沪科八下19.3 矩形、菱形、正方形 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科八下19.3 矩形、菱形、正方形 同步练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 553.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-04 00:00:00 | ||
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文档简介
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19.3 矩形、菱形、正方形
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
2．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．5
3．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
4．如图，在正方形 中，点 边不动，将正方形向左下方推动变形，使点D落在Y轴的点D'处，点C落在点C'处，则经过点C'的反比例函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
5．矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ ）
A．对角线垂直 B．对角线互相平分
C．四个角都是直角 D．对角线相等
6．如图，周长为34的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为
（ ）
A．280 B．140 C．70 D．196
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0， ），分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2， ） C．（ ，2） D．（ +1，
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A． B．，
C． D．
9．如图，正方形 的边长是4， 在 上，且 ， 是 边上的一动点，则 周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边平行于坐标轴，对角线 经过坐标原点，点 在函数 的图象上，若点 的坐标是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
11．已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的周长是 cm．
12．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
13．“矩形的对角线相等”的逆命题为 ，该逆命题是 命题（真、假）
14．如图，在正方形 中， 是 边上的点，过点 作 于 ，若 ，则 的度数为 .
15．中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为 cm．
三、解答题
16．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为．
17．如图，矩形的对角线，相交于点O，．
求证：四边形是菱形．
18．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
19．如图，在四边形 中， ， .
求证：四边形 是矩形.
20．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD.求证：OE与CD互相垂直平分.
21．如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH.
求证：∠DHO=∠DCO.
22．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23．正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD， 垂足为F，求证：EF＝AP
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
2．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
4．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
8．【答案】B
【知识点】菱形的判定
9．【答案】D
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质
11．【答案】20
【知识点】菱形的性质
12．【答案】4
【知识点】矩形的判定与性质
13．【答案】如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形；假
【知识点】矩形的判定与性质；真命题与假命题；逆命题
14．【答案】67.5°
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
15．【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质
16．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
17．【答案】证明：，
四边形是平行四边形．
四边形是矩形，
，，
，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
18．【答案】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE=AD，
∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴ BECD是矩形
【知识点】矩形的判定
19．【答案】证明：连接
∵
∴ 和 都是直角三角形
∴在 和 中
∴在
∴
∵ ，
∴四边形 为平行四边形
∵
∴ 为矩形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定
20．【答案】证明：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=OD=OB（矩形的对角线相等且互相平分），
又∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵OC=OD，
∴四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD且OE与CD互相平分（菱形的对角线互相垂直平分）.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，OD=OB，∠COD=90°.
∵DH⊥AB，
∴OH=OB，
∴∠OHB=∠OBH.
又∵AB//CD，
∴∠OBH=∠ODC，
∴∠OHB=∠ODC.
∵在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°
∴∠DHO=∠DCO.
【知识点】余角、补角及其性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
22．【答案】解：证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PEN=180°，∴∠PBM=∠PEN，在△PBM和△PEN中∴△PBM≌△PEN（AAS），∴PB=PE；如图2，连结PD，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，CA平分∠BCD，∴∠BCP=∠DCP，在△CBP和△CDP中 ，∴△CBP≌△CDP（SAS），∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PED=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PED=∠PDE，∴PD=PE，∴PB=PE；如图3，PB=PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∴∠MPN=90°，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠BPM+∠MPE=90°，而∠MEP+∠EPN=90°，∴∠BPM=∠EPN，在△PBM和△PEN中 ，∴△PBM≌△PEN（ASA），∴PB=PE.
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质
23．【答案】证明：分别延长FP、EP交AB于F'，AD于E'，可知四边形BEPF'和FPE′D是正方形，∴PE=PF'=AE'，PF=PE'．且∠AE'P=∠EPF．∴△APE'≌△EFP．∴AP=EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
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19.3 矩形、菱形、正方形
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（ ）
A．6 B．5 C． D．
2．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．5
3．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（ ）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
4．如图，在正方形 中，点 边不动，将正方形向左下方推动变形，使点D落在Y轴的点D'处，点C落在点C'处，则经过点C'的反比例函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
5．矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ ）
A．对角线垂直 B．对角线互相平分
C．四个角都是直角 D．对角线相等
6．如图，周长为34的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为
（ ）
A．280 B．140 C．70 D．196
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为（0， ），分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF恰好经过点D，则点D的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2， ） C．（ ，2） D．（ +1，
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A． B．，
C． D．
9．如图，正方形 的边长是4， 在 上，且 ， 是 边上的一动点，则 周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边平行于坐标轴，对角线 经过坐标原点，点 在函数 的图象上，若点 的坐标是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
11．已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的周长是 cm．
12．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
13．“矩形的对角线相等”的逆命题为 ，该逆命题是 命题（真、假）
14．如图，在正方形 中， 是 边上的点，过点 作 于 ，若 ，则 的度数为 .
15．中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为 cm．
三、解答题
16．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为．
17．如图，矩形的对角线，相交于点O，．
求证：四边形是菱形．
18．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
19．如图，在四边形 中， ， .
求证：四边形 是矩形.
20．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD.求证：OE与CD互相垂直平分.
21．如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH.
求证：∠DHO=∠DCO.
22．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
23．正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD， 垂足为F，求证：EF＝AP
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
2．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
4．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
8．【答案】B
【知识点】菱形的判定
9．【答案】D
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质
11．【答案】20
【知识点】菱形的性质
12．【答案】4
【知识点】矩形的判定与性质
13．【答案】如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形；假
【知识点】矩形的判定与性质；真命题与假命题；逆命题
14．【答案】67.5°
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
15．【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质
16．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
17．【答案】证明：，
四边形是平行四边形．
四边形是矩形，
，，
，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
18．【答案】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE=AD，
∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴ BECD是矩形
【知识点】矩形的判定
19．【答案】证明：连接
∵
∴ 和 都是直角三角形
∴在 和 中
∴在
∴
∵ ，
∴四边形 为平行四边形
∵
∴ 为矩形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定
20．【答案】证明：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=OD=OB（矩形的对角线相等且互相平分），
又∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵OC=OD，
∴四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD且OE与CD互相平分（菱形的对角线互相垂直平分）.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，OD=OB，∠COD=90°.
∵DH⊥AB，
∴OH=OB，
∴∠OHB=∠OBH.
又∵AB//CD，
∴∠OBH=∠ODC，
∴∠OHB=∠ODC.
∵在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°
∴∠DHO=∠DCO.
【知识点】余角、补角及其性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
22．【答案】解：证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PEN=180°，∴∠PBM=∠PEN，在△PBM和△PEN中∴△PBM≌△PEN（AAS），∴PB=PE；如图2，连结PD，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，CA平分∠BCD，∴∠BCP=∠DCP，在△CBP和△CDP中 ，∴△CBP≌△CDP（SAS），∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PED=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PED=∠PDE，∴PD=PE，∴PB=PE；如图3，PB=PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∴∠MPN=90°，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠BPM+∠MPE=90°，而∠MEP+∠EPN=90°，∴∠BPM=∠EPN，在△PBM和△PEN中 ，∴△PBM≌△PEN（ASA），∴PB=PE.
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质
23．【答案】证明：分别延长FP、EP交AB于F'，AD于E'，可知四边形BEPF'和FPE′D是正方形，∴PE=PF'=AE'，PF=PE'．且∠AE'P=∠EPF．∴△APE'≌△EFP．∴AP=EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
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