《学霸笔记·同步精讲》10.1.4　概率的基本性质（课件）高中数学人教A版必修二

(共39张PPT)
10.1.4　概率的基本性质
课标定位
素养阐释
1.通过实例,理解概率的性质.
2.掌握随机事件概率的运算法则.
3.会利用互斥事件的概率加法公式及其他概率的性质,计算随机事件的概率,解决简单的实际问题.
4.提升数学抽象、数据分析和数学运算等素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
概率的性质
1.思考下列问题:
(1)概率的定义是什么 根据概率的定义你能得出事件的概率是什么样的数吗
提示:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,根据概率的定义,我们得到事件的概率都是非负数.
(2)在每次试验中,必然事件是什么 包含多少个样本点
提示:必然事件是样本空间Ω,样本空间Ω包含的样本点个数.
(3)在每次试验中,不可能事件是什么 包含多少个样本点
提示:不可能事件是空集 ,不包含任何样本点.
2.概率的性质:
性质1　对任意的事件A,都有P(A) ≥ 0.
性质2　必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,即P(Ω)=1,P( )=0 .
性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= P(A)+P(B) .
如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么P(A1∪A2∪…∪Am)= P(A1)+P(A2)+…+P(Am) .
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)= 1-P(A) , P(A)= 1-P(B) .
性质5　如果A B,那么P(A) ≤ P(B).
性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B) .
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A=“出现的点数大于4”,事件B=“出现的点数为5”,则P(A)与P(B)的大小关系是　　 . (填“≥”或“≤”)
答案:(1)C　(2)P(A)≥P(B)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)存在随机事件A,满足P(A)=1.5.( × )
(2)对于任意事件A,0≤P(A)<1.( × )
(4)如果P(A)≤P(B),那么A B.( × )
(5)如果事件A、事件B、事件C两两互斥,那么P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C).( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 互斥事件的概率的求法
【例1】 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示.
假设同种血型的人可以相互输血,O型血可以输给任一种血型的人,任一种血型的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能相互输血.小明是B型血,若他因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少
分析:将比例化为概率,根据事件之间的关系,选择概率公式计算.
解:对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们是两两互斥的.
由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.
(1)因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“任找一个人,其血可以输给小明”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“任找一个人,其血不能输给小明”为事件A'∪C',且P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”,对于较难判断关系的,必要时可利用Venn图或列出试验的样本空间及随机事件进行分析.
【变式训练1】 由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表所示.
(1)至多有2人排队的概率是多少
(2)至少有2人排队的概率是多少
排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
解:设商场付款处排队等候付款的人数为0,1,2,3,4和5人及以上的事件分别为A0,A1,A2,A3,A4,A5,可知这六个事件两两互斥.
(1)记事件B=“至多有2人排队”,则B=A0∪A1∪A2,P(B)=P(A0∪A1∪A2)=P(A0)+P(A1)+P(A2)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)记事件C=“至少有2人排队”,则C=A2∪A3∪A4∪A5,P(C)=P(A2∪A3∪A4∪A5)
=P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.
探究二 对立事件的概率的求法
【例2】 袋中有除颜色外其他完全相同的6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出2个球,求下列事件的概率:
(1)A=“取出的2个球都是白球”;
(2)B=“取出的2个球中有1个白球、1个红球”;
(3)C=“取出的2个球中至少有1个白球”.
分析:按照古典概型的概率公式计算P(A),P(B),根据事件C与事件A,B的关系求P(C)或利用对立事件的概率求P(C).
解:设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球,对应的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点,且每个样本点都是等可能出现的.
(1)因为A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},包含6个样本点,所以
(2)因为B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},包含8个样本点,所以
1.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥事件的并;二是先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率.
2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率加法公式:
如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);
如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
探究三 求事件的运算的概率
【例3】 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为4,5.从这五张卡片中任取两张,如果五张卡片被抽取的机会相等,分别计算下列事件的概率:
(1)事件A=“这两张卡片的颜色不同”;
(2)事件B=“这两张卡片的标号之和小于7”;
(3)事件C=“这两张卡片的颜色不同且标号之和小于7”;
(4)事件D=“这两张卡片的颜色不同或标号之和小于7”.
求交、并事件的概率的一般方法:
(1)交、并事件也是随机事件,利用交事件、并事件的含义列举对应的样本点,根据随机事件的概率公式计算;
(2)并事件的概率可以根据概率的性质:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)计算,特别地,若事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
易 错 辨 析
不能区分事件是否互斥致错
【典例】 掷一枚质地均匀的骰子,记事件A=“点数是奇数”,事件B=“点数不超过3”,求P(A∪B).
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:事件A与事件B不是互斥事件,不能应用概率的加法公式.
正解:(方法一)记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4.这四个事件两两互斥,
(方法二)事件A∪B=“点数是奇数或点数不超过3”,则A∪B={1,2,3,5},包含4个样本点,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},共有6个样本点,
1.在使用概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,注意使用的条件.
2.掌握互斥事件的特点,分清事件是否为互斥事件.
3.若事件A,B不互斥,则应用概率公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)计算概率.
【变式训练】 在投掷一枚质地均匀的骰子时,朝上面的点数为5或6的概率为　　　　.
解析:记事件A=“朝上面的点数为5”,事件B=“朝上面的点数为6”,则A与B互斥.
随 堂 练 习
1.口袋内装有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球,从中随机摸出1个球,摸出红球的概率是0.52,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是(　　)
A.0.2 B.0.28 C.0.52 D.0.8
解析:设事件M=“摸出红球”,事件N=“摸出白球”,事件E=“摸出黑球”,则P(M)+P(N)+P(E)=1,所以P(E)=1-P(M)-P(N)=1-0.52-0.28=0.2,故选A.
答案:A
2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A.60% B.30% C.10% D.50%
解析:设事件A=“甲获胜”,B=“甲不输”,C=“甲、乙和棋”,
则A,C互斥,且B=A∪C,故P(B)=P(A∪C)=P(A)+P(C),
即P(C)=P(B)-P(A)=50%.
答案:D
3.从一箱产品中随机抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65, P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽取的不是一等品”的概率为
(　　)
A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3
解析:抽到的不是一等品的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.
答案:C
4.从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,如果所选3人中至少有1名女生的概率为 ,那么所选3人都是男生的概率为　　　　　.
解析:设事件A=“所选3人中至少有1名女生”,B=“所选3人都为男生”,则A,B互为对立事件,所以
5.某运动员射击一次,未中靶的概率为0.05,中靶环数大于6的概率为0.7,则事件A=“中靶环数大于0小于等于6”的概率为
　　　　.
解析:“未中靶”与“中靶环数大于6”是互斥事件,“未中靶或中靶环数大于6”的对立事件是“中靶环数大于0小于等于6”,即事件A,所以P(A)=1-(0.05+0.7)=0.25.
答案:0.25