《学霸笔记·同步精讲》7.2.2　复数的乘、除运算（课件）高中数学人教A版必修二

(共37张PPT)
7.2.2　复数的乘、除运算
课标定位
素养阐释
1.掌握复数代数表示式的乘、除运算.
2.了解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.提升逻辑推理素养和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、复数的乘法法则及其运算律
1.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),类比两个多项式相乘,应如何规定两复数相乘
提示:两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.即z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.
2.复数的乘法满足交换律和结合律吗
提示:满足.
3.(1)复数的乘法法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i .
(2)复数乘法满足的运算律:对于任意z1,z2,z3∈C,有
4.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于(　　)
A.4+2i B.2+i
C.2+2i D.3+4i
解析:z1·z2=(1+i)(3-i)=3+3i-i-i2=4+2i.
答案:A
二、复数的除法法则
3.(1)复数除法的法则是:
由此可见,两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.
(2)本质:复数的除法,其实质是分母“实数化”,即分子分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数).
答案:-I
三、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
1.一元二次方程x2+1=0在实数范围内有解吗 引入虚数单位i后,方程的解是什么
提示:没有.x=±i.
2.你能用虚数单位i表示方程(x+1)2=-1的解吗
提示:能.x=-1±i.
3.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:
4.在复数范围内,方程4x2+9=0的根为　　　　　.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 复数的乘法运算
【例1】 (1)i(2+3i)=(　　)
A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i
(2)若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数,则实数a等于(　　)
解析:(1)i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i,故选D.
(2)(1+ai)(2+i)=2-a+(1+2a)i,要使复数为纯虚数,
有2-a=0,1+2a≠0,解得a=2.
答案:(1)D　(2)A　(3)3-I
1.两个复数代数表示式乘法运算的一般方法:
先按多项式的乘法展开;再将i2换成-1;最后进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式.
2.常用公式:
(1)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
(3)(1±i)2=±2i.
【变式训练1】 (1)复数(1+i)2(2+3i)的值为(　　)
A.6-4i B.-6-4i
C.6+4i D.-6+4i
(2)在复平面内,复数(1+bi)(2+i)(b∈R)表示的点在第四象限,则b的取值范围是(　　)
解析:(1)(1+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.
(2)因为(1+bi)(2+i)=(2-b)+(1+2b)i,且在复平面内复数(1+bi)(2+i)(b∈R)对应的点在第四象限,
答案:(1)D　(2)A
探究二 复数的除法运算
【例2】 (1)若复数z满足z(2-i)=11+7i,则z为(　　)
A.3+5i B.3-5i
C.-3+5i D.-3-5i
答案:(1)A　(2)A
1.两个复数代数表示式的除法运算步骤:
(1)将除式写为分数的形式;
(2)将分子、分母同乘分母的共轭复数;
(3)将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.
2.常用公式:
答案:(1)C　(2)A
探究三 在复数范围内解方程
【例3】 在复数范围内解下列方程:
(1)2x2+3=0;
(2)x2+3x+4=0;
(3)2x2+3x+c=0(c∈R).
【变式训练3】 在复数范围内解下列方程:
(1)x2-x+2=0;(2)x2+bx+1=0(b∈R).
易 错 辨 析
记错in(n∈N*)的值而致错
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
答案:I
1.在进行复数的乘除法运算时,灵活运用i的性质,并注意一些重要结论的灵活运用.
2.注意虚数单位i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N*).
【变式训练】 i为虚数单位,i4 022的共轭复数为(　　)
A.i B.-i C.1 D.-1
解析:因为i4 022=i4×1 005+2=i2=-1,
所以其共轭复数为-1,故选D.
答案:D
随 堂 练 习
答案:A
2.在复平面内,复数 的对应点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:B
答案:D
4.在复数范围内,方程3x2+4=0的根为　　　　　.