《学霸笔记·同步精讲》8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（课件）高中数学人教A版必修二

(共38张PPT)
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课标定位
素养阐释
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积的含义及求法.
2.知道棱柱、棱锥、棱台的体积公式,并能用公式解决简单的实际问题.
3.用运动变化的观点研究棱柱、棱锥和棱台的体积公式之间的关系,发展数学运算和直观想象素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思 想 方 法
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.棱长为a的正方体的表面积公式如何表示 长、宽、高分别为a,b,c的长方体的表面积公式又如何表示 根据这些表面积公式,推测棱柱的表面积如何计算
提示:S正方体=6a2,S长方体=2(ab+bc+ac),棱柱的表面积就是各个面的面积的和.
2.(1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的
面积的和.
3.若正三棱锥的所有棱长均为a,则该三棱锥的表面积为(　　)
答案:C
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
1.长方体、正方体的体积公式如何表示 根据这些体积公式,推测棱柱的体积计算公式.
提示:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,正方体的棱长为a,则V长方体=abc,V正方体=a3,根据这些体积公式可知:设棱柱的底面面积为S,高为h,则棱柱的体积公式为V棱柱=Sh.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
说明:棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系如图.
3.若棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于　　　　　.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( × )
(2)棱锥的体积等于底面面积与高之积.( × )
(3)棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
【例1】 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20和30的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长为13,求此三棱台的表面积.
分析:侧面等腰梯形的面积→上、下底面面积→三棱台的表面积
解:因为等腰梯形的上底长为20,下底长为30,腰长为13,
所以等腰梯形的高为12.
本例条件“侧棱长为13”改为“三棱台的高为 ”,其他条件不变,求此三棱台的表面积.
解:如图所示,在三棱台ABC-A'B'C'中,O',O分别为上、下底面的中心,D,D'分别是BC,B'C'的中点,则DD'是等腰梯形BCC'B'的高,OO'是三棱台的高,四边形ODD'O'是直角梯形.
求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量:底面边长、高、斜高、侧棱,并注意两个直角梯形的应用:(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形;(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.
【变式训练1】 已知正六棱柱的高为2,底面边长为1,则该正六棱柱的表面积为　　　　　.
解析:因为正六棱柱的高为2,底面边长为1,所以正六棱柱的底由6个全等的等边三角形构成.
则正六棱柱的侧面积为S侧=6×1×2=12,正六棱柱的底面积为
探究二 棱柱、棱锥、棱台的体积
【例2】 如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.
求几何体体积的常用方法　　　　　　　　　　　
【变式训练2】 正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面面积为780 cm2,求其体积.
解:正四棱台的大致图形如图所示,其中A1B1=10 cm,AB=20 cm,取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E为斜高.
设O1,O分别是上、下底面的中心,则四边形EOO1E1为直角梯形.
探究三 简单组合体的表面积与体积
【例3】 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍,若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少
分析:仓库由正四棱锥和正四棱柱组成,其容积就是正四棱锥和正四棱柱的体积之和.
解:因为A1B1=AB=6 m,PO1=2 m,O1O=4PO1=8 m,
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3),
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3),
故仓库的容积是312 m3.
求组合体的表面积或体积,首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应该怎样求,然后再根据公式求出各面的面积,最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成,求出各简单几何体的体积,然后再相加或相减.
【变式训练3】 如图所示,正方体的棱长为4,以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为　　　　　.
思 想 方 法
转化与化归思想在多面体的体积问题中的应用
【典例】 如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.
审题视角:(1)将不规则的多面体通过
分割转化为规则的棱锥求解;
(2)求三棱锥的体积时常通过转换顶点和底面,转化为底面积和高都易求的形式求解.
1.转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.
2.对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式,常常需要运用分割法转化为规则几何体求解.
3.通过识别几何体的结构特征,提升直观想象的数学核心素养.
【变式训练】 如图,ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA'B'B的体积是(　　)
答案:C
随 堂 练 习
1.已知长方体同一顶点上的三条棱长分别是2,3,4,则该长方体的表面积是(　　)
A.36 B.24 C.52 D.26
解析:S=2×(2×3+2×4+3×4)=52.
答案:C
2.已知三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形,高为4,则该三棱锥的体积为(　　)
A.4 B.6 C.12 D.24
答案:A
3.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为(　　)
A.80 B.240
C.320 D.640
解析:如图,作出一个侧面等腰梯形的高,也是棱台的斜高,则由等腰梯形的性质,
答案:B
4.已知底面是菱形的直棱柱,它的侧棱长是5,体对角线的长分别是9和15,则这个直棱柱的表面积是　　　　　.
5.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去三棱锥A1-ABD,求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积.