《学霸笔记·同步精讲》7.1.2　复数的几何意义（课件）高中数学人教A版必修二

(共41张PPT)
7.1.2　复数的几何意义
课标定位
素养阐释
1.理解复数的几何意义.
2.知道复数与有序实数对以及平面向量之间一一对应的关系,能画出复数对应的点和向量.
3.知道复数的模的含义,会求复数的模.
4.知道共轭复数的含义,会求一个复数的共轭复数.
5.体会数学抽象的过程,提升直观想象和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、复数的几何意义
1.实数可以用数轴上的点来表示,类比一下,复数可用什么来表示
提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.
2.复数与复平面内的点有怎样的对应关系
提示:一一对应关系.
3.复数与复平面内以原点为起点的向量有怎样的对应关系
提示:一一对应关系.
4.(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
(2)复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
这是复数的一种几何意义.
(3)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应),即
这是复数的另一种几何意义.
为方便起见,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量,并且规定,相等的向量表示同一个复数.
5.(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(　　)
A.(0,1) B.(1,0) C.(0,0) D.(1,1)
解析:(1)因为复数z=i的实部为0,虚部为1,所以对应点的坐标为(0,1).故选A.
答案:(1)A　(2)C
二、复数的模
1.我们知道,两个复数不一定能比较大小,若两个复数是实数,则可以比较大小;若两个复数是虚数,则不能比较大小.与这两个复数对应的向量的模能比较大小吗
提示:向量的模是非负实数,能比较大小.
答案:2
三、共轭复数
1.设复数z1=1+i,z2=1-i,则在复平面内复数z1,z2对应的点Z1,Z2的坐标分别是什么 它们有怎样的关系
提示:点Z1的坐标为(1,1),Z2的坐标为(1,-1),点Z1,Z2关于x轴对称.
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在复平面内,虚轴上的点对应的复数都是纯虚数.( × )
(2)复数的模一定是正实数.( × )
(3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.( × )
(4)若两个复数互为共轭复数,则它们的模相等.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 复数与复平面内的点一一对应
【例1】 (1)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-3,1) B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
解析:(1)因为z=(m+3)+(m-1)i对应点的坐标为(m+3,m-1),且该点在第四象限,
答案:(1)A　(2)9
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示.
(2)列出方程(组)或不等式(组):此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
【变式训练1】 当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+ (m2+3m-28)i在复平面内的对应点:
(1)位于第四象限内
(2)位于实轴负半轴上
(3)在上半平面(含实轴)
(3)要使点位于上半平面(含实轴),需m2+3m-28≥0,
解得m≥4或m≤-7.
探究二 复数与复平面内的向量一一对应
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
探究三 复数的模
【例3】 (1)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,1)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
(2)设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,且|z|=3,则点Z的集合是　　　　　图形.
分析:(1)通过复数的模的公式计算|z1|,|z2|,解关于a的不等式.
(2)根据复数的模的几何意义判断.
答案:(1)B　(2)以原点O为圆心,以3为半径的圆
将本例(2)中的条件改为“1≤|z|<3”,求满足条件的点Z的集合是什么图形
不等式|z|<3的解集是圆|z|=3的内部所有的点组成的集合,不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1及圆外部所有的点组成的集合,所以满足条件1≤|z|<3的点Z的集合是以原点O为圆心,以1及3为半径的两个圆所夹的圆环,不包括大圆周,如图阴影部分所示.
从几何意义上理解,复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离,故|z|=r表示以原点为圆心,r为半径的圆.
探究四 共轭复数
【例4】 在复平面内,复数z=1+i,则 对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为复数z=1+i,所以=1-i,则在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.
答案:D
共轭复数的求法及其关系
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为 =a-bi.
(2)互为共轭复数的两个复数模相等.
提醒:互为共轭复数的两个复数对应的点关于实轴对称.实数的共轭复数是它本身.
【变式训练3】 向量a=(3,4),设向量a对应的复数为z,则z的共轭复数为 =　　　　　,| |=　　　　　.
解析:因为向量a=(3,4),所以向量a对应的复数z=3+4i,
答案:3-4i　5
易 错 辨 析
对复数与复平面内向量的对应关系理解不到位致错
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解中把向量的平移当成了点的平移,忽视了向量作平移变换后,两个向量仍然相等,从而两向量对应的复数不变.
答案:1+I
1.向量平移后,虽然向量的起点和终点都平移了,但所得向量的坐标不变,即向量作平移变换后,所得向量与原向量相等.
2.向量坐标的横坐标、纵坐标分别是其对应复数的实部与虚部.
【变式训练】 在复平面内,向量 对应的复数是1-i,将点P向左平移一个单位长度后得点P0,则点P0对应的复数是　　.
解析:点P(1,-1)向左平移一个单位长度至点P0(0,-1),对应的复数为-i.
答案:-i
随 堂 练 习
1.在复平面内,向量a=(-2,1)所对应的复数是(　　)
A.z=1+2i B.z=1-2i
C.z=-1+2i D.z=-2+i
答案:D
2.实部为5,模与复数4-3i的模相等的复数有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:A
答案:3+4i
4.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,其中x,y∈R,则x=　　　　　, y=　　　　　.
答案:-1　1
5.当实数m取什么值时,复平面内表示复数z=2m+(4-m2)i的点分别满足以下条件
(1)位于虚轴上;
(2)位于第三象限.
解:复数z=2m+(4-m2)i在复平面上对应点的坐标为(2m,4-m2).
(1)若点(2m,4-m2)在虚轴上,则有2m=0,
即m=0.