2025-2026学年苏科版八年级下册数学8.2 特殊的平行四边形 同步练习（含答案）

8.2特殊的平行四边形 同步练习
一、单选题
1．下列命题错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是矩形
2．如图，将平行四边形的变成直角，则平行四边形变成（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．矩形和菱形都是特殊的平行四边形，下列性质中矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．邻边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
4．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，，则的度数为( )

A． B． C． D．
6．如图，将矩形沿翻折，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为，若，，则折痕的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
7．如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，，点M在CD边上，且，与关于AM所在的直线对称，延长CB到点F，使得，分别连接AF，EF，则线段EF的长为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P．过点P作于点F．若的周长为4．则菱形的面积为（　　）
A．8 B． C．16 D．
二、填空题
11．如图，在菱形中，若，则度数为 ．
12．如图，在矩形中，若，，则的长为 ．
13．如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可）
14．如图，长方形纸带中，，将长方形沿折叠，两点的对应点分别为，若，则的度数为 .
15．如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是 ．
16．如图，在正方形中，点是正方形中心，是边上一点，连接，过点作的垂线交于点，若，则正方形的面积为 ．
17．如图，矩形中，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当的对应边恰好经过点D时，连接，则 ．
18．如图1，正方形ABCD的边长为8cm，E为AB边上一点，连接DE，点P从点D出发，沿D→E→B以2cm/s的速度匀速运动到点B，图2是△PCD的面积y（单位：cm2）随时间x（单位：s）的变化而变化的图象，其中0≤x≤b，则b的值是 ．
19．如图，在矩形中，点分别是的中点，连接和，分别取、的中点，连接，若，，则图中阴影部分图形的面积和为 ．

20．如图，四边形是菱形，，，，分别是和上的动点，且，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题
21．如图，在中，点E、F是上两点，，连接，，求证：四边形是矩形．
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD＝4，∠ADB＝30°，
①求△BED的面积；
②过点E作EG垂直BD，垂足为G，求EG的长．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
(1)求证：四边形AQCP是平行四边形；
(2)若四边形AQCP是菱形，求t值．
24．如图，点O是矩形的对角线的交点，点A，B，C，D 分别在，，，的延长线上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若E，F，G，H 分别是，，，的中点，且，，求矩形的面积．
25．如图1，正方形的边长是2，E为对角线上一动点，，，当点E从点B运动到点D的过程中，回答下列问题
(1)求对角线的长度；
(2)求周长的最小值；
(3)如图2，在线段上取一点G，连接和，当时，试探究和的数量关系．
26．以四边形的边、为边分别向外侧作等边三角形和，连接、．
(1)当四边形为正方形时（如图，和的数量关系是　 　；
(2)当四边形为矩形时（如图，和具有怎样的数量关系？请加以证明；
(3)当四边形为平行四边形时（如图，当、、在一条直线上时，过作交于点，若，且，直接写出的值．
试卷第6页，共8页
答案
1．B
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故本选项符合题意；
C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，说法正确，故本选项不符合题意；
D、四个角相等的四边形是矩形，说法正确，故本选项不符合题意，
故选：B．
2．B
解：∵平行四边形ABCD中，∠ABC变成直角，
∴四边形ABCD是矩形，
故选B．
3．D
A、对边相等：矩形和菱形均为平行四边形，对边均相等，故A不符合题意．
B、邻边相等：菱形的四条边均相等，邻边必相等；而矩形邻边仅当为正方形时才相等，故B是菱形的特性，不符合题意．
C、对角线互相平分：矩形和菱形的对角线均互相平分，属于平行四边形共有性质，故C不符合题意．
D、对角线相等：矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等（除非为正方形），因此D是矩形特有而菱形不一定具有的性质．
故选：D
4．C
解：四边形是平行四边形，对角线互相平分，故A不一定是菱形；
四边形是平行四边形，对边相等，故B不一定是菱形；
图C中，根据三角形的内角和定理可得：，邻边相等，四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形；
四边形是平行四边形，对边平行，故D不一定是菱形．
故选：C．
5．B
解：∵将矩形沿对角线折叠，
∴，
∵，
∴；
故选B．
6．C
解：由题意得：，
∵
∴，
解得：，
∴，，
作，如图所示：
则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．C
解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∴
故选C．
8．D
A.
由折叠知，，
故A正确；
B.
由折叠知，，且，
∴，
故B正确；
C.
∵，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵，AD=BC=4，
∴，
∴，
故C正确；
D.
∵，
故D不正确．
故选：D．
9．C
解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵正方形ABCD，
∴∠D=∠ABF=90°，AD=AB，
∵BF=DM，
∴△ADM≌△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．
∴∠FAB＝∠MAE
∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE＝∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝5．
∵DM＝2，
∴CM＝3．
∴在Rt△BCM中，BM＝，
∴EF＝，
故选：C．
10．D
解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，则，
∵的周长为4，
∴，解得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
11．/度
解：∵四边形是菱形，是对角线，，
∴，
故答案为： ．
12．12
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，
∴∠DCB=90°，DC=AB=6，AC=BD，
∵∠DBC=30°，
∴BD=2DC=12，
∴AC=BD=12，
故答案为：12．
13．（答案不唯一）
解：添加条件，则可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
14．/30度
如图，过点H作．并设与相交于点K．
∵，则．
∴，，又，
∴，
由对称性折叠性知，，．
∴，则，．
∴，
∴．
故答案为：．
15．．
如图所示：连接 EC，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD 平分∠ABC ， AB = BC ，
在△ABE 和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE ( SAS )，
∴∠BAE =∠BCE =90°，
则 AE = CE =．
故答案为：．
16．49
解：∵在正方形中，点是正方形中心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积为49，
故答案为：49．
17．
解：如图，作于H，于Q，
∵四边形是矩形，
∴，
由旋转得，，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
故答案为： ．
18．6
解：由图象得：当x＝a时，△PCD的面积y＝a，此时点P与点E重合，
∴×8×8＝a，
∴a＝5，
∴DE＝5×2＝10（cm），
∴AE＝＝＝6cm，
∴BE＝AB﹣AE＝2（cm），
∴b＝5+ ＝6，
故答案为：6．
19．
解：四边形是矩形，
，，
点分别是的中点，，
，，
四边形是平行四边形，
点分别是的中点，
，，，
，，，
，
故答案为：．
20．
解：如图,连接,过点作,使得,连接.

∵四边形是菱形,
∴, ，
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
，
，
∴的最小值为．
故答案为：.
21．
证明：∵，
∴，．
∵，，，
∴，
∴，
四边形是矩形．
22．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
根据折叠的性质∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠BDF，
∴BE＝DE，
在△DCE和△BFE中，
，
∴△DCE≌△BFE(AAS)；
（2）①由翻折的性质可知：∠ADB=∠BDF=30°．
∵∠ADC=90°，
∴∠EDC=30°．
在Rt△BCD中，
∵CD＝4，∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴BD＝8，
∴BC＝＝4，
在Rt△ECD中，
∵CD＝4，∠EDC＝30°，
∴DE＝2EC，
∴（2EC）2-EC2＝CD2，
∴CE＝，
∴BE＝BC-EC＝，
∴△BED的面积为；
②∵∠BDF=30°，∠EDC＝30°，∠C＝∠EGD＝90°，
∴EG＝CE，
由①得CE＝，
∴EG＝．
．
23．
（1）证明：由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝4﹣t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，，
∵AP=CQ，又，
∴四边形AQCP为平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝1.5，
故当t＝1.5s时，四边形AQCP为菱形．
24．
（1）证明：四边形是矩形，
．
又，
，
四边形是矩形．
（2）解：是的中点，
．
，
∴，
∵，
∴，
．
是的中点，，
．
四边形是矩形，
．
， ．
矩形的面积为．
25．
（1）解：四边形是正方形，
，
在中，
（2）解：四边形是正方形，
，
，
，，
又，
，
即是个定值，要使周长最小，就要使长度最小
在中，，
当最小时，取得最小值
连接，交于点O，
在正方形中，，
如图2，当，即点E与点O重合时最小，
此时，
的周长最小值是
（3）解：解：如图3，在上截取，连接．
在正方形中，，
又，
，
由（2）知，
，
又，，
，即
又，
，
，
26．
（1）和是等边三角形，
，，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
和是等边三角形，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
；
（3）如图3，作交于，过作交于，
由（1）（2）同理可得，
，
设，则，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
．