（培优篇）2025-2026学年下学期小学数学北师大版五年级第二单元练习卷（含答案解析）
文档属性
| 名称 | （培优篇）2025-2026学年下学期小学数学北师大版五年级第二单元练习卷（含答案解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 557.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-02 00:00:00 | ||
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文档简介
（培优篇）2025-2026学年下学期小学数学北师大版五年级第二单元练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．长方体的六个面中，相对的面（ ）。
A．一定相等 B．一定不相等 C．可能相等 D．无法确定
2．下面四个图形中，经过折叠能围成下边正方体纸盒的是（ ）。
A． B． C． D．
3．如图，用棱长1cm的小正方体拼成大正方体后，在它的表面涂上颜色。一面涂色的小正方体有（ ）个。
A．4 B．8 C．24 D．32
4．将4个同样的正方体拼成一个长方体，4个正方体表面积之和与长方体的表面积比较，表面积（ ）。
A．不变 B．减少 C．增加 D．无法比较
5．将四个长10cm，宽7cm，高3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（ ）。
A． B．
C． D．
6．下面小棒不能搭成一个长方体框架的一组是（ ）。
A． B．
C． D．
7．淘气把一个棱长为3分米的正方体切成3个完全一样的长方体，表面积增加了（ ）平方分米。
A．54 B．36 C．18 D．9
8．如图，用棱长为1厘米的正方体像下图这样摆放下去。n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．6n B．4（n＋2） C．5n＋1 D．4n＋2
二、填空题
9．下列四幅图中，是正方体展开图的是第( )幅图。
（1） （2） （3） （4）
10．把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加( )cm2。
11．如图，把5个棱长为4厘米的正方体放在墙角处，有( )个面露在外面。露在外面的面积是( )平方厘米。
12．一个游泳池长50m，宽25m，深2m，在池内四壁及池底贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是( )平方米。
13．一个长方体的无盖鱼缸，从前面和上面看，看到的都是一个长35cm、宽20cm的长方形，制作这样一个无盖的鱼缸至少需要( )cm2的玻璃。
14．一个正方体的六个面上各有一个数字，分别是1、2、3、4、5、6。观察下图，与2相对的面是( )。
15．有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。
(1)占地面积最大的是第( )种摆法，占地面积是( )。
(2)露在外面的面积最小的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )。
16．一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，求原来长方体的长( )厘米
三、判断题
17．长方体的展开图中，只有长方形，不可能出现正方形。( )
18．把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了3。( )
19．4个小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面有8个。( )
20．若一个正方体的棱长之和是12厘米，则这个正方体的表面积是6平方厘米。( )
四、计算题
21．计算下面图形的表面积。（单位：cm）
22．求下面立体图形的表面积。（单位：分米）
五、解答题
23．用铁皮做一节长30米的长方体通风管，管道口是边长1分米的正方形，做20节这样的通风管道至少需要多少平方米的铁皮？
24．收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？
25．端午节，笑笑妈妈准备将自己做的4盒绿豆糕包装在一起送给邻居。每盒绿豆糕长为12厘米、宽为10厘米、高为6厘米。怎样包装最节省包装纸？至少需要包装纸多少平方厘米？（接口处不计）
26．先把一个长方体表面涂色，再按如图所示的方式平均截成2段，没有涂色的面有几个？这几个面的面积和是多少？想一想，截成的两个小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积相比有什么变化？如果把这个长方体平均截成3段、4段、5段，那么截成的小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积相比会有什么变化？截成n段呢？请将下表补充完整。
平均截成的段数 2 3 4 5 … n
表面积的变化（填“增加”或“减少”） …
面增减的个数 …
27．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？
《（培优篇）2025-2026学年下学期小学数学北师大版五年级第二单元练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C C B A B D
1．A
【分析】长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）。长方体相对的面，指的是上下相对、左右相对、前后相对的面。从长方体的定义来看，它是由六个长方形（特殊情况有两个正方形）围成的立体图形，相对的面是完全平行且形状、大小一样的。
【详解】由分析可知：
长方体相对的面是完全平行且形状、大小一样的。比如一个普通的长方体盒子，上面和下面的形状、大小完全相同，前面和后面、左面和右面也是如此。
故答案为：A
2．B
【分析】从正方体的纸盒上面的图形可以看成，三个图形不应该是对面。且三角形的一个角对着圆形，据此解答即可。
【详解】A．三角形和正方形成了对面
B．正好是这三个面
C．三角形和正方形成了对面
D．三角形和圆形成了对面
故答案为：B
3．C
【分析】从图中可以看出，大正方体是由棱长为1cm的小正方体拼成的，且大正方体的每条棱上有4个小正方体（因为能看到4层），所以大正方体的棱长为4cm。
一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间部分（不包括棱上和顶点处的小正方体）。对于大正方体的一个面，其边长为4个小正方体的棱长，那么每个面中一面涂色的小正方体组成的是一个边长为（4－2）的正方形（因为要去掉每条边两端的小正方体，这些小正方体是两面或三面涂色的）。所以每个面中一面涂色的小正方体数量为（4－2）×（4－2）＝2×2＝4个。因为大正方体有6个面，每个面有4个一面涂色的小正方体，所以用4×6即可得到一面涂色的小正方体总数。
【详解】（4－2）×（4－2）
＝2×2
＝4（个）
4×6＝24（个）
一面涂色的小正方体有24个。
故答案为：C
4．C
【分析】一个立体图形的全部表面的面积的和叫做这个立体图形的表面积；将4个同样的正方体拼成一个长方体，有面被遮挡的情况，那么新长方体的表面积就减少了，所以4个正方体表面积之和与长方体的表面积比较，表面积增加了。
【详解】由分析可知：
4个正方体拼成长方体，有面被遮挡，那么新长方体的表面积就减少了，所以4个正方体表面积之和与长方体的表面积比较，表面积增加了。
故答案为：C.
【点睛】本题考查正方体和长方体的表面积，注意：只要拼接就会有面被遮挡，即表面积较原来减少了。
5．B
【分析】要想最省包装纸，应是表面积最小的那一个，依据长方体表面积计算公式：长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），逐一计算他们的表面积进行比较即可。
【详解】
A. 长：10×2＝20（厘米），宽：7×2＝14（厘米），高：2厘米
S＝2×（20×14＋20×2＋14×2）
＝2×（280＋40＋28）
＝2×348
＝696（平方厘米）
B. 长：10厘米，宽：7厘米，高：2×4＝8（厘米）
S＝2×（10×7＋10×8＋7×8）
＝2×（70＋80＋56）
＝2×206
＝412（平方厘米）
C. 长：10×2＝20（厘米），宽：7厘米，高：2×2＝4（厘米）
S＝2×（20×7＋10×4＋7×4）
＝2×（140＋40＋28）
＝2×208
＝416（平方厘米）
D. 长：10×2＝20（厘米），宽：7×2＝14（厘米），高：2×2＝4（厘米）
S＝2×（20×14＋20×4＋14×4）
＝2×（280＋80＋56）
＝2×416
＝832（平方厘米）
832＞696＞416＞412，即D＞A＞C＞B，
最省包装纸的应是表面积最小的那一个。
故答案为：B
6．A
【分析】长方体有12条棱，分为3组，每组4条棱，且每组中的4条棱长度相等。当长和宽、长和高或宽和高相等时，则只需2组，其中有8条棱长度相等。要判断小棒能否搭成长方体框架，需看是否有3组，每组有4根且长度相等；或2组小棒，是8根和4根且长度相等。
【详解】A．有2组小棒，每组数量有6根，不能搭成长方体框架。
B．有2组小棒，其中短的1组有8根长度相等，长的1组有4根，共8＋4＝12（根），可搭成长方体框架。
C．有3组小棒，每组数量有4根且长度相等，共4×3＝12（根），可搭成长方体框架。
D．有2组小棒，其中长的1组有8根长度相等，短的1组有4根，共8＋4＝12（根），可搭成长方体框架。
所以不能搭成一个长方体框架的一组是选项A中的小棒。
故答案为：A
7．B
【分析】由题意可知，把一个棱长为3分米的正方体切成3个完全一样的长方体需要切2刀，切1刀增加2个切面的面积，切2刀增加4个切面的面积，切面是边长为3分米的正方形，根据“正方形的面积＝边长×边长”求出增加的表面积，据此解答。
【详解】分析可知，把一个棱长为3分米的正方体切成3个完全一样的长方体会增加2×2＝4个切面的面积。
3×3×4
＝9×4
＝36（平方分米）
所以，表面积增加了36平方分米。
故答案为：B
8．D
【分析】确定长方体长、宽、高，代入长方体表面积公式，表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）。
第一幅图：长1厘米，宽1厘米，高1厘米；
第二幅图：长2厘米，宽1厘米，高1厘米；
第三幅图：长3厘米，宽1厘米，高1厘米；
第四幅图：长4厘米，宽1厘米，高1厘米；
……
第n幅图：长n厘米，宽1厘米，高1厘米。
所以n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的表面积S＝2×（n×1＋n×1＋1×1）。
【详解】n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的长n厘米，宽1厘米，高1厘米。
S＝2×（n×1＋n×1＋1×1）
＝2×（n＋n＋1）
＝2×（2n＋1）
＝（4n＋2）平方厘米
故答案为：D
9．4
【分析】正方体展开图共有11种，如下图所示：
【详解】由分析可知：第（1）（2）（3） 幅图不是正方体展开图，第（4）幅图是正方体展开图。
10．144
【分析】根据长方体的特征，其总共有3种不同大小的面，分别是9cm×8cm的面，9cm×6cm的面，8cm×6cm的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体，沿着3种不同的面平行切就有3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。
【详解】由分析可得：
9×8×2
＝72×2
＝144（cm2）
综上所述：把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加144 cm2。
【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最大，就沿着最大的面平行进行切割。
11． 11 176
【分析】观察图形可知，从正面看到4个面，从上面看到3个面，从右面看到4个面，则露在外面的面一共有（4＋3＋4）个；根据正方体的特征可知，每个面是边长为4厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。
【详解】4＋3＋4＝11（个）
4×4×11
＝16×11
＝176（平方厘米）
有11个面露在外面，露在外面的面积是176平方厘米。
12．1550
【分析】求贴瓷砖的面积，就是求这个长方体游泳池5个面的面积和，根据长方体的表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】50×25＋（50×2＋25×2）×2
＝1250＋（100＋50）×2
＝1250＋150×2
＝1250＋300
＝1550（平方米）
一个游泳池长50m，宽25m，深2m，在池内四壁及池底贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是1550平方米。
【点睛】熟练掌握长方体的表面积公式是解答本题的关键。
13．2900
【分析】由题意可知，这个长方体的长是长35cm，宽20cm，高20cm，由于这个鱼缸无盖，所以上面的长方形不用算，即，代入数据计算即可。
【详解】35×20＋35×20×2＋20×20×2
＝700＋1400＋800
＝2900（平方厘米）
制作这样一个无盖的鱼缸至少需要2900平方厘米的玻璃。
14．6
【分析】通过观察正方体不同角度的展示图，找出与数字2相邻的数字，进而确定与2相对的数字。
【详解】通过观察第二、三个图可以发现，数字1、3、4、5都是与数字6相邻，因为正方体每个面有4个相邻面，剩下的那个就是相对面，所以数字6的对面只能是数字2，因此与2相对的面是6。
15．(1) 一 8
(2) 三 12
【分析】（1）占地面积即为底面积，边长为1米的正方形的面积为1平方米，第一种摆法的底面为8个正方形 ，那么占地面积为8平方米；第二种摆法的底面为4个正方形 ，那么占地面积为4平方米；第三种摆法的底面为4个正方形 ，那么占地面积为4平方米；第四种摆法的底面为6个正方形 ，那么占地面积为6平方米；据此解答。
（2）因为边长为1米的正方形的面积为1平方米，第一种摆法把它整体看成一个大长方体，上面有8个面露在外面，前面有8个面露在外面，右面有1个面露在外面，即2×8＋1＝17（平方米）；第二种摆法：把它整体看成一个大长方体，上面有4个正方形露在外面，前面有8个正方形露在外面，右面有2个正方形露在外面，即4＋8＋2＝14（平方米）；第三种摆法：把它整体看成一个大正方体，上面、前面、右面各有4个面露在外面，即3×4＝12（平方米）；第四种摆法：这个图形上面有6个正方形露在外面，前面有5个正方形露在外面，右面有5个正方形露在外面，即5×2＋6＝16（平方米）；再比较大小即可求解。
【详解】（1）8×1＝8（平方米）
4×1＝4（平方米）
4×1＝4（平方米）
6×1＝6（平方米）
因为8＞6＞4，所以占地面积最大的是第一种摆法，占地面积是8。
（2）2×8＋1
＝16＋1
＝17（平方米）
4＋8＋2
＝12＋2
＝14（平方米）
3×4＝12（平方米）
5×2＋6
＝10＋6
＝16（平方米）
因为12＜14＜16＜17，所以露在外面的面积最小的是第三种摆法，这种摆法露在外面的面积是12。
【点睛】本题考查正方体露在外面的面的面积计算，学生需熟练掌握。
16．8
【分析】长方体截成两个完全相同的正方体时，会增加两个截面，每个截面都是正方形，每个正方形的面有4条棱，所以两个面共增加（4×2）条棱，因为两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，用增加的棱长和除以增加的棱长数量即可求出正方体的棱长，因为一个长方体被截成两个完全相同的正方体，所以长方体的长等于2个正方体的棱长，用正方体的棱长乘2即可求出原来长方体的长，据此解答。
【详解】4×2＝8（条）
32÷8＝4（厘米）
4×2＝8（厘米）
所以，一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，原来长方体的长8厘米。
【点睛】解答本题的关键是明确一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体时，会增加两个截面，每个截面都是正方形，共增加8条棱，且明白长方体的长等于2个正方体的棱长。
17．×
【分析】长方体有6个面，其中有两个相对的面可能是正方形，据此解答。
【详解】当长方体有两个相对的面是正方形时，它的展开图中会有两个正方形。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握特殊的长方体的特征是解题的关键。
18．×
【分析】把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，如下图所示：
所以减少了拼接处的4个正方形的面。先根据“正方形的面积＝边长×边长”用1乘1计算出一个面的面积；再用一个面的面积乘4即可。
【详解】根据分析：
1×1×4
＝1×4
＝4（dm2）
把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了4dm2。原说法错误。
故答案为：×
19．×
【分析】因为该组合体可以从前、后、上、左、右几个方位观察。通过对该组合体的观察，该组合体从前面看，有3个小正方形，从上面看，有3个小正方形，从右面看，有3个小正方形，从左面看，有1个小正方形，从后面看，有2个小正方形，把这几个方位能看见的小正方形数量加起来即可。
【详解】由分析可得：
露在外面的面有：
3＋3＋3＋1＋2
＝6＋3＋1＋2
＝9＋1＋2
＝10＋2
＝12（个）
综上所述：该物体露在外面的面有12个。
故答案为：×
20．√
【分析】已知正方体的棱长之和是12厘米，根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，再根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求出它的表面积。
【详解】12÷12＝1（厘米）
1×1×6＝6（平方厘米）
若一个正方体的棱长之和是12厘米，则这个正方体的表面积是6平方厘米。
原题说法正确。
故答案为：√
21．
102平方厘米
【分析】该图形实际是一个长方体，通过分析尺寸。原图形的右侧突出的长度为12厘米，包括长方体的长和宽，那么宽为（厘米）；因此长方体的长、宽、高分别为9厘米、3厘米、2厘米；长方体表面积公式为2×（长×宽＋长×高＋宽×高）。
【详解】先确定长方体的长、宽、高，长＝9厘米，高＝2厘米，
宽：（厘米）
代入表面积公式计算：
（平方厘米）
该图形的表面积102平方厘米。
22．216平方分米
【分析】观察图形可知，通过右上角3个截面的平移，这个形体的表面积等于棱长是6分米的正方体的表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。
【详解】6×6×6＝216（平方分米）
则这个立体图形的表面积是216平方分米。
23．240平方米
【分析】根据题意可以知道，这个通风管道是一个底面是一个边长为1分米的正方形的长方体，求做20节通风管道至少需要多少铁皮，也就是求20个长1分米、宽1分米、高30米的长方体的侧面积。据此进行列式计算即可。
【详解】1dm＝0.1m
0.1×30×4×20
＝3×4×20
＝12×20
＝240（平方米）
答：做20节这样的通风管道至少需要240平方米的铁皮。
24．1.62米
【分析】在计算捆一圈的长度时，需要考虑到杂志的长、宽、高，分别计算出两个长、两个宽和四个高的长度，再相加得到总长度。然后，再加上打结时两端预留的绳子长度，即可得到妈妈一共用掉的绳子长度。最后，将长度单位从厘米转换为米。
【详解】2×26＋2×21＋4×12
＝52＋42＋48
＝142（厘米）
142＋10×2
＝142＋20
＝162（厘米）
162厘米＝1.62米
答：妈妈一共用掉了1.62米绳子。
25．见解析；1248平方厘米
【分析】求最少要用包装纸多少平方厘米，把这4个长方体盒子的最大面重合摞，重合的面面积越大，需要的包装纸越少。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出这个长方体的表面积即可。
【详解】如图：
10＋10＝20（厘米）
6＋6＝12（厘米）
（20×12＋12×12＋20×12）×2
＝（240＋144＋240）×2
＝（384＋240）×2
＝624×2
＝1248（平方厘米）
答：如图所示包装最节省包装纸，至少需要包装纸1248平方厘米。
【点睛】本题关键是要找出拼组后的长方体的长宽高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。
26．见详解
【分析】根据图示可知：每个截面的面积为：1×1＝1（平方厘米），把长方体截成两段，有2个截面没涂色；截成3段，增加4个截面没涂色；截成4段，增加6个面没涂色；……；截成n段，增加2（n－1）个截面面积，据此填表。
【详解】每个截面的面积：1×1＝1（平方厘米）
截成2段，没涂色的2个面，面积：
1×2＝2（平方厘米）
截成3段，没涂色的4个面，面积：1×4＝4（平方厘米）
截成4段，没涂色6个面，面积：1×6＝6（平方厘米）
截成n段，没涂色2（n－1）个面，面积：
1×2（n－1）
＝2（n－1）（平方厘米）
平均截成2段，没有涂色的面有2个，这几个面的面积和是2平方厘米；截成的两个小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积相比，增加了。
如果把这个长方体平均截成3段、4段、5段、n段，那么截成的小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积相比，都增加了。
填表如下：
平均截成的段数 2 3 4 5 … n
表面积的变化（填“增加”或“减少”） 增加 增加 增加 增加 … 增加
面增减的个数 2 4 6 8 … 2（n－1）
27．最小22厘米；最大34厘米
【分析】如图1所示，要使周长最小，尽量剪开高与宽，剪1条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），4条高1厘米（绿色），那么周长最小是（3×1＋2×2＋1×4）×2厘米；
如图2所示，要使周长最大，尽量剪开长与宽，剪4条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），1条高1厘米（绿色），那么周长最大是（3×4＋2×2＋1×1）×2厘米。
【详解】
周长最小：
（3×1＋2×2＋1×4）×2
＝（3＋4＋4）×2
＝11×2
＝22（厘米）
周长最大：
（3×4＋2×2＋1×1）×2
＝（12＋4＋1）×2
＝17×2
＝34（厘米）
答：这个平面图形的周长最小是22厘米，最大是34厘米。
【点睛】把长方体纸盒剪开后展开，需剪开它的七条棱才可能展开成平面图。关键看剪的方法，要是平面图周长最小，剪开的7条棱的长度要尽量小；要使平面图周长最大，剪开的7条棱的长度就要尽量的大。
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．长方体的六个面中，相对的面（ ）。
A．一定相等 B．一定不相等 C．可能相等 D．无法确定
2．下面四个图形中，经过折叠能围成下边正方体纸盒的是（ ）。
A． B． C． D．
3．如图，用棱长1cm的小正方体拼成大正方体后，在它的表面涂上颜色。一面涂色的小正方体有（ ）个。
A．4 B．8 C．24 D．32
4．将4个同样的正方体拼成一个长方体，4个正方体表面积之和与长方体的表面积比较，表面积（ ）。
A．不变 B．减少 C．增加 D．无法比较
5．将四个长10cm，宽7cm，高3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（ ）。
A． B．
C． D．
6．下面小棒不能搭成一个长方体框架的一组是（ ）。
A． B．
C． D．
7．淘气把一个棱长为3分米的正方体切成3个完全一样的长方体，表面积增加了（ ）平方分米。
A．54 B．36 C．18 D．9
8．如图，用棱长为1厘米的正方体像下图这样摆放下去。n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．6n B．4（n＋2） C．5n＋1 D．4n＋2
二、填空题
9．下列四幅图中，是正方体展开图的是第( )幅图。
（1） （2） （3） （4）
10．把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加( )cm2。
11．如图，把5个棱长为4厘米的正方体放在墙角处，有( )个面露在外面。露在外面的面积是( )平方厘米。
12．一个游泳池长50m，宽25m，深2m，在池内四壁及池底贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是( )平方米。
13．一个长方体的无盖鱼缸，从前面和上面看，看到的都是一个长35cm、宽20cm的长方形，制作这样一个无盖的鱼缸至少需要( )cm2的玻璃。
14．一个正方体的六个面上各有一个数字，分别是1、2、3、4、5、6。观察下图，与2相对的面是( )。
15．有8个棱长为1米的正方体纸箱，要将这些纸箱堆放在仓库里，仓管设计了4种放在墙角处的摆放方式（如下图）。
(1)占地面积最大的是第( )种摆法，占地面积是( )。
(2)露在外面的面积最小的是第( )种摆法，这种摆法露在外面的面积是( )。
16．一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，求原来长方体的长( )厘米
三、判断题
17．长方体的展开图中，只有长方形，不可能出现正方形。( )
18．把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了3。( )
19．4个小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面有8个。( )
20．若一个正方体的棱长之和是12厘米，则这个正方体的表面积是6平方厘米。( )
四、计算题
21．计算下面图形的表面积。（单位：cm）
22．求下面立体图形的表面积。（单位：分米）
五、解答题
23．用铁皮做一节长30米的长方体通风管，管道口是边长1分米的正方形，做20节这样的通风管道至少需要多少平方米的铁皮？
24．收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？
25．端午节，笑笑妈妈准备将自己做的4盒绿豆糕包装在一起送给邻居。每盒绿豆糕长为12厘米、宽为10厘米、高为6厘米。怎样包装最节省包装纸？至少需要包装纸多少平方厘米？（接口处不计）
26．先把一个长方体表面涂色，再按如图所示的方式平均截成2段，没有涂色的面有几个？这几个面的面积和是多少？想一想，截成的两个小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积相比有什么变化？如果把这个长方体平均截成3段、4段、5段，那么截成的小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积相比会有什么变化？截成n段呢？请将下表补充完整。
平均截成的段数 2 3 4 5 … n
表面积的变化（填“增加”或“减少”） …
面增减的个数 …
27．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？
《（培优篇）2025-2026学年下学期小学数学北师大版五年级第二单元练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C C B A B D
1．A
【分析】长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）。长方体相对的面，指的是上下相对、左右相对、前后相对的面。从长方体的定义来看，它是由六个长方形（特殊情况有两个正方形）围成的立体图形，相对的面是完全平行且形状、大小一样的。
【详解】由分析可知：
长方体相对的面是完全平行且形状、大小一样的。比如一个普通的长方体盒子，上面和下面的形状、大小完全相同，前面和后面、左面和右面也是如此。
故答案为：A
2．B
【分析】从正方体的纸盒上面的图形可以看成，三个图形不应该是对面。且三角形的一个角对着圆形，据此解答即可。
【详解】A．三角形和正方形成了对面
B．正好是这三个面
C．三角形和正方形成了对面
D．三角形和圆形成了对面
故答案为：B
3．C
【分析】从图中可以看出，大正方体是由棱长为1cm的小正方体拼成的，且大正方体的每条棱上有4个小正方体（因为能看到4层），所以大正方体的棱长为4cm。
一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间部分（不包括棱上和顶点处的小正方体）。对于大正方体的一个面，其边长为4个小正方体的棱长，那么每个面中一面涂色的小正方体组成的是一个边长为（4－2）的正方形（因为要去掉每条边两端的小正方体，这些小正方体是两面或三面涂色的）。所以每个面中一面涂色的小正方体数量为（4－2）×（4－2）＝2×2＝4个。因为大正方体有6个面，每个面有4个一面涂色的小正方体，所以用4×6即可得到一面涂色的小正方体总数。
【详解】（4－2）×（4－2）
＝2×2
＝4（个）
4×6＝24（个）
一面涂色的小正方体有24个。
故答案为：C
4．C
【分析】一个立体图形的全部表面的面积的和叫做这个立体图形的表面积；将4个同样的正方体拼成一个长方体，有面被遮挡的情况，那么新长方体的表面积就减少了，所以4个正方体表面积之和与长方体的表面积比较，表面积增加了。
【详解】由分析可知：
4个正方体拼成长方体，有面被遮挡，那么新长方体的表面积就减少了，所以4个正方体表面积之和与长方体的表面积比较，表面积增加了。
故答案为：C.
【点睛】本题考查正方体和长方体的表面积，注意：只要拼接就会有面被遮挡，即表面积较原来减少了。
5．B
【分析】要想最省包装纸，应是表面积最小的那一个，依据长方体表面积计算公式：长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），逐一计算他们的表面积进行比较即可。
【详解】
A. 长：10×2＝20（厘米），宽：7×2＝14（厘米），高：2厘米
S＝2×（20×14＋20×2＋14×2）
＝2×（280＋40＋28）
＝2×348
＝696（平方厘米）
B. 长：10厘米，宽：7厘米，高：2×4＝8（厘米）
S＝2×（10×7＋10×8＋7×8）
＝2×（70＋80＋56）
＝2×206
＝412（平方厘米）
C. 长：10×2＝20（厘米），宽：7厘米，高：2×2＝4（厘米）
S＝2×（20×7＋10×4＋7×4）
＝2×（140＋40＋28）
＝2×208
＝416（平方厘米）
D. 长：10×2＝20（厘米），宽：7×2＝14（厘米），高：2×2＝4（厘米）
S＝2×（20×14＋20×4＋14×4）
＝2×（280＋80＋56）
＝2×416
＝832（平方厘米）
832＞696＞416＞412，即D＞A＞C＞B，
最省包装纸的应是表面积最小的那一个。
故答案为：B
6．A
【分析】长方体有12条棱，分为3组，每组4条棱，且每组中的4条棱长度相等。当长和宽、长和高或宽和高相等时，则只需2组，其中有8条棱长度相等。要判断小棒能否搭成长方体框架，需看是否有3组，每组有4根且长度相等；或2组小棒，是8根和4根且长度相等。
【详解】A．有2组小棒，每组数量有6根，不能搭成长方体框架。
B．有2组小棒，其中短的1组有8根长度相等，长的1组有4根，共8＋4＝12（根），可搭成长方体框架。
C．有3组小棒，每组数量有4根且长度相等，共4×3＝12（根），可搭成长方体框架。
D．有2组小棒，其中长的1组有8根长度相等，短的1组有4根，共8＋4＝12（根），可搭成长方体框架。
所以不能搭成一个长方体框架的一组是选项A中的小棒。
故答案为：A
7．B
【分析】由题意可知，把一个棱长为3分米的正方体切成3个完全一样的长方体需要切2刀，切1刀增加2个切面的面积，切2刀增加4个切面的面积，切面是边长为3分米的正方形，根据“正方形的面积＝边长×边长”求出增加的表面积，据此解答。
【详解】分析可知，把一个棱长为3分米的正方体切成3个完全一样的长方体会增加2×2＝4个切面的面积。
3×3×4
＝9×4
＝36（平方分米）
所以，表面积增加了36平方分米。
故答案为：B
8．D
【分析】确定长方体长、宽、高，代入长方体表面积公式，表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）。
第一幅图：长1厘米，宽1厘米，高1厘米；
第二幅图：长2厘米，宽1厘米，高1厘米；
第三幅图：长3厘米，宽1厘米，高1厘米；
第四幅图：长4厘米，宽1厘米，高1厘米；
……
第n幅图：长n厘米，宽1厘米，高1厘米。
所以n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的表面积S＝2×（n×1＋n×1＋1×1）。
【详解】n（n为大于0的自然数）个这样的正方体摆成的长方体的长n厘米，宽1厘米，高1厘米。
S＝2×（n×1＋n×1＋1×1）
＝2×（n＋n＋1）
＝2×（2n＋1）
＝（4n＋2）平方厘米
故答案为：D
9．4
【分析】正方体展开图共有11种，如下图所示：
【详解】由分析可知：第（1）（2）（3） 幅图不是正方体展开图，第（4）幅图是正方体展开图。
10．144
【分析】根据长方体的特征，其总共有3种不同大小的面，分别是9cm×8cm的面，9cm×6cm的面，8cm×6cm的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体，沿着3种不同的面平行切就有3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。
【详解】由分析可得：
9×8×2
＝72×2
＝144（cm2）
综上所述：把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加144 cm2。
【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最大，就沿着最大的面平行进行切割。
11． 11 176
【分析】观察图形可知，从正面看到4个面，从上面看到3个面，从右面看到4个面，则露在外面的面一共有（4＋3＋4）个；根据正方体的特征可知，每个面是边长为4厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。
【详解】4＋3＋4＝11（个）
4×4×11
＝16×11
＝176（平方厘米）
有11个面露在外面，露在外面的面积是176平方厘米。
12．1550
【分析】求贴瓷砖的面积，就是求这个长方体游泳池5个面的面积和，根据长方体的表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】50×25＋（50×2＋25×2）×2
＝1250＋（100＋50）×2
＝1250＋150×2
＝1250＋300
＝1550（平方米）
一个游泳池长50m，宽25m，深2m，在池内四壁及池底贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是1550平方米。
【点睛】熟练掌握长方体的表面积公式是解答本题的关键。
13．2900
【分析】由题意可知，这个长方体的长是长35cm，宽20cm，高20cm，由于这个鱼缸无盖，所以上面的长方形不用算，即，代入数据计算即可。
【详解】35×20＋35×20×2＋20×20×2
＝700＋1400＋800
＝2900（平方厘米）
制作这样一个无盖的鱼缸至少需要2900平方厘米的玻璃。
14．6
【分析】通过观察正方体不同角度的展示图，找出与数字2相邻的数字，进而确定与2相对的数字。
【详解】通过观察第二、三个图可以发现，数字1、3、4、5都是与数字6相邻，因为正方体每个面有4个相邻面，剩下的那个就是相对面，所以数字6的对面只能是数字2，因此与2相对的面是6。
15．(1) 一 8
(2) 三 12
【分析】（1）占地面积即为底面积，边长为1米的正方形的面积为1平方米，第一种摆法的底面为8个正方形 ，那么占地面积为8平方米；第二种摆法的底面为4个正方形 ，那么占地面积为4平方米；第三种摆法的底面为4个正方形 ，那么占地面积为4平方米；第四种摆法的底面为6个正方形 ，那么占地面积为6平方米；据此解答。
（2）因为边长为1米的正方形的面积为1平方米，第一种摆法把它整体看成一个大长方体，上面有8个面露在外面，前面有8个面露在外面，右面有1个面露在外面，即2×8＋1＝17（平方米）；第二种摆法：把它整体看成一个大长方体，上面有4个正方形露在外面，前面有8个正方形露在外面，右面有2个正方形露在外面，即4＋8＋2＝14（平方米）；第三种摆法：把它整体看成一个大正方体，上面、前面、右面各有4个面露在外面，即3×4＝12（平方米）；第四种摆法：这个图形上面有6个正方形露在外面，前面有5个正方形露在外面，右面有5个正方形露在外面，即5×2＋6＝16（平方米）；再比较大小即可求解。
【详解】（1）8×1＝8（平方米）
4×1＝4（平方米）
4×1＝4（平方米）
6×1＝6（平方米）
因为8＞6＞4，所以占地面积最大的是第一种摆法，占地面积是8。
（2）2×8＋1
＝16＋1
＝17（平方米）
4＋8＋2
＝12＋2
＝14（平方米）
3×4＝12（平方米）
5×2＋6
＝10＋6
＝16（平方米）
因为12＜14＜16＜17，所以露在外面的面积最小的是第三种摆法，这种摆法露在外面的面积是12。
【点睛】本题考查正方体露在外面的面的面积计算，学生需熟练掌握。
16．8
【分析】长方体截成两个完全相同的正方体时，会增加两个截面，每个截面都是正方形，每个正方形的面有4条棱，所以两个面共增加（4×2）条棱，因为两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，用增加的棱长和除以增加的棱长数量即可求出正方体的棱长，因为一个长方体被截成两个完全相同的正方体，所以长方体的长等于2个正方体的棱长，用正方体的棱长乘2即可求出原来长方体的长，据此解答。
【详解】4×2＝8（条）
32÷8＝4（厘米）
4×2＝8（厘米）
所以，一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和比原来长方体棱长之和增加32厘米，原来长方体的长8厘米。
【点睛】解答本题的关键是明确一个长方体的木块，被截成两个完全相同的正方体时，会增加两个截面，每个截面都是正方形，共增加8条棱，且明白长方体的长等于2个正方体的棱长。
17．×
【分析】长方体有6个面，其中有两个相对的面可能是正方形，据此解答。
【详解】当长方体有两个相对的面是正方形时，它的展开图中会有两个正方形。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握特殊的长方体的特征是解题的关键。
18．×
【分析】把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，如下图所示：
所以减少了拼接处的4个正方形的面。先根据“正方形的面积＝边长×边长”用1乘1计算出一个面的面积；再用一个面的面积乘4即可。
【详解】根据分析：
1×1×4
＝1×4
＝4（dm2）
把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了4dm2。原说法错误。
故答案为：×
19．×
【分析】因为该组合体可以从前、后、上、左、右几个方位观察。通过对该组合体的观察，该组合体从前面看，有3个小正方形，从上面看，有3个小正方形，从右面看，有3个小正方形，从左面看，有1个小正方形，从后面看，有2个小正方形，把这几个方位能看见的小正方形数量加起来即可。
【详解】由分析可得：
露在外面的面有：
3＋3＋3＋1＋2
＝6＋3＋1＋2
＝9＋1＋2
＝10＋2
＝12（个）
综上所述：该物体露在外面的面有12个。
故答案为：×
20．√
【分析】已知正方体的棱长之和是12厘米，根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，再根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求出它的表面积。
【详解】12÷12＝1（厘米）
1×1×6＝6（平方厘米）
若一个正方体的棱长之和是12厘米，则这个正方体的表面积是6平方厘米。
原题说法正确。
故答案为：√
21．
102平方厘米
【分析】该图形实际是一个长方体，通过分析尺寸。原图形的右侧突出的长度为12厘米，包括长方体的长和宽，那么宽为（厘米）；因此长方体的长、宽、高分别为9厘米、3厘米、2厘米；长方体表面积公式为2×（长×宽＋长×高＋宽×高）。
【详解】先确定长方体的长、宽、高，长＝9厘米，高＝2厘米，
宽：（厘米）
代入表面积公式计算：
（平方厘米）
该图形的表面积102平方厘米。
22．216平方分米
【分析】观察图形可知，通过右上角3个截面的平移，这个形体的表面积等于棱长是6分米的正方体的表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。
【详解】6×6×6＝216（平方分米）
则这个立体图形的表面积是216平方分米。
23．240平方米
【分析】根据题意可以知道，这个通风管道是一个底面是一个边长为1分米的正方形的长方体，求做20节通风管道至少需要多少铁皮，也就是求20个长1分米、宽1分米、高30米的长方体的侧面积。据此进行列式计算即可。
【详解】1dm＝0.1m
0.1×30×4×20
＝3×4×20
＝12×20
＝240（平方米）
答：做20节这样的通风管道至少需要240平方米的铁皮。
24．1.62米
【分析】在计算捆一圈的长度时，需要考虑到杂志的长、宽、高，分别计算出两个长、两个宽和四个高的长度，再相加得到总长度。然后，再加上打结时两端预留的绳子长度，即可得到妈妈一共用掉的绳子长度。最后，将长度单位从厘米转换为米。
【详解】2×26＋2×21＋4×12
＝52＋42＋48
＝142（厘米）
142＋10×2
＝142＋20
＝162（厘米）
162厘米＝1.62米
答：妈妈一共用掉了1.62米绳子。
25．见解析；1248平方厘米
【分析】求最少要用包装纸多少平方厘米，把这4个长方体盒子的最大面重合摞，重合的面面积越大，需要的包装纸越少。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出这个长方体的表面积即可。
【详解】如图：
10＋10＝20（厘米）
6＋6＝12（厘米）
（20×12＋12×12＋20×12）×2
＝（240＋144＋240）×2
＝（384＋240）×2
＝624×2
＝1248（平方厘米）
答：如图所示包装最节省包装纸，至少需要包装纸1248平方厘米。
【点睛】本题关键是要找出拼组后的长方体的长宽高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。
26．见详解
【分析】根据图示可知：每个截面的面积为：1×1＝1（平方厘米），把长方体截成两段，有2个截面没涂色；截成3段，增加4个截面没涂色；截成4段，增加6个面没涂色；……；截成n段，增加2（n－1）个截面面积，据此填表。
【详解】每个截面的面积：1×1＝1（平方厘米）
截成2段，没涂色的2个面，面积：
1×2＝2（平方厘米）
截成3段，没涂色的4个面，面积：1×4＝4（平方厘米）
截成4段，没涂色6个面，面积：1×6＝6（平方厘米）
截成n段，没涂色2（n－1）个面，面积：
1×2（n－1）
＝2（n－1）（平方厘米）
平均截成2段，没有涂色的面有2个，这几个面的面积和是2平方厘米；截成的两个小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积相比，增加了。
如果把这个长方体平均截成3段、4段、5段、n段，那么截成的小长方体的表面积之和与原来长方体的表面积相比，都增加了。
填表如下：
平均截成的段数 2 3 4 5 … n
表面积的变化（填“增加”或“减少”） 增加 增加 增加 增加 … 增加
面增减的个数 2 4 6 8 … 2（n－1）
27．最小22厘米；最大34厘米
【分析】如图1所示，要使周长最小，尽量剪开高与宽，剪1条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），4条高1厘米（绿色），那么周长最小是（3×1＋2×2＋1×4）×2厘米；
如图2所示，要使周长最大，尽量剪开长与宽，剪4条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），1条高1厘米（绿色），那么周长最大是（3×4＋2×2＋1×1）×2厘米。
【详解】
周长最小：
（3×1＋2×2＋1×4）×2
＝（3＋4＋4）×2
＝11×2
＝22（厘米）
周长最大：
（3×4＋2×2＋1×1）×2
＝（12＋4＋1）×2
＝17×2
＝34（厘米）
答：这个平面图形的周长最小是22厘米，最大是34厘米。
【点睛】把长方体纸盒剪开后展开，需剪开它的七条棱才可能展开成平面图。关键看剪的方法，要是平面图周长最小，剪开的7条棱的长度要尽量小；要使平面图周长最大，剪开的7条棱的长度就要尽量的大。
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