湖南省常德市石门县第一中学2025-2026学年高一上学期元月份阶段性检测数学试题
1．（2026高一上·石门月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026高一上·石门月考）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2026高一上·石门月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026高一上·石门月考）已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2026高一上·石门月考）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·石门月考），下列说法不正确的是（ ）
A．是偶函数 B．有最小值，没有最大值
C．有4个零点 D．在和单调递减
7．（2026高一上·石门月考）已知函数在上是增函数，关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．（1，3）
C． D．
8．（2026高一上·石门月考）已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2026高一上·石门月考）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（ ）
0 1 2 3 4
0 2 1 2 0 3 1
A． B．0 C．2 D．4
10．（2026高一上·石门月考）已知函数，则下列命题中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．图象的对称中心为，
D．的单调递增区间为，
11．（2026高一上·石门月考）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．若函数，则在定义域上单调递增
D．若实数，满足，则
12．（2026高一上·石门月考）已知函数，若的周期为，则 .
13．（2026高一上·石门月考）若命题“对任意，函数的值恒小于”为假命题，则的取值范围为 ．
14．（2026高一上·石门月考）已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 .
15．（2026高一上·石门月考）已知.
（1）求的值；
（2）若是方程的两个根，求的值.
16．（2026高一上·石门月考）已知．
（1）的对称轴方程；
（2）的单调递增区间；
（3）若方程在上有解，求实数m的取值范围．
17．（2026高一上·石门月考）已知关于的函数，定义域为
（1）当时，求函数的零点；
（2）若函数有零点，求的取值范围．
18．（2026高一上·石门月考）已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若函数，请判断是否存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数，当时，记的最小值为，求.
19．（2026高一上·石门月考）定义：对于函数，，若存在闭区间和常数，使得对，都有，且对，当时，恒成立，则称函数为区间上的“凹平函数”.
（1）若函数
（i）证明：是上的“凹平函数”；
（ii）对于，，且满足，若恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数是上的“凹平函数”，求实数，的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，得，
解得，
则，
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用绝对值不等式求解方法和 一元二次不等式求解方法，从而求出集合和集合，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为点是第四象限的点，
所以且.
所以角的终边位于第二象限.
故答案为：B
【分析】先根据点P所在象限，确定 ， 的符号，再结合各象限三角函数的符号规律，判断角终边的位置。
3．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使有意义，
需满足，
则，
解得.
故答案为：A.
【分析】要使有意义，需满足，再利用正弦函数的图象，从而得出函数的定义域.
4．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角为，
依题意，得，
解得，
所以，扇形的圆心角为2.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和扇形的面积公式，从而列式求解得出扇形的圆心角.
5．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：因为函数且函数与函数图象关于对称，
所以，
则，
令，解得，
所以的定义域为，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
则的单调递减区间为（或）.
故答案为：B.
【分析】先利用反函数图象的对称性，从而求出函数解析式，进而得到的解析式，再根据对数型复合函数的单调性，即同增异减的法则，从而得出函数的单调递减区间.
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为.
对于A：因为，
所以是偶函数，故A正确；
对于B、D：当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则在上有最小值，无最大值；
又因为函数是偶函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则函数在上有最小值，无最大值，
所以有最小值，没有最大值，故B、D正确；
对于C：令，
所以，
则，
所以，
则函数有2个零点，故C错误.
故答案为：C.
【分析】根据偶函数的定义判断出选项A；根据函数的单调性得出函数的最值，则判断出选项B和选项D；令求出的值，则判断出选项C，从而找出说法不正确的选项.
7．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为关于y轴对称，
所以关于对称，
又因为，
所以，
因为函数在上是增函数，
所以，
则，
得，
所以，实数t的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和函数图象的对称性，从而得出关于对称，再结合函数的单调性得出，再解绝对值不等式得出实数t的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，，
得，则，
得，则，
由，得，，
则，又因为
所以，
令，
得，
由对勾函数，知在上单调递增，
则，
所以，
则或.
故答案为：A.
【分析】由题意将变形为，进一步得到，令，则，再利用对勾函数性质求出右边式子的最大值从而得出实数a的取值范围．
9．【答案】B,D
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：对于A：当时，，不符合题意，故A错误；
对于B：当时，，符合题意，故B正确；
对于C：当时，，不符合题意，故C错误；
对于D：当时，，符合题意，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据函数的定义，结合函数表格z中的数据与函数图象，再利用枚举法逐项判断找出x可能的值.
10．【答案】A,C,D
【知识点】正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】对于A： 的最小正周期为，故A正确；
对于B：令，解得，
所以 的定义域为，故B错误；
对于C：令，解得，
所以 图象的对称中心为， ，故C正确；
对于D：令，解得 ，
所以 的单调递增区间为， ，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据题意以为整体，结合正切函数的性质逐项分析判断.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合；函数的值；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】因为，
所以
，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称.
对于A：因为，
所以的图象由的图象向上平移4个单位得到，
则的图象关于点对称，故A正确；
对于B：因为，
所以，故B正确；
对于C：因为，
当时，，都是增函数，
所以在上单调递减，
因为为奇函数，
所以在上也是单调递减，且，
则在其定义域上单调递减，故C错误；
对于D：因为实数，满足，
所以.
又因为.
又因为在上单调递减，
所以，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用奇函数的定义判断出函数为奇函数，并判断出其图象关于原点对称，再利用函数的平移变换得出函数的图象的对称点，则判断出选项A；利用函数结合代入法，则判断出选项B；利用函数的单调性和奇偶性，则判断出选项C；利用已知条件和函数的单调性，从而得出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期为，
所以，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用正切型函数的最小正周期公式，从而求出的值，进而可得函数的解析式，再利用诱导公式得出的值.
13．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：依题意，，函数的值不小于，
又因为正弦函数和正切函数在区间上都单调递增，
所以函数在上单调递增，
当时，，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用全称量词命题与存在量词命题互为否定的关系，从而将问题转化为存在量词命题为真，再借助函数的单调性求出函数的最大值，从而得出实数m的取值范围.
14．【答案】或
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象如图所示，
令，则，
若原方程有6个不相等的实数根，
则，且关于的方程必有两个不等实根，设为，
当时，代入，则，
解得，此时关于的方程为，
解得，满足题意；
当，且时，
令，则函数有两个大于的不等零点，
因为函数的图象过点，则，
解得，则；
当时，因为函数的图象过点，
则，无解，
综上所述，实数a的取值范围为或.
故答案为：或.
【分析】先作出分段函数的图象，再令，则，从而得出且关于的方程必有两个不等实根，再分类讨论结合函数与x轴交点的横坐标与方程的根的等价关系，从而得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解： 因为，所以，所以，解得；
（2）解：因为是方程的两个根，所以，
，又，
.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）用三角函数诱导公式化简已知等式，再通过弦化切的方法求出的值.
（2）根据韦达定理得到与的表达式，结合同角三角函数基本关系求出的值.
（1）因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因为是方程的两个根，
所以，
，
又，
.
16．【答案】（1）解：由题意，，
令，
得，
则函数对称轴方程为.
（2）解：由，
则单调递增区间为的单调递减区间，
令，
则，
所以的单调递增区间为.
（3）解：因为方程在上有解，
等价于与的图象有交点，
由，
得，
所以，
则，
所以，的取值范围为．
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）由结合换元法和正弦函数的对称性，从而得出正弦型函数的对称轴方程.
（2）根据换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调递增区间.
（3）利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，则将问题转化为与的图象有交点，再根据正弦型函数求值域的方法，则，解不等式得出实数m的取值范围.
（1）由题设，
令，得，
所以函数对称轴方程为；
（2）由，则单调增区间为的单调减区间，
令，则，
所以的单调增区间为；
（3）方程在上有解，等价于与的图象有交点．
由，则，即，
所以，故的取值范围为．
17．【答案】（1）解：当时，，，
令，则，
所以，
则或(舍)，
解得，
所以的零点为.
（2）解：由题意，可知在上有解，
令，
则在上有解，
所以在上有解，
则在上有解，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以的值域为，
则的取值范围是.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用m的值得出函数的解析式，再利用函数零点的求解方法，令，从而求解出对应的值，进而得出函数的零点.
（2）利用已知条件，将问题转化为“在上有解”，再根据对勾函数的单调性求出函数的值域，从而得出实数的取值范围.
（1）当时，，，
令，则，则，
所以或(舍)，解得，
所以的零点为
（2）由题意可知，在上有解，
令，则在上有解，
则在上有解，即在上有解，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，所以的值域为，
所以的取值范围是.
18．【答案】（1）解：为偶函数，证明如下：
由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称，
，
，
是定义在上的偶函数：
（2），
，
令，
则可转化为，
当时，，
当时，，
有两个零点，
一个在之间，另一个在之间，
可转化为有两个零点，
其中一个在之间，另一个在之间，则有：
无解
不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间；
（3）解：，
，
令，
，
，
则，
的最小值即为的最小值，
①当时，，在上单调递减，
此时最小值为，
②当时，为二次函数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，
【知识点】函数的奇偶性；函数零点存在定理；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，求得函数的定义域为，再化简得到，结合，即可得到为偶函数；
（2）将代入，得到，令，将转化为函数，再将问题转化为二次函数根的分布，列出不等式组
，结合不等式组的解集，即可得到答案；
（3）将代入得，令，利用换元思想将转化为函数，结合动轴定区间问题，结合函数的单调性进行分类讨论，即可求解.
（1）为偶函数，证明如下：
由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称，
，
，
是定义在上的偶函数：
（2），
，
令，
则可转化为，
当时，，
当时，，
有两个零点，
一个在之间，另一个在之间，
可转化为有两个零点，
其中一个在之间，另一个在之间，则有：
无解
不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间；
（3），
，
令，
，
，
则，
的最小值即为的最小值，
①当时，，在上单调递减，
此时最小值为，
②当时，为二次函数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，
19．【答案】（1）（i）证明：因为函数，
当时，；
当时，；
当时，恒成立，
则存在闭区间和常数1，使得对，都有，
且对，当时，恒成立，
则是上的“凹平函数”.
（ii）解：因为，当且仅当，时取“”，
若，当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，当时，恒成立，
则，
所以恒成立，
则，
解得或，
当时，，
当时，；
当时，恒成立，
此时是区间上的“凹平函数”，
当时，，
当时，；
当时，，
此时不是区间上的“凹平函数”，
综上所述，，.
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）（i）利用分类讨论的方法和集合间的包含关系以及不等式恒成立问题求解方法，再利用“凹平函数”定义，从而证出函数是上的“凹平函数”.
（ii）先利用基本不等式求最值的方法和常数代换的方法，从而得出，再根据和两种情况结合不等式恒成立问题求解方法，从而分别求解不等式，进而得出实数x的取值范围.
（2）由题意得出恒成立，则，再结合指数型函数的性质和“凹平函数”的定义，从而得出实数和的值.
（1）（i）函数，
当时，，
当时，，
当时，恒成立，
即存在闭区间和常数1，使得对，都有，
且对，当时，恒成立，
故是上的“凹平函数”.
（ii）因为，
当且仅当，时取“”.
若，当时，，解得；
当时，，解得；
当时，.
综上，实数的取值范围是.
（2）由题，当时，恒成立，
即，
所以恒成立，
即，解得或，
当时，
当时，，当时，恒成立，
此时是区间上的“凹平函数”.
当时，，
当时，，当时，，
此时不是区间上的“凹平函数”.
综上，，即为所求.
1 / 1湖南省常德市石门县第一中学2025-2026学年高一上学期元月份阶段性检测数学试题
1．（2026高一上·石门月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，得，
解得，
则，
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用绝对值不等式求解方法和 一元二次不等式求解方法，从而求出集合和集合，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2026高一上·石门月考）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为点是第四象限的点，
所以且.
所以角的终边位于第二象限.
故答案为：B
【分析】先根据点P所在象限，确定 ， 的符号，再结合各象限三角函数的符号规律，判断角终边的位置。
3．（2026高一上·石门月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使有意义，
需满足，
则，
解得.
故答案为：A.
【分析】要使有意义，需满足，再利用正弦函数的图象，从而得出函数的定义域.
4．（2026高一上·石门月考）已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的圆心角为，
依题意，得，
解得，
所以，扇形的圆心角为2.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和扇形的面积公式，从而列式求解得出扇形的圆心角.
5．（2026高一上·石门月考）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：因为函数且函数与函数图象关于对称，
所以，
则，
令，解得，
所以的定义域为，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
则的单调递减区间为（或）.
故答案为：B.
【分析】先利用反函数图象的对称性，从而求出函数解析式，进而得到的解析式，再根据对数型复合函数的单调性，即同增异减的法则，从而得出函数的单调递减区间.
6．（2026高一上·石门月考），下列说法不正确的是（ ）
A．是偶函数 B．有最小值，没有最大值
C．有4个零点 D．在和单调递减
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为.
对于A：因为，
所以是偶函数，故A正确；
对于B、D：当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则在上有最小值，无最大值；
又因为函数是偶函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则函数在上有最小值，无最大值，
所以有最小值，没有最大值，故B、D正确；
对于C：令，
所以，
则，
所以，
则函数有2个零点，故C错误.
故答案为：C.
【分析】根据偶函数的定义判断出选项A；根据函数的单调性得出函数的最值，则判断出选项B和选项D；令求出的值，则判断出选项C，从而找出说法不正确的选项.
7．（2026高一上·石门月考）已知函数在上是增函数，关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．（1，3）
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为关于y轴对称，
所以关于对称，
又因为，
所以，
因为函数在上是增函数，
所以，
则，
得，
所以，实数t的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和函数图象的对称性，从而得出关于对称，再结合函数的单调性得出，再解绝对值不等式得出实数t的取值范围.
8．（2026高一上·石门月考）已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，，
得，则，
得，则，
由，得，，
则，又因为
所以，
令，
得，
由对勾函数，知在上单调递增，
则，
所以，
则或.
故答案为：A.
【分析】由题意将变形为，进一步得到，令，则，再利用对勾函数性质求出右边式子的最大值从而得出实数a的取值范围．
9．（2026高一上·石门月考）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（ ）
0 1 2 3 4
0 2 1 2 0 3 1
A． B．0 C．2 D．4
【答案】B,D
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：对于A：当时，，不符合题意，故A错误；
对于B：当时，，符合题意，故B正确；
对于C：当时，，不符合题意，故C错误；
对于D：当时，，符合题意，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据函数的定义，结合函数表格z中的数据与函数图象，再利用枚举法逐项判断找出x可能的值.
10．（2026高一上·石门月考）已知函数，则下列命题中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．图象的对称中心为，
D．的单调递增区间为，
【答案】A,C,D
【知识点】正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】对于A： 的最小正周期为，故A正确；
对于B：令，解得，
所以 的定义域为，故B错误；
对于C：令，解得，
所以 图象的对称中心为， ，故C正确；
对于D：令，解得 ，
所以 的单调递增区间为， ，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据题意以为整体，结合正切函数的性质逐项分析判断.
11．（2026高一上·石门月考）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．若函数，则在定义域上单调递增
D．若实数，满足，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合；函数的值；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】因为，
所以
，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称.
对于A：因为，
所以的图象由的图象向上平移4个单位得到，
则的图象关于点对称，故A正确；
对于B：因为，
所以，故B正确；
对于C：因为，
当时，，都是增函数，
所以在上单调递减，
因为为奇函数，
所以在上也是单调递减，且，
则在其定义域上单调递减，故C错误；
对于D：因为实数，满足，
所以.
又因为.
又因为在上单调递减，
所以，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用奇函数的定义判断出函数为奇函数，并判断出其图象关于原点对称，再利用函数的平移变换得出函数的图象的对称点，则判断出选项A；利用函数结合代入法，则判断出选项B；利用函数的单调性和奇偶性，则判断出选项C；利用已知条件和函数的单调性，从而得出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2026高一上·石门月考）已知函数，若的周期为，则 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期为，
所以，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用正切型函数的最小正周期公式，从而求出的值，进而可得函数的解析式，再利用诱导公式得出的值.
13．（2026高一上·石门月考）若命题“对任意，函数的值恒小于”为假命题，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：依题意，，函数的值不小于，
又因为正弦函数和正切函数在区间上都单调递增，
所以函数在上单调递增，
当时，，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】利用全称量词命题与存在量词命题互为否定的关系，从而将问题转化为存在量词命题为真，再借助函数的单调性求出函数的最大值，从而得出实数m的取值范围.
14．（2026高一上·石门月考）已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 .
【答案】或
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象如图所示，
令，则，
若原方程有6个不相等的实数根，
则，且关于的方程必有两个不等实根，设为，
当时，代入，则，
解得，此时关于的方程为，
解得，满足题意；
当，且时，
令，则函数有两个大于的不等零点，
因为函数的图象过点，则，
解得，则；
当时，因为函数的图象过点，
则，无解，
综上所述，实数a的取值范围为或.
故答案为：或.
【分析】先作出分段函数的图象，再令，则，从而得出且关于的方程必有两个不等实根，再分类讨论结合函数与x轴交点的横坐标与方程的根的等价关系，从而得出实数a的取值范围.
15．（2026高一上·石门月考）已知.
（1）求的值；
（2）若是方程的两个根，求的值.
【答案】（1）解： 因为，所以，所以，解得；
（2）解：因为是方程的两个根，所以，
，又，
.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）用三角函数诱导公式化简已知等式，再通过弦化切的方法求出的值.
（2）根据韦达定理得到与的表达式，结合同角三角函数基本关系求出的值.
（1）因为，
所以，
所以，
解得；
（2）因为是方程的两个根，
所以，
，
又，
.
16．（2026高一上·石门月考）已知．
（1）的对称轴方程；
（2）的单调递增区间；
（3）若方程在上有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，，
令，
得，
则函数对称轴方程为.
（2）解：由，
则单调递增区间为的单调递减区间，
令，
则，
所以的单调递增区间为.
（3）解：因为方程在上有解，
等价于与的图象有交点，
由，
得，
所以，
则，
所以，的取值范围为．
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）由结合换元法和正弦函数的对称性，从而得出正弦型函数的对称轴方程.
（2）根据换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调递增区间.
（3）利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，则将问题转化为与的图象有交点，再根据正弦型函数求值域的方法，则，解不等式得出实数m的取值范围.
（1）由题设，
令，得，
所以函数对称轴方程为；
（2）由，则单调增区间为的单调减区间，
令，则，
所以的单调增区间为；
（3）方程在上有解，等价于与的图象有交点．
由，则，即，
所以，故的取值范围为．
17．（2026高一上·石门月考）已知关于的函数，定义域为
（1）当时，求函数的零点；
（2）若函数有零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，，
令，则，
所以，
则或(舍)，
解得，
所以的零点为.
（2）解：由题意，可知在上有解，
令，
则在上有解，
所以在上有解，
则在上有解，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以的值域为，
则的取值范围是.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用m的值得出函数的解析式，再利用函数零点的求解方法，令，从而求解出对应的值，进而得出函数的零点.
（2）利用已知条件，将问题转化为“在上有解”，再根据对勾函数的单调性求出函数的值域，从而得出实数的取值范围.
（1）当时，，，
令，则，则，
所以或(舍)，解得，
所以的零点为
（2）由题意可知，在上有解，
令，则在上有解，
则在上有解，即在上有解，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，所以的值域为，
所以的取值范围是.
18．（2026高一上·石门月考）已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若函数，请判断是否存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若函数，当时，记的最小值为，求.
【答案】（1）解：为偶函数，证明如下：
由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称，
，
，
是定义在上的偶函数：
（2），
，
令，
则可转化为，
当时，，
当时，，
有两个零点，
一个在之间，另一个在之间，
可转化为有两个零点，
其中一个在之间，另一个在之间，则有：
无解
不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间；
（3）解：，
，
令，
，
，
则，
的最小值即为的最小值，
①当时，，在上单调递减，
此时最小值为，
②当时，为二次函数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，
【知识点】函数的奇偶性；函数零点存在定理；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，求得函数的定义域为，再化简得到，结合，即可得到为偶函数；
（2）将代入，得到，令，将转化为函数，再将问题转化为二次函数根的分布，列出不等式组
，结合不等式组的解集，即可得到答案；
（3）将代入得，令，利用换元思想将转化为函数，结合动轴定区间问题，结合函数的单调性进行分类讨论，即可求解.
（1）为偶函数，证明如下：
由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称，
，
，
是定义在上的偶函数：
（2），
，
令，
则可转化为，
当时，，
当时，，
有两个零点，
一个在之间，另一个在之间，
可转化为有两个零点，
其中一个在之间，另一个在之间，则有：
无解
不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间；
（3），
，
令，
，
，
则，
的最小值即为的最小值，
①当时，，在上单调递减，
此时最小值为，
②当时，为二次函数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，
19．（2026高一上·石门月考）定义：对于函数，，若存在闭区间和常数，使得对，都有，且对，当时，恒成立，则称函数为区间上的“凹平函数”.
（1）若函数
（i）证明：是上的“凹平函数”；
（ii）对于，，且满足，若恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数是上的“凹平函数”，求实数，的值.
【答案】（1）（i）证明：因为函数，
当时，；
当时，；
当时，恒成立，
则存在闭区间和常数1，使得对，都有，
且对，当时，恒成立，
则是上的“凹平函数”.
（ii）解：因为，当且仅当，时取“”，
若，当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，当时，恒成立，
则，
所以恒成立，
则，
解得或，
当时，，
当时，；
当时，恒成立，
此时是区间上的“凹平函数”，
当时，，
当时，；
当时，，
此时不是区间上的“凹平函数”，
综上所述，，.
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）（i）利用分类讨论的方法和集合间的包含关系以及不等式恒成立问题求解方法，再利用“凹平函数”定义，从而证出函数是上的“凹平函数”.
（ii）先利用基本不等式求最值的方法和常数代换的方法，从而得出，再根据和两种情况结合不等式恒成立问题求解方法，从而分别求解不等式，进而得出实数x的取值范围.
（2）由题意得出恒成立，则，再结合指数型函数的性质和“凹平函数”的定义，从而得出实数和的值.
（1）（i）函数，
当时，，
当时，，
当时，恒成立，
即存在闭区间和常数1，使得对，都有，
且对，当时，恒成立，
故是上的“凹平函数”.
（ii）因为，
当且仅当，时取“”.
若，当时，，解得；
当时，，解得；
当时，.
综上，实数的取值范围是.
（2）由题，当时，恒成立，
即，
所以恒成立，
即，解得或，
当时，
当时，，当时，恒成立，
此时是区间上的“凹平函数”.
当时，，
当时，，当时，，
此时不是区间上的“凹平函数”.
综上，，即为所求.
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