《学霸笔记·同步精讲》10.1.3　古典概型（课件）高中数学人教A版必修二

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10.1.3　古典概型
课标定位
素养阐释
1.结合具体实例,理解古典概型及其两个特征.
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.
3.能根据问题情境建立概率模型,解决相应的实际问题.
4.提升数学抽象、数据分析和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、古典概型
1.做两个试验,试验一:抛一枚质地均匀的硬币,观察它落地时哪一面朝上.试验二:掷一枚质地均匀的骰子,观察它落地时朝上的面的点数.回答问题:
(1)在这两个试验中,样本空间分别包含几个样本点
提示:在抛硬币试验中,样本空间包含2个样本点,在掷骰子试验中,样本空间包含6个样本点.
(2)在这两个试验中,每个样本点发生的可能性相等吗
提示:每个样本点发生的可能性相等.
2.古典概型的定义:
具有如下共同特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
3.(多选题)下列试验中,是古典概型的有(　　)
A.某人射击中靶或不中靶
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C.四名同学用抽签法选一人参加会议
D.从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,观察取到的数是不是偶数
解析:A中,某人射击中靶与不中靶的概率不一定相等,所以A不是古典概型;B中,横坐标和纵坐标都为整数的点有无数个,所以B不是古典概型;C中,每名同学被选中的可能性相等,且共有4种可能结果,符合古典概型的特征,所以C是古典概型;D中,试验中所有可能出现的结果是有限的,且每个结果出现的可能性相等,所以D是古典概型.
答案:CD
二、古典概型的概率公式
1.思考下列两个问题:
(1)抛一枚质地均匀的硬币,观察它落地时哪一面朝上.记事件A=“正面朝上”,你认为事件A发生的可能性大小是多少 理由是什么
(2)掷一枚质地均匀的骰子,观察它落地时朝上的面的点数.记事件B=“点数不超过4”,请写出事件B包含的样本点,你认为事件B发生的可能性大小是多少 理由是什么
2.(1)事件的概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的概率公式:一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率 .其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3.(1)某中学举行高一广播体操比赛,共10个队参赛,为了确定出场顺序,学校制作了10个出场序号供大家抓阄,则高一(1)班抽到出场序号小于4的概率是(　　)
(2)按先后顺序抛两枚硬币,观察它们落地时正反面出现的情况,则恰好出现一个正面的概率是　　　.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)从所有整数中任取一个数的试验是古典概型.( × )
(2)种下一粒种子,试验的样本空间为{发芽,不发芽},所以种子发芽的概率为 .( × )
(3)不放回简单随机抽样和放回简单随机抽样,对应的样本空间相同.( × )
(4)同时掷两枚骰子,朝上的点数和的可能结果为2,3,4,5,6,7,8, 9,10,11,12,则点数和为7的概率是 .( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 古典概型的判断
【例1】 下列概率模型是否为古典概型
(1)袋中有大小和质地完全相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中随机摸出1个球,有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个样本点,是否为古典概型
(2)把一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上,将豆子所落的位置看作一个样本点,是否为古典概型
(3)一名射击运动员射击,把击中的环数看成样本点,是否为古典概型
分析:判断一个概率模型是否为古典概型,关键是看它是否满足两个特征:(1)有限性;(2)等可能性.
解:(1)因为共有11个球,且每个球有不同的编号,所以共有11种不同的摸法.
又因为所有球大小和质地完全相同,所以每个球被摸到的可能性相等.
故以每个球的编号为一个样本点的概率模型是古典概型.
(2)因为豆子落在桌面上的位置有无数个,即有无数个样本点,所以以豆子所落的位置为一个样本点的概率模型不是古典概型.
(3)由于运动员击中每一环的可能性大小不一定相等,故以击中的环数为样本点的概率模型不是古典概型.
本例(1)中条件不变,如果把球的颜色作为样本点,是否为古典概型
解:由于11个球共有3种颜色,因此共有3个样本点,即“摸得白球”“摸得黑球”“摸得红球”,但“摸得白球”的概率与“摸得黑球”或“摸得红球”的概率不相等,即不满足等可能性,故不是古典概型.
1.一个试验是否为古典概型,在于其是否具有两个特征:有限性和等可能性.
2.并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型;
(1)样本空间的样本点个数有限,但非等可能.
(2)样本空间的样本点个数无限,但等可能.
(3)样本空间的样本点个数无限,也不等可能.
【变式训练1】 (多选题)下列概率模型中,是古典概型的为
(　　)
A.从区间[1,10]上任取一个实数,求取到1的概率
B.从1~10中任意取一个整数,求取到1的概率
C.在一个正方形ABCD内画一点P,求点P恰好与点A重合的概率
D.甲、乙、丙三人随机站成一排,求甲站在中间的概率
解析:A中概率模型不是古典概型,因为从区间[1,10]上任意取出一个实数,有无数个对象可取,所以不满足“有限性”;B中概率模型是古典概型,因为试验的样本空间有10个样本点,而且每个样本点被取到的可能性相等,即满足有限性和等可能性;C中概率模型不是古典概型,因为在一个正方形ABCD内画一点P,有无数个点,所以不满足“有限性”;D中概率模型是古典概型,因为满足古典概型的两个特征.故选BD.
答案:BD
探究二 古典概型概率的求法
【例2】 某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛.
(1)用表中字母列举出试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;
(2)设M=“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
分析:用列举法表示试验的样本空间及事件M,代入古典概型的概率公式计算即可.
解:(1)从6名同学中随机选出2人,对应的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y),(B,Z),
(C,X),(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z)},共有15个样本点.
因为每人被选到的可能性大小相等,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.
(2)因为M={(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y)},
所以n(M)=6,
1.对于古典概型,事件A的概率为 ,其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
2.求古典概型概率的步骤为:
(1)判断是否为古典概型;
(2)算出试验的样本空间包含的样本点个数n;
(3)算出事件A包含的样本点个数k;
(4)算出事件A的概率,即
在运用公式计算时,关键在于求出k,n.在求n时,应注意这n种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.
【变式训练2】 某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)及体重指数(单位:kg/m2)如表中所示.
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,设事件M=“选到的2人身高都在1.78以下”,求事件M的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,设事件N=“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指数都在区间[18.5,23.9)内”,求事件N的概率.
分析:用列举法表示试验的样本空间及事件M,N,注意这两问试验不同,样本空间也不同.
解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,对应的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共6个样本点.
由于每个人被选到的机会均等,故这些样本点的出现是等可能的.
身高在1.78以下的有A,B,C三人,即M={(A,B),(A,C),(B,C)},
包含3个样本点.
因此事件M的概率
(2)从该小组同学中任选2人,对应的样本空间Ω={(A,B),(A,C), (A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共10个样本点.
由于每个人被选到的机会均等,故这些样本点的出现是等可能的.
身高在1.70以上且体重指数在区间[18.5,23.9)内的有C,D,E三人,即N={(C,D),(C,E),(D,E)},包含3个样本点.
因此事件N的概率
探究三 较复杂的古典概型概率的计算问题
【例3】 袋子中装有除颜色外完全相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球.
(1)若从中一次性任意摸出2个球,求恰有1个黑球和1个红球的概率;
(2)若从中依次任意摸出2个球,第1个球给小朋友甲,第2个球给小朋友乙,求甲、乙两名小朋友拿到的球中至少有1个黑球的概率.
分析:按照古典概型的概率公式计算,注意试验的条件不同,对应的样本空间不同.
解:(1)从中一次性任意摸出2个球,样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共有10个等可能出现的样本点.
设事件A=“恰有1个黑球和1个红球”,
则A={(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)},包含6个样本点.
因此
(2)用(x,y)表示样本点,x表示给甲的小球的编号,y表示给乙的小球的编号,则样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,c), (b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(c,d),(c,e),(d,a),(d,b),(d,c),(d,e),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d)},共有20个等可能出现的样本点.
设事件B=“甲、乙两名小朋友拿到的球中至少有1个黑球”,则B={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,c),(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(d,a),
(d,b),(e,a),(e,b)},包含14个样本点.
因此
求解古典概型问题的一般思路:
(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.
【变式训练3】 从含有编号为a1,a2的两件正品和编号为b的一件次品中依次任意抽取两件.
(1)分别写出不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样的样本空间;
(2)在两种抽样方式下,分别计算抽到的两件产品中恰有一件次品的概率.
解:(1)根据相应的抽样方法可知,不放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.
有放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b)}.
(2)对于不放回简单随机抽样,设事件A=“两件产品中恰有一件次品”,则A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},包含4个样本点.
对于有放回简单随机抽样,设事件B=“两件产品中恰有一件次品”,则B={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},包含4个样本点.
易 错 辨 析
对随机试验的结果理解不清致错
【典例】 抛掷两枚质地均匀的骰子,求“出现的点数之和为奇数”的概率.
错解:抛掷两枚骰子,出现的点数之和的可能结果有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以试验的样本空间Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},共有11个样本点.设事件A=“出现的点数之和为奇数”,则事件A={3,5,7,9,11},包含5个样本点,故P(A)= ,即出现的点数之和为奇数的概率为 .
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:出现点数之和的11种可能结果不是等可能的,如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性大小不相等.因此以点数之和为样本点不属于古典概型,不能应用古典概型概率公式计算.
正解:抛掷两枚骰子,其可能的结果即样本点可用数组(i,j)表示,i,j分别表示这两枚骰子出现的点数,则i,j∈{1,2,…,6},样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个样本点.
因为两枚骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.
设事件A=“出现的点数之和为奇数”,则A={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),
(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)},包含18个样本点.
1.本题错解在计算随机试验的样本空间时,以点数之和作为样本点,不符合古典概型的等可能性,本题的随机试验是“抛掷两枚质地均匀的骰子,以两枚骰子出现的点数作为样本点”是古典概型,所以弄清随机试验的条件及要观察的结果是关键,突破这一思维障碍的有效方法是审清题意,找准随机试验的条件及要观察的结果,不要受所求事件的影响.
2.用古典概型求概率时,要选择合适的方式表示样本点及样本空间,以使得各个样本点出现的可能性相等,并且使所考察的事件能表示为样本空间的子集.
【变式训练】 一个正方体玩具的6个面分别标有数字1,2,2,2, 3,3.若连续抛掷该玩具两次,则向上一面数字之和为5的概率为　　　　　.
解析:样本空间有6×6=36个样本点,若两次向上一面的数字之和为5,则一次为2,一次为3,共有12个样本点,故所求概率
随 堂 练 习
1.下列试验中是古典概型的是(　　)
A.在适宜的条件下,种下一粒大豆,观察它是否发芽
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球
C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的
D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10环、命中9环……命中0环
解析:根据古典概型的特征,A项中,种子发芽与否的概率不一定相等;B项中,每个球被摸到的概率相等,且只有4个球;C项中,样本点个数是无限的;D项中,射击命中环数的概率不一定相等.故只有B项是古典概型.
答案:B
2.一个家庭中有两个小孩,这两个小孩都为女孩的概率为
(　　)
解析:两个小孩的性别包括4种等可能情况:(男,女),(女,男),(女,女),(男,男),样本点总数为4,故两个小孩都为女孩的概率为
答案:C
3.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是(　　)
解析:样本空间Ω={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的样本点个数为15,事件“b>a”可表示为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的样本点个数为3,所以所求概率
答案:D
4.将一枚骰子连续抛掷两次,至少有一次出现的点数为1的概率是　　　　　.
解析:将一枚骰子连续抛掷两次,显然,这个随机试验的样本空间中共有36个等可能出现的样本点,“至少有一次出现的点数为1”包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1), (4,1),(5,1),(6,1),共11个,所以所求的概率
5.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同的字母,则取到字母a的概率为　　　　　.
解析:样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d), (c,e),(d,e)},共有10个样本点,含字母a的有4个,故所求概率为