沪科八下18.1 勾股定理 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科八下18.1 勾股定理 同步练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 546.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-04 00:00:00 | ||
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文档简介
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18.1 勾股定理
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点 F，交于点 O．若点O是的中点，则的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．
2．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20 cm
3．如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中 ， ，则 的长是（ ）
A．7 B．8 C． D．
4．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测点O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16则c2为（ ）
A．25 B．7 C．7或25 D．9或16
7．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB= ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．5
8．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么 的值为（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
9．如图，一个梯子 斜靠在一竖直的墙 上，测得 .若梯子的顶端沿墙下滑 ，这时梯子的底端也恰好外移 ，则梯子的长度 为（ ） .
A．2.5 B．3 C．1.5 D．3.5
10．如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（ ）
A．9 B． C． D．12
二、填空题
11．直角三角形的三边长分别为 、 、 ，若 ， ，则 ．
12．如图，正方形 的边长为8，点E是 上的一点，连接 并延长交射线 于点F，将 沿直线 翻折，点B落在点N处， 的延长线交 于点M，当 时，则 的长为 .
13．在△ABC中，AB=10，AC=2 ，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于 ．
14．在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为 ．
15．如图，等边 的边长为 ， 是 边上的中线， 是 上的动点， 是 边上一点，若 ，则 的最小值为 .
三、解答题
16．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米.如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B将向左滑动多少米？
17．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长．
18．如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，求的面积？
19．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
20．如图，滑杆在机械槽内运动， 为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）.
21．如图，一架长2.5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，则梯子的底端将滑出多少米？
22．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；
②GE= ．
23．（1）【操作发现】
如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形．
（2）【类比探究】
如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长．
（3）【解决问题】
如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积．
（4）【拓展应用】
如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
6．【答案】C
【知识点】勾股定理
7．【答案】D
【知识点】勾股定理
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
11．【答案】 或5
【知识点】勾股定理
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
13．【答案】10或6
【知识点】勾股定理
14．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
15．【答案】7
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
16．【答案】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，
即AC2＋0.72＝2.52，
∴AC＝2.4.
在△A1B1C中，∠C＝90°，
∴A1C2＋B1C2＝A1B12，
即(2.4–0.4)2＋B1C 2＝2.52，
∴B1C＝1.5.
∴B1B＝1.5–0.7＝0.8，即点B将向左移动0.8米.
【知识点】勾股定理
17．【答案】解：根据题意可知：设米，则米，
在中，，，
即，
解得：，
即米，
答．该河的宽度为75米．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
18．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
19．【答案】解：设水深x尺，芦苇（x+1）尺，
由勾股定理：x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，x+1=13，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
【知识点】勾股定理的应用
20．【答案】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC-x，
∵ 米， 米， ，
∴ ，
∴ 米，
∵ 米，
∴在 中， ，
∴ ， ，即 米，
答：梯子下滑0.5米.
【知识点】勾股定理的应用
21．【答案】解：如图AB=CD=2.5米，OB=0.7米，AC=0.4，求BD的长．
在Rt△AOB中，
∵AB=2.5，BO=0.7，
∴AO=2.4，
∵AC=0.4，
∴OC=2，
∵CD=2.5，
∴OD=1.5，
∵OB=0.7，
∴BD=0.8．
即梯子底端将滑动了0.8米．
【知识点】勾股定理的应用
22．【答案】解：（1）概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．
理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
(3)问题解决：①连接CG、BE，如图3所示：
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
∴∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，
∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，
∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
23．【答案】（1）等边（2）（3）（4）
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
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18.1 勾股定理
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点 F，交于点 O．若点O是的中点，则的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．
2．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20 cm
3．如图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中 ， ，则 的长是（ ）
A．7 B．8 C． D．
4．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测点O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16则c2为（ ）
A．25 B．7 C．7或25 D．9或16
7．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB= ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．5
8．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么 的值为（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
9．如图，一个梯子 斜靠在一竖直的墙 上，测得 .若梯子的顶端沿墙下滑 ，这时梯子的底端也恰好外移 ，则梯子的长度 为（ ） .
A．2.5 B．3 C．1.5 D．3.5
10．如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（ ）
A．9 B． C． D．12
二、填空题
11．直角三角形的三边长分别为 、 、 ，若 ， ，则 ．
12．如图，正方形 的边长为8，点E是 上的一点，连接 并延长交射线 于点F，将 沿直线 翻折，点B落在点N处， 的延长线交 于点M，当 时，则 的长为 .
13．在△ABC中，AB=10，AC=2 ，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于 ．
14．在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为 ．
15．如图，等边 的边长为 ， 是 边上的中线， 是 上的动点， 是 边上一点，若 ，则 的最小值为 .
三、解答题
16．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米.如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B将向左滑动多少米？
17．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长．
18．如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，求的面积？
19．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
20．如图，滑杆在机械槽内运动， 为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）.
21．如图，一架长2.5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，则梯子的底端将滑出多少米？
22．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；
②GE= ．
23．（1）【操作发现】
如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形．
（2）【类比探究】
如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长．
（3）【解决问题】
如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积．
（4）【拓展应用】
如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
6．【答案】C
【知识点】勾股定理
7．【答案】D
【知识点】勾股定理
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
11．【答案】 或5
【知识点】勾股定理
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
13．【答案】10或6
【知识点】勾股定理
14．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
15．【答案】7
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
16．【答案】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，
即AC2＋0.72＝2.52，
∴AC＝2.4.
在△A1B1C中，∠C＝90°，
∴A1C2＋B1C2＝A1B12，
即(2.4–0.4)2＋B1C 2＝2.52，
∴B1C＝1.5.
∴B1B＝1.5–0.7＝0.8，即点B将向左移动0.8米.
【知识点】勾股定理
17．【答案】解：根据题意可知：设米，则米，
在中，，，
即，
解得：，
即米，
答．该河的宽度为75米．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
18．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
19．【答案】解：设水深x尺，芦苇（x+1）尺，
由勾股定理：x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，x+1=13，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
【知识点】勾股定理的应用
20．【答案】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC-x，
∵ 米， 米， ，
∴ ，
∴ 米，
∵ 米，
∴在 中， ，
∴ ， ，即 米，
答：梯子下滑0.5米.
【知识点】勾股定理的应用
21．【答案】解：如图AB=CD=2.5米，OB=0.7米，AC=0.4，求BD的长．
在Rt△AOB中，
∵AB=2.5，BO=0.7，
∴AO=2.4，
∵AC=0.4，
∴OC=2，
∵CD=2.5，
∴OD=1.5，
∵OB=0.7，
∴BD=0.8．
即梯子底端将滑动了0.8米．
【知识点】勾股定理的应用
22．【答案】解：（1）概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．
理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
(3)问题解决：①连接CG、BE，如图3所示：
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
∴∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，
∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，
∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
23．【答案】（1）等边（2）（3）（4）
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
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