2025-2026学年青岛版九年级数学下册课件(共31张PPT)5.2 第4课时 应用反比例函数解决实际问题
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年青岛版九年级数学下册课件(共31张PPT)5.2 第4课时 应用反比例函数解决实际问题 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 633.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 青岛版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-02 00:00:00 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
青岛版九年级数学下册
第5章 对函数的再探索
5.2 反比例函数
第4课时 应用反比例函数解决实际问题
情 境 导 入
第4课时 应用反比例函数
解决实际问题
1、反比例函数有哪些性质？
2、反比例函数解析式中的K有哪些几何意义？
新 课 探 究
例1 一辆汽车以80Km/h的平均速度从甲地驶往乙地，用5h到达.
（1）当汽车按原路返回时，如果规定该车限速120Km/h，写出返回甲地所用的时间t与平均速度v的函数表达式，并画出它的图像
（2）如果汽车必须在4h内回到甲地，求返程的平均速度的范围.
第4课时 应用反比例函数
解决实际问题
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新课探究
情境导入
课堂小结
解:（1）由已知，可求出甲地到乙地的路程为S=80×5=400
由vt=400及限速条件，可得t与v之间的函数表达式为 0＜v≤120
其图像为双曲线 在第一象限内的一段
（2）当t=4时， （km/h）
∴如果汽车必须在4h内回到甲地，那么100≤v≤120
即返程时平均速度的范围不低于100km/h，不大于120km/h
新课探究
情境导入
课堂小结
反比例函数是实际生活和生产中的一类问题的数学模型.解决这类问题时，需要先列出符合题意的函数表达式，然后利用反比例函数的性质，以及综合运用方程、方程组、不等式等相关的知识求解.
归纳总结
实际问题
反比例函数
建立数学模型
运用数学知识解决
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新课探究
情境导入
课堂小结
一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系： ，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5)．
（1）求k和m的值；
（2）若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要多少时间？
练一练
k=20，m=40．
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新课探究
情境导入
课堂小结
例2 某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃时室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系为 ,
自变量x的取值范围为 ；
药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .
0≤x≤8
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新课探究
情境导入
课堂小结
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效 为什么
30
将y=3分别代入 和 ,
分别得x1=4和x2=16，
∴从药物点燃4min到16min时，室内每立方米空气中含药量超过3mg,
∵x1-x2=16-4=12（min）＞10（min）,
∴此次灭蚊有效.
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课堂检测
1. 有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=2 m3时，气体的密度是_______kg/m3．
O
V（m3）
4
2
（kg/m3）
4
新课探究
情境导入
课堂小结
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2.气球充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数. 当气球体积是0.8 m3时，气球内的气压为120 kPa ．
（1）写出这一函数表达式.
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内气压大于192 kPa时，气球将爆炸．为安全起见，气球体积应不小于多少？
新课探究
情境导入
课堂小结
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k=120×0.8=96，
(2)当V=1时，P=96（ kPa），
(3)当P=192时，
∴当气球内气压大于192 kPa时，气球体积应不小于0.5 m3.
（m3）.
新课探究
情境导入
课堂小结
解：(1)将v=0.8,P=120代入，得
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课堂小结
3.某蓄水池的排水管每小时排水8 m3 ，6 h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3), 满池水排空所需的时间为t (h)，求Q与t之间的函数关系式.
(3)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排水量至少为多少
(4)已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空
新课探究
情境导入
课堂小结
A．I＝ B．I＝
C．I＝ D．I＝
4．(跨学科融合)(人教9下P17、北师9上P158改编)某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )
C
小结：工作总量=工作效率×工作时间.
5．【例1】某工厂现有原材料100吨，平均每天用去x吨，这批原材料能用y天，则y与x的函数关系式为 ．
y＝
6．小明要把一篇24 000字的社会调查报告录入电脑，完成录入的时间t(分)与录入文字的速度v(字/分)的函数关系式为
．
t＝
7．(跨学科融合)验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片的焦距x(米)的数据如下表：
y(度) 100 200 400 500 …
x(米) 1.00 0.50 0.25 0.20 …
(1)y关于x的函数关系式是 ；
(2)1 000度近视眼镜镜片的焦距为多少？
小结：根据表中数据猜测函数类型，并进行验证，本题y与x的乘积是一个常数.
解：(2)当y＝1 000时，1 000＝，
解得x＝0.1，故1 000度近视眼镜镜片的焦距为0.1米．
y＝
8．(人教9下P12改编)(2022广州)某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)是反比例函数关系，当d＝20时，S＝500．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的范围．
解：(1)设S＝，当d＝20时，S＝500，于是得500＝，∴V＝10 000(m3)．
(2)由(1)得S＝，
∵d＞0时，S随d的增大而减小，d＝16时，S＝625；d＝25时，S＝400，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625．
9．(跨学科融合)(人教9下P16、北师9上P159)某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于150 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
解：(1)设p＝，由图可知A(0.8，120)在函数p＝的图象上，
∴k＝0.8×120＝96，∴此函数的解析式为p＝．
小结：解决不等关系的关键是在图象上找对应点.
(2)当V＝1 m3时，p＝＝96(kPa)．
(3)当p＝150 kPa时，150＝，∴V＝＝0.64(m3)，
∴为了安全起见，气体的体积应不小于0.64 m3．
(2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于150 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
10．(北师9上P159改编)如图是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完满池水所用的时间t(h)之间的函数图象．
(1)该蓄水池的容积是 m3；
(2)如果要6 h排完满池水，那么每小时的排水量应该是多少？
(3)如果每小时排水量不超过5 000 m3，那么至少要多少小时才可排完满池水？
48 000
解：(2)由(1)得V＝，当t＝6时，V＝＝8 000，
∴每小时的排水量应该是8 000 m3．
(3)∵V≤5 000，∴≤5 000，
∴t≥9.6，
∴至少要9.6小时才可排完满池水．
(3)如果每小时排水量不超过5 000 m3，那么至少要多少小时才可排完满池水？
小结：此类题是分段函数，其自变量的值是连续的，两个函数图象的交点是关键点.
11．(跨学科融合)为了预防某病毒的传播，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为
；
y＝x
0≤x≤8
y＝(x＞8)
(2)研究表明，药物燃烧后，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过
分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
30
解：(3)把y＝3代入y＝x，得x＝4．
把y＝3代入y＝，得x＝16．
∵16－4＝12＞10，∴此次消毒是有效的．
★12． 0.40 (2024广州一模)为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x(天) 3 5 6 9 …
硫化物的浓度y(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 …
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
解：(1)设线段AC的函数表达式为y＝kx＋b，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为y＝－2.5x＋12(0≤x＜3)．
(2)在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)∵3×4.5＝5×2.7＝…＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y＝(x≥3)．
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
(3)当x＝15时，y＝＝0.9，
∵13.5＞0，∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L．
课 堂 小 结
本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看什么？逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.
第4课时 应用反比例函数
解决实际问题
THANK YOU
青岛版九年级数学下册
第5章 对函数的再探索
5.2 反比例函数
第4课时 应用反比例函数解决实际问题
情 境 导 入
第4课时 应用反比例函数
解决实际问题
1、反比例函数有哪些性质？
2、反比例函数解析式中的K有哪些几何意义？
新 课 探 究
例1 一辆汽车以80Km/h的平均速度从甲地驶往乙地，用5h到达.
（1）当汽车按原路返回时，如果规定该车限速120Km/h，写出返回甲地所用的时间t与平均速度v的函数表达式，并画出它的图像
（2）如果汽车必须在4h内回到甲地，求返程的平均速度的范围.
第4课时 应用反比例函数
解决实际问题
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新课探究
情境导入
课堂小结
解:（1）由已知，可求出甲地到乙地的路程为S=80×5=400
由vt=400及限速条件，可得t与v之间的函数表达式为 0＜v≤120
其图像为双曲线 在第一象限内的一段
（2）当t=4时， （km/h）
∴如果汽车必须在4h内回到甲地，那么100≤v≤120
即返程时平均速度的范围不低于100km/h，不大于120km/h
新课探究
情境导入
课堂小结
反比例函数是实际生活和生产中的一类问题的数学模型.解决这类问题时，需要先列出符合题意的函数表达式，然后利用反比例函数的性质，以及综合运用方程、方程组、不等式等相关的知识求解.
归纳总结
实际问题
反比例函数
建立数学模型
运用数学知识解决
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情境导入
课堂小结
一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系： ，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5)．
（1）求k和m的值；
（2）若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要多少时间？
练一练
k=20，m=40．
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课堂小结
例2 某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃时室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系为 ,
自变量x的取值范围为 ；
药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .
0≤x≤8
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情境导入
课堂小结
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效 为什么
30
将y=3分别代入 和 ,
分别得x1=4和x2=16，
∴从药物点燃4min到16min时，室内每立方米空气中含药量超过3mg,
∵x1-x2=16-4=12（min）＞10（min）,
∴此次灭蚊有效.
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课堂检测
1. 有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=2 m3时，气体的密度是_______kg/m3．
O
V（m3）
4
2
（kg/m3）
4
新课探究
情境导入
课堂小结
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2.气球充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数. 当气球体积是0.8 m3时，气球内的气压为120 kPa ．
（1）写出这一函数表达式.
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内气压大于192 kPa时，气球将爆炸．为安全起见，气球体积应不小于多少？
新课探究
情境导入
课堂小结
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k=120×0.8=96，
(2)当V=1时，P=96（ kPa），
(3)当P=192时，
∴当气球内气压大于192 kPa时，气球体积应不小于0.5 m3.
（m3）.
新课探究
情境导入
课堂小结
解：(1)将v=0.8,P=120代入，得
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课堂小结
3.某蓄水池的排水管每小时排水8 m3 ，6 h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3), 满池水排空所需的时间为t (h)，求Q与t之间的函数关系式.
(3)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排水量至少为多少
(4)已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空
新课探究
情境导入
课堂小结
A．I＝ B．I＝
C．I＝ D．I＝
4．(跨学科融合)(人教9下P17、北师9上P158改编)某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )
C
小结：工作总量=工作效率×工作时间.
5．【例1】某工厂现有原材料100吨，平均每天用去x吨，这批原材料能用y天，则y与x的函数关系式为 ．
y＝
6．小明要把一篇24 000字的社会调查报告录入电脑，完成录入的时间t(分)与录入文字的速度v(字/分)的函数关系式为
．
t＝
7．(跨学科融合)验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片的焦距x(米)的数据如下表：
y(度) 100 200 400 500 …
x(米) 1.00 0.50 0.25 0.20 …
(1)y关于x的函数关系式是 ；
(2)1 000度近视眼镜镜片的焦距为多少？
小结：根据表中数据猜测函数类型，并进行验证，本题y与x的乘积是一个常数.
解：(2)当y＝1 000时，1 000＝，
解得x＝0.1，故1 000度近视眼镜镜片的焦距为0.1米．
y＝
8．(人教9下P12改编)(2022广州)某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)是反比例函数关系，当d＝20时，S＝500．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的范围．
解：(1)设S＝，当d＝20时，S＝500，于是得500＝，∴V＝10 000(m3)．
(2)由(1)得S＝，
∵d＞0时，S随d的增大而减小，d＝16时，S＝625；d＝25时，S＝400，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625．
9．(跨学科融合)(人教9下P16、北师9上P159)某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于150 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
解：(1)设p＝，由图可知A(0.8，120)在函数p＝的图象上，
∴k＝0.8×120＝96，∴此函数的解析式为p＝．
小结：解决不等关系的关键是在图象上找对应点.
(2)当V＝1 m3时，p＝＝96(kPa)．
(3)当p＝150 kPa时，150＝，∴V＝＝0.64(m3)，
∴为了安全起见，气体的体积应不小于0.64 m3．
(2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于150 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
10．(北师9上P159改编)如图是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完满池水所用的时间t(h)之间的函数图象．
(1)该蓄水池的容积是 m3；
(2)如果要6 h排完满池水，那么每小时的排水量应该是多少？
(3)如果每小时排水量不超过5 000 m3，那么至少要多少小时才可排完满池水？
48 000
解：(2)由(1)得V＝，当t＝6时，V＝＝8 000，
∴每小时的排水量应该是8 000 m3．
(3)∵V≤5 000，∴≤5 000，
∴t≥9.6，
∴至少要9.6小时才可排完满池水．
(3)如果每小时排水量不超过5 000 m3，那么至少要多少小时才可排完满池水？
小结：此类题是分段函数，其自变量的值是连续的，两个函数图象的交点是关键点.
11．(跨学科融合)为了预防某病毒的传播，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为
；
y＝x
0≤x≤8
y＝(x＞8)
(2)研究表明，药物燃烧后，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过
分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
30
解：(3)把y＝3代入y＝x，得x＝4．
把y＝3代入y＝，得x＝16．
∵16－4＝12＞10，∴此次消毒是有效的．
★12． 0.40 (2024广州一模)为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x(天) 3 5 6 9 …
硫化物的浓度y(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 …
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
解：(1)设线段AC的函数表达式为y＝kx＋b，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为y＝－2.5x＋12(0≤x＜3)．
(2)在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)∵3×4.5＝5×2.7＝…＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y＝(x≥3)．
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
(3)当x＝15时，y＝＝0.9，
∵13.5＞0，∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L．
课 堂 小 结
本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看什么？逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.
第4课时 应用反比例函数
解决实际问题
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