活运用。
29．最小22厘米；最大34厘米
【分析】如图1所示，要使周长最小，尽量剪开高与宽，剪1条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），4条高1厘米（绿色），那么周长最小是（3×1＋2×2＋1×4）×2厘米；
如图2所示，要使周长最大，尽量剪开长与宽，剪4条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），1条高1厘米（绿色），那么周长最大是（3×4＋2×2＋1×1）×2厘米。
【详解】
周长最小：
（3×1＋2×2＋1×4）×2
＝（3＋4＋4）×2
＝11×2
＝22（厘米）
周长最大：
（3×4＋2×2＋1×1）×2
＝（12＋4＋1）×2
＝17×2
＝34（厘米）
答：这个平面图形的周长最小是22厘米，最大是34厘米。
【点睛】把长方体纸盒剪开后展开，需剪开它的七条棱才可能展开成平面图。关键看剪的方法，要是平面图周长最小，剪开的7条棱的长度要尽量小；要使平面图周长最大，剪开的7条棱的长度就要尽量的大。
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