《学霸笔记·同步精讲》10.3.2　随机模拟（课件）高中数学人教A版必修二

(共34张PPT)
10.3.2　随机模拟
课标定位
素养阐释
1.了解随机数的意义.
2.会用随机模拟方法估计概率.
3.理解用随机模拟方法估计概率的实质.
4.提升数学建模、数据分析和数学运算等素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
随机模拟的有关概念
1.思考下列两个问题:
(1)在简单随机抽样中,我们可以用什么方法产生随机数
提示:信息技术,如计算器或计算机软件.
(2)为了得到某一随机事件发生的概率,我们要做大量的重复试验,有的同学可能觉得这样做试验花费的时间太多了,那么有没有其他方法可以替代试验呢
提示:可以用数字代表试验结果,通过随机模拟产生随机数代替试验.
2.(1)随机数:要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把n个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.
(2)伪随机数
计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.
(3)随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
3.用随机模拟方法得到的频率(　　)
A.大于概率 B.小于概率
C.等于概率 D.是概率的近似值
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)用计算器或计算机软件产生的伪随机数来做模拟试验,得到的频率值不准确.( × )
(2)用简单随机抽样的方法产生的随机数都是等可能的.( √ )
(3)用随机模拟方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确.( √ )
(4)产生整数随机数的方法只能用计算器或计算机.( × )
(5)利用随机模拟得到的计算结果就是概率.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一 用随机模拟估计概率
【例1】 某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投篮投中的概率是60%,利用计算器或计算机模拟试验,估计他在连续三次投篮中,三次都投中的概率.
分析:设计模拟试验 产生随机数 估算所求概率
解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以产生0~9之间的整数随机数.
我们用1,2,3,4,5,6表示投中,用7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次,所以每3个随机数作为一组.例如,产生20组随机数:
812　932　569　683　271
989　730　537　925　834
907　113　966　191　432
256　393　027　556　755
相当于做了20次重复试验,其中若3个数均在1,2,3,4,5,6中,则表示三次都投中,它们分别是113,432,256,556,即共有4组数,因此我们得到三次投篮都投中的概率近似为
用整数随机数模拟试验估计概率时,首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三个方面考虑:
(1)当试验的样本点等可能出现时,样本点总数即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个样本点.
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字的个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把这n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数能否重复.
【变式训练1】 一个小组有6名同学,从中选1名小组长,用随机模拟方法估计同学甲被选中的概率,给出下列步骤:
①统计甲的编号出现的个数m;
②将6名同学分别编号1,2,3,4,5,6;
③利用计算器或计算机产生1~6之间的整数随机数,统计个数为n;
④则甲被选中的概率近似为
该试验的正确步骤是　　　　　.(只需写出步骤的序号即可)
解析:由随机模拟方法的步骤易知,该试验的正确步骤是②③①④.
答案:②③①④
探究二 用随机模拟估计较复杂事件的概率
【例2】 种植某种树苗,成活率为0.9,请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率.写出模拟试验的过程,并求出所求概率.
分析:用随机模拟估计较复杂事件的概率时,先合理设计随机数的产生,再根据频率公式计算.
解:先由计算器或计算机产生0~9之间的整数随机数,指定1~9的数字代表成活,0代表不成活,表示这种树苗的成活率为0.9.以每5个随机数为一组代表种植5棵的结果.经随机模拟产生随机数,例如,产生如下30组随机数:
69801　66097　77124　22961　74235　31516
29747　24945　57558　65258　74130　23224
37445　44344　33315　27120　21782　58555
61017　45241　44134　92201　70362　83005
94976　56173　34783　16624　30344　01117
这就相当于做了30次重复试验.在这些数组中,若恰有一个0,则表示恰有4棵成活.共有9组这样的数,于是我们得到种植5棵这种树苗恰有4棵成活的概率近似为
在本例中若树苗成活率为0.8,则5棵树苗至少有4棵成活的概率是多少
解:利用计算器或计算机可以产生0~9之间的整数随机数,我们用0和1代表不成活,2到9的数字代表成活,这样可以体现成活率是0.8.因为是种植5棵,所以每5个随机数作为一组.例如,产生20组随机数:
23065　37052　89021　34435　77321
33674　01456　12346　22789　02458
99274　22654　18435　90378　39202
17437　63021　67310　20165　12328
这就相当于做了20次重复试验,在这些数组中,若至多有一个是0或1的数组,则表示至少有4棵成活.共有15组,于是我们得到种植5棵这种树苗至少有4棵成活的概率近似为15÷20=0.75.
较复杂模拟试验的设计及产生随机数的方法
(1)较复杂模拟试验的设计
①全面理解题意,根据题目本身的特点来设计试验,应把设计试验的重点放在确定哪个或哪些数字代表哪些试验结果上,并确保符合题意与题目要求.
②在试验方案正确的前提下,要使模拟试验所得的估计概率值与实际概率值更接近,则需使试验次数尽可能地多,随机数的产生更切合实际.
(2)产生随机数的方法
①利用计算器产生随机数;
②利用计算机软件产生随机数,例如用电子表格软件产生随机数.
提醒:对于上述两种方法,需严格按照其操作步骤与顺序来进行.
【变式训练2】 已知甲、乙两支篮球队进行比赛时,甲获胜的概率为0.6,现采用三局两胜制举行一次比赛,利用计算机模拟试验,估计乙获胜的概率.
利用计算器或计算机生成0~9之间的整数随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲获胜,6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.例如,产生30组随机数:
034　743　738　636　964　736　614　698　637　162
332　616　804　560　111　410　959　774　246　762
428　114　572　042　533　237　322　707　360　751
据此估计乙获胜的概率为　　　　　.
解析:产生30组随机数就相当于做了30次重复试验.6,7,8,9中恰有2个或3个数出现,就表示乙获胜,它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个.
所以采用三局两胜制,乙获胜的概率约为
易 错 辨 析
审题不清或对随机数理解不到位致错
【典例】 据天气预报报道,在今后的三天中每一天下雨的概率均为30%,用随机模拟的方法进行试验,由1,2,3表示下雨,由4,5,6,7,8,9,0表示不下雨,利用计算器产生0~9之间的20组数据如下:
907　966　191　925　271　932　812　458　569　683
431　257　393　027　556　488　730　113　537　989
通过以上数据可知三天都不下雨的概率近似为(　　)
A.0.05 B.0.35 C.0.4 D.0.7
错解:选A或选C或选D.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:由于审题不清,误认为求三天下雨的概率,或将随机数代表的含义弄错导致选A或D;由于符合条件的随机数个数确定不准可能导致选C.
正解:由题意知利用计算器模拟求三天都不下雨的概率,产生的20组随机模拟数据中代表三天都不下雨的随机数,应该由4,5,6,7,8,9,0中的三个组成,这样的随机数有:907,966,458,569, 556,488,989,共7组随机数,所以三天都不下雨的概率近似为
,故选B.
答案:B
1.认真审题:解决此类问题首先要正确理解所求概率的含义,弄清其包含的样本点.
2.恰当设计:恰当设计随机数,弄清随机数代表的事件及代表所求事件的随机数组.如本题由1,2,3表示下雨,由4,5,6,7,8,9,0表示不下雨.
3.准确计算:要正确计算代表所求事件的随机数组的个数和总的随机数组的个数.正确利用频率公式计算出所求频率,用频率估计概率.如本题找出代表三天都不下雨的随机数组数,即可求出频率,此频率就是概率的近似值.
【变式训练】 假定某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为50%.现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0~9之间的整数随机数,指定1,2,3,4,5表示命中靶心,6,7,8,9,0表示未命中靶心.再以每两个随机数为一组,代表两次投掷飞镖的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
93　28　12　45　85　69　68　34　31　25
73　93　02　75　56　48　87　30　11　35
据此估计,该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率为(　　)
A.0.50 B.0.45 C.0.40 D.0.35
解析:20组随机数中代表事件“运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心”的数组有93,28,85,73,93,02,75,56,48,30,共10组,所以所求事件的概率约为
答案:A
随 堂 练 习
1.随机函数RANDBETWEEN(0,7)不可能产生的随机数是
(　　)
A.0 B.2 C.3 D.9
解析:由随机函数RANDBETWEEN(a,b)的含义知,选D.
答案:D
2.掷两枚质地均匀的正方体骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时,在产生的整数随机数中,每组的随机数个数应为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.10
解析:要考察两枚质地均匀的正方体骰子出现的点数之和,在产生的整数随机数中,应每两个随机数为一组.
答案:B
3.通过随机模拟试验产生了20组随机数:
6830　3013　7055　7430　7740　4422　7884　2604　3346　0952　6807　9706　5774　5725　6576　5929　9768　6071　9138　6754
若恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标.四次射击中恰有三次击中目标的概率约为　　　　　.
解析:表示恰有三次击中目标的数组分别是:3013,2604,5725, 6576,6754,共有5个组.总共20组随机数,所以所求的概率近似为
答案:0.25
4.在用随机(整数)模拟求“盒中仅有4个白球和5个黑球(这些球除颜色外,其他完全相同),从中任取4个,取出2个白球和2个黑球”的概率时,可由计算机产生1~9之间的随机整数,并用1~4代表白球,5~9代表黑球.因为是取出4个球,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是　 .
解析:分析题意,易知数字代表的含义.
答案:取出的4个球中,只有1个白球