《学霸笔记·同步精讲》10.1.1　有限样本空间与随机事件（课件）高中数学人教A版必修二

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10.1.1　有限样本空间与随机事件
课标定位
素养阐释
1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义.
2.理解随机事件与样本点的关系.
3.会用适当的符号表示随机试验的样本空间.
4.会用集合表示随机事件,理解样本空间与随机事件的关系.
5.提升数学抽象、逻辑推理和数据分析等素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、随机现象与随机试验的含义
1.下列随机试验:(1)抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况;(2)抛掷一枚骰子,观察它落地时朝上的面的点数.分别说一说(1)和(2)中试验有哪些可能的结果.你能事先确定这两个试验出现哪种结果吗
提示:试验(1)有正面朝上、反面朝上两个可能结果;试验(2)朝上的面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能结果.不能.
2.(1)随机现象的定义:就一次观测而言,出现哪种结果具有
偶然性,但在大量重复观测下,各个结果出现的频率却具有
稳定性.这类现象叫做随机现象.
(2)随机试验的定义:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母 E 表示.
(3)随机试验具有的特点:
①试验可以在相同条件下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
3.(多选题)以下试验是随机试验的是(　　)
A.练习投篮5次,观察命中的次数
B.买一张福利彩票,观察中奖情况
C.从合格率为90%的100件产品中任意抽取1件,检查是否为合格品
D.将一块石头抛向空中,观察是否落地
解析:根据随机试验的特点,A,B,C都符合,选项D,将一块石头抛向空中,结果只有一个:落地,不符合随机试验的特点.
答案:ABC
二、试验的样本空间和样本点
1.单项选择题一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案,如果有一名学生有一题不会做,他随机选择一个选项作为答案,这个随机试验共有多少个可能结果 如何表示这些结果
提示:4个可能结果.这些结果可用集合表示为{A,B,C,D}.
2.(1)样本点的定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,用ω表示样本点.
(2)样本空间的定义:全体样本点的集合称为试验E的样本空间,用Ω表示样本空间.
(3)有限样本空间的定义:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω= {ω1,ω2,…,ωn} 为有限样本空间.
3.某射击运动员射击靶一次,观察射中的环数,则试验的样本空间为(　　)
A.Ω={10}
B.Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
C.Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
D.Ω={7,8,9}
解析:因为射击时靶子有1~10环,还有脱靶的情况,脱靶表示射中0环,所以样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
答案:C
三、随机事件及其表示
1.在抛掷一枚骰子的试验中,出现“朝上的面的点数为奇数”是随机事件吗 如何用集合的形式表示这一事件
提示:是,这一事件可用集合表示为{1,3,5}.
2.(1)随机事件:一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
(2)基本事件:把只包含一个样本点的事件称为基本事件.
(3)必然事件与不可能事件:①Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
②空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称 为不可能事件.
3.抛掷一枚骰子,观察朝上的面的点数,则事件A=“点数不大于4”的集合表示为　　　　　.
解析:朝上的面的点数不大于4,包含的点数是1,2,3,4点,
所以A={1,2,3,4}.
答案:{1,2,3,4}
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)“早晨太阳从东方升起”这一现象是随机现象.( × )
(2)随机试验的所有可能结果是不明确的.( × )
(3)必然事件不是样本空间Ω的子集.( × )
(4)随机试验的样本空间是一个集合.( √ )
(5)我们一般用列举法表示样本空间和随机事件.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一 写出随机试验的样本空间
【例1】 写出下列各随机试验的样本空间:
(1)出生婴儿的性别;
(2)过红绿灯路口时,观察遇上的交通指挥灯的颜色;
(3)从含有5件次品的100件产品中任取3件,记录其中的次品数;
(4)从装有大小和质地完全相同、分别标有a,b,c,d的4个球的袋中,任取1个球.
分析:根据试验的可能结果,用集合表示样本空间.
解:(1)因为出生婴儿的性别只有男和女两个可能结果,所以试验的样本空间Ω={男,女}.
(2)因为交通指挥灯的颜色只有红色、绿色和黄色,所以试验的样本空间Ω={红,绿,黄}.
(3)因为任取3件,次品数可能有0,1,2,3件,所以试验的样本空间Ω={0,1,2,3}.
(4)任取1个球,可能的基本结果为a,b,c,d,所以试验的样本空间Ω={a,b,c,d}.
(5)任取2个球,用样本点(a,b)表示一次试验中取出的球是a和b,则样本空间{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}.
1.本例(4)中,添加条件“任取1个球,记下标记后放回,连续取两次”,则试验的样本空间是什么
解:第一次取球可能的结果用x表示,第二次取球可能的结果用y表示,那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是试验的样本空间Ω={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,a),(c,b), (c,c),(c,d),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d)}.
2.本例(4)中,添加条件“任取1个球,记下标记后不放回,连续取两次”,则试验的样本空间是什么
解:样本点的表示同[延伸探究]1题,则样本空间Ω={(a,b),(a,c), (a,d),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,b),(c,d),(d,a),(d,b),(d,c)}.
3.本例(4)中,条件“任取1个球”改为“一次性任取2个球”,对应的样本空间是什么
解:一次性任取2个球,用样本点(a,b)表示一次性取出的球是a和b,则样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}.
不重不漏地写出试验的样本空间的方法:
(1)样本空间只与问题的背景有关,根据问题的背景明确试验的每个可能的基本结果;
(2)根据日常生活经验,按照一定的顺序列举出所有样本点,用集合表示样本空间.也可以借助树状图、列表等方法帮助我们列出试验的所有可能结果.
【变式训练1】 写出下列各随机试验的样本空间:
(1)甲、乙两队进行一场足球比赛,观察比赛结果(可以是平局);
(2)小明练习投篮10次,观察小明投篮命中的次数;
(3)某人射击两次,观察各次射击中靶或脱靶情况.
解:(1)因为比赛一场,结果有3种:甲赢、乙赢、平局,所以试验的样本空间Ω={甲赢、乙赢、平局}.
(2)因为投篮10次,命中的次数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共11个可能的基本结果,所以试验的样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
(3)射击两次,用(中,脱)表示第一次射击中靶,第二次射击脱靶,那么试验的样本空间Ω={(中,中),(中,脱),(脱,中),(脱,脱)}.也可以用1表示射击中靶,用0表示射击脱靶,那么试验的样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.
探究二 用集合表示随机事件
【例2】 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球,这些球大小和质地完全相同,现从甲、乙两个盒子中各随机摸出一个球.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:
A=“从甲盒子中摸出3号球”;
B=“摸出的两个球上的标号为相邻整数”;
C=“摸出的两个球上的标号之和能被3整除”.
解:(1)用x1,x2分别表示从甲、乙两个盒子中摸出的球的标号,则可以用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1,x2∈{1,2,3,4},则试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)“从甲盒子中摸出3号球”等价于x1=3,
所以A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
“摸出的两个球上的标号为相邻整数”等价于x1,x2为相邻整数,所以B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.
因为2≤x1+x2≤8,所以“摸出的两个球上的标号之和能被3整除”等价于x1+x2=3,x1+x2=6,
所以C={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,3)}.
1.随机试验的每个随机事件A是试验的样本空间Ω的一个子集,即随机事件A中的元素都是样本空间Ω中的元素.
2.解决此类问题,要注意题设中的摸球方式,本题中(1,2)表示从甲盒子中摸出1号球,从乙盒子中摸出2号球,(2,1)表示从甲盒子中摸出2号球,从乙盒子中摸出1号球,是两个不同的样本点.如果从一个盒子中一次性摸两个球,那么(1,2)与(2,1)都表示摸出1号球和2号球,是一个样本点,因此解决此类问题,审清题意很关键,否则容易出错.
【变式训练2】 袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:
①A=“三次颜色恰有两次同色”;
②B=“三次颜色全相同”;
③C=“三次摸到的红球多于白球”.
解:(1) 样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),
(白,红,红),(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.
(2)①事件A={(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),
(白,红,白),(白,白,红)}.
②事件B={(红,红,红),(白,白,白)}.
③事件C={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红)}.
易 错 辨 析
不能正确理解试验结果致错
【典例】 随机选择一个有两个小孩的家庭,观察两个孩子的性别.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示随机事件A=“一个男孩,一个女孩”.
错解:(1)因为两个孩子的性别共有“两男”“两女”“一男一女”三种可能的结果,所以样本空间Ω={(男,男),(男,女),(女,女)}.
(2)因为“一个男孩,一个女孩”的结果就一种,所以A={(男,女)}.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:将“一男一女”与“一女一男”两种可能结果错认为是一种,两个孩子出生有先后顺序,先男后女与先女后男不是同一种可能结果.
正解:(1)因为两个孩子的性别共有“两男”“两女”“男女”“女男”四种可能的结果,
所以样本空间Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.
(2)因为“一个男孩,一个女孩”的可能结果有两种,
所以A={(男,女),(女,男)}.
1.把握随机试验的实质,明确试验的条件.
2.若在题干中强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”就必须注意顺序问题,列举样本空间与随机事件时要做到不重不漏.
【变式训练】 从1,2,3,4这四个数字中,不放回地取两次,每次取一个.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示A=“取出的两个数,其中一个数是另一个数的2倍”.
解:(1)用x,y分别表示第一次、第二次取出的数字,则数组(x,y)表示这个试验的一个样本点,则x,y∈{1,2,3,4},且x≠y,所以样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3)}.
(2)因为两个数成2倍关系的有1和2,2和4,
所以A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)}.
随 堂 练 习
1.从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是(　　)
A.3件都是正品 B.3件都是次品
C.至少有1件次品 D.至少有1件正品
解析:从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是至少有1件正品.
答案:D
2.某人将一枚硬币连续抛掷了6次,观察正面朝上的次数,则样本空间为(　　)
A.{3} B.{1,2,3,4,5,6}
C.{0,1,2,3,4,5,6} D.{2,3,4}
解析:正面朝上的次数可能是0,1,2,3,4,5,6,
故样本空间为{0,1,2,3,4,5,6}.
答案:C
3.(多选题)袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小球,从中一次性随机取出两个,则下列事件是基本事件的是(　　)
A.取出的两球的标号为3和7
B.取出的两球的标号之和为4
C.取出的两球的标号都大于3
D.取出的两球的标号之和为8
解析:基本事件即只含有一个样本点的事件,选项A,B,C中事件都只含有一个样本点,是基本事件,D中事件包含(1,7)和(3,5)两个样本点,所以D中事件不是基本事件.
答案:ABC
4.抛掷两枚骰子,观察它们落地时朝上的面的点数,记事件A=“点数之和是5”,则事件A的集合表示为 　　　　　　.
解析:因为两枚骰子,(1,4)与(4,1)表示不同的样本点,所以A={(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}.
答案:{(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}
5.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字组成一个两位数,则事件A=“这个两位数大于40”的集合表示是　.
解析:因为这个两位数大于40,所以十位数字为4或5,
所以A={41,42,43,45,51,52,53,54}.
答案:{41,42,43,45,51,52,53,54}