2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十八：一次函数与一元一次方程综合（含解析）

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2025—2026学年九年级中考数学一轮专题复习十八：一次函数与一元一次方程综合
1．如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求点的坐标．
2．如图，若是由平移后得到的，且中任意一点经过平移后的对应点为；
(1)画出．
(2)若点P在轴上，值最小，请在图中画出P点位置，并写出点坐标___________．
3．已知一次函数的图象经过点，．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
4．定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点．
(1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______；
(2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集．
5．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
(1)求线段的长；
(2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标；
(3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的解析式．
(2)将直线向上平移5个单位长度得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点，求线段的长．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点．
(1)求直线，的函数表达式．
(2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．
（1）的值为 ；
（2）若点在线段AB上，点在直线上，则的最大值为 ．
9．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B．
(1)求该一次函数的解析式．
(2)判定点是否在该函数的图象上？说明理由；
(3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求的面积．
10．如图，直线与轴、轴分别交于点．点的坐标为，连接．
(1)求所在直线的函数表达式；
(2)若直线与所在直线交于一点，并将分成面积相等的两部分，求点的坐标．
11．在平面直角坐标系中，函数，其中为常数，该函数的图象记为．
(1)当时，
①若点在图象上，则的值为 ；
②若点在图象上，则的值为 ；
③当时，求该函数的最小值；
(2)图象过点时，求图象与轴交点的坐标；
(3)已知点，点，当图象与线段只有一个交点时，求的取值范围；
(4)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求的取值范围；
(5)当时，函数图象与直线和分别交于两点，当为等腰三角形时，求的值
12．如图，一次函数与的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积；
(3)结合图象，直接写出时的取值范围．
13．如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点，已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题：
(1)关于的方程的解是_____，关于的不等式的解集是_____．
(2)若点坐标为，关于的不等式的解集是_____．
(3)在（2）的条件下，求的面积．
14．如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题：
(1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ；
(2)直接写出关于x的不等式组的解集 ；
(3)若点C的坐标为．
①的面积为 ；
②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标．
15．在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A、B两点，（点A位于点B左侧）．
(1)点A坐标为______，点B坐标为______．
(2)若点在函数图像上，求n的值．
(3)若点在函数图像上，求m的值．
(4)点P是函数图像上一动点，其横坐标为a，点P不与点A重合，将图像上P、A之间的部分（包括点P、点A）记作图像G，图像G的最高点和最低点的纵坐标差为h，当时，直接写出h关于a的函数解析式．
参考答案
1．【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点，
∴，
解得：，
即直线的解析式为；
（2）解：∵一次函数与正比例函数的图象相交于点，
∴，
解得：，
∴，
即点的坐标为．
2．【详解】（1）解：∵点经过平移后的对应点为，
∴此次向左平移5个单位，向上平移2个单位，
∴如图：即为所求．
（2）解：如图：找到点C的对称点，连接交y轴于一点即为P点．
设的解析式为：，
将点，代入得：
，解得：，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：．
3．【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
∵一次函数的图象经过点，，
∴，解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，，当时，；
∴一次函数与坐标轴的两个交点为，，
∴一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为．
4．【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式为；
∵点在“逆反函数”的函数图象上，
∴，解得：；
故答案为：，；
（2）解：∵一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，
∴点D是两个函数的交点，
联立解析式：，
解得：，
即点，
观察图象得：当时，直线在直线的上方，且在x轴的下方，
∴不等式组的解集为．
5．【详解】（1）解：把代入得：，
把代入得：，
解得：，
点，点，
，，
；
（2）解：设点，
的面积是16，
，
，
或，
点坐标为或；
（3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，
∵，，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
当点P在y轴上时，设点P的坐标为，
∵，，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
综上分析可知：点P的坐标为：或．
6．【详解】（1）解：设直线的解析式为，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵将直线向上平移5个单位长度得到直线，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
当时，，解得，即，
∴；
7．【详解】（1）解：直线：与轴交于点，与轴交于点，
∴，
∴直线的函数表达式为，
直线：与轴交于点，
∴，
解得，，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：直线：与轴交于点，
∴当时，，
解得，，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴设，
∴，
∴，
当时，，则；
当时，，则；
∴点的坐标为或．
8．【详解】解：（1）将点代入直线，
得，解得．
故答案为：6．
（2）直线经过点和，
则，
解得：，
∴的表达式为，
∵点在线段上，
∴，
∵点在直线上，
∴
∴，
∵，
∴当时，取最大值，最大值为4．
9．【详解】（1）解：当时，，
∴点B的坐标为，
设一次函数的解析式为：，把和代入得
，解得
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点不在该函数图象上；
（3）解：令，则，解得，
∴点D的坐标为，
∴．
10．【详解】（1）解：在中，令，得，令，得，
所以，
设所在直线的函数表达式为，
把点代入，得，
解得，
所以直线的函数表达式为；
（2）解：因为，
所以．
当时，如答图，直线交于点，且，
过点作于点，所以，
即，解得．
在中，令，得，
所以；
当时，直线经过第二、四象限，与线段交于一点，
因为，
所以不存在的值，使直线将分成面积相等的两部分．
综上所述，点的坐标为．
11．【详解】（1）解：当时，函数，
①∵点在图象上，
∴，
故答案为：；
②∵点在图象上，
当时，，解得；
当时，，解得；
故答案为：或；
③当时，y随着x增大而增大，
∴当时，y的最小值，
当时，y随着x增大而减小，
∴当时，y的最小值，
∴当时，该函数的最小值为2；
（2）解：当时，根据题意，得，
解得，
∴函数，
当时，，
当时，，
∴图象G与x轴交点的坐标为或；
当时，根据题意，得，
解得（不合题意，舍去），
综上，图象G与x轴交点的坐标为或；
（3）解：根据题意，当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴当时，图象与线段只有一个交点；
当经过点时，，
当经过点时，，
∴时，图象与线段只有一个交点；
综上所述：当或时，图象与线段只有一个交点；
（4）解：当时，根据题意，时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
∴，不合题意；
当时，根据题意，时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
∴，不合题意；
当时，函数取得最大值，
当时， ，
当时， ，
当，即时，函数取得最小值，
∴，符合题意，
∴m的取值范围是；
若当，即时，函数取得最小值，
此时，
∵
∴
解得，
综上，满足条件的m的取值范围是；
（5）解：当时，根据题意，点，点，
，，
，
为等腰三角形，分情况讨论：
①当时，，解得，
②当时，，化简得，
，
无解；
③当时，，化简得，
，
无解；
当时，根据题意，点，点，
，，
，
为等腰三角形，分情况讨论：
①当时，，解得，
②当时，，解得或，
③当时，，解得或，
综上，满足条件的m的值为或或．
12．【详解】（1）解：当时， ，
解得，
∴
∴点A 的坐标为．
（2）解：当 时，，
解得，
则点坐标为；
当 时，，
解得，
则点坐标为．
，
的面积．
（3）解：∵一次函数与的图象相交于点，
∴当时，的取值范围是．
13．【详解】（1）解：∵一次函数与轴交于点，
，
∴关于的方程的解是，
观察图象可知，当时，的图象在轴的下方，即，
关于的不等式的解集是；
故答案为：，；
（2）解：由题意可知，两直线交于点，观察图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的上方，
∴不等式的解集是；
（3）解：∵点, 点，
，
坐标为，
∴.
14．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴关于x的方程的解是；
∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴观察图象可得关于x的不等式的解集是；
故答案为：；；
（2）解：∵，，
∴观察图象可得关于x的不等式组的解集为，
故答案为：；
（3）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②设，
∵，，
∴，，，
分以下两种情况讨论：
当为直角边时，，，
∴，
解得或，
∴D的坐标为或；
当为直角边时，，，
∴，
解得或，
∴D的坐标为或；
综上所述，D的坐标为或或或．
15．【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：当时，；
（3）解：当，解得，
当，解得，
综上所述：的值为；
（4）解：当时，图象G解析式为，此时随的增大而减小，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为，
∴；
当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为0，当时，最低点纵坐标为，
∴；
当时，图象G解析式为，当时，最高点纵坐标为，当时，最低点纵坐标为，
∴；
综上所述：①，；②，；③，．
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