《学霸笔记·同步精讲》8.5.1　直线与直线平行（课件）高中数学人教A版必修二

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8.5.1　直线与直线平行
课标定位
素养阐释
1.借助长方体,通过直观感知,了解直线与直线的平行关系.
2.理解基本事实4,能运用基本事实4证明空间中的线线平行.
3.通过直观感知,了解空间中两个角的两条边分别对应平行的有关定理,并学会运用.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、基本事实4
1.我们知道,在同一平面内,若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.在空间中,是否也有类似结论
提示:是.
2.基本事实4
3.已知a,b是两条异面直线,c∥a,那么c与b的位置关系(　　)
A.一定是异面 B.一定是相交
C.不可能平行 D.不可能相交
解析:若c∥b,而c∥a,则由基本事实4知a∥b,这与a,b是两条异面直线矛盾,
所以c与b不可能平行,
故选C.
答案:C
二、空间中两个角的两条边分别对应平行的定理
1.观察下图中的∠AOB与∠A'O'B'.
这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系 测量一下,这两个角的大小关系如何
提示:分别对应平行,相等.
2.
3.若角α和角β的两边分别对应平行,则当α=72°时, β=　　　　　.
答案:72°或108°
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.
( √ )
(2)基本事实4表明了平行的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据.( √ )
(3)如果两个角相等或互补,那么这两个角的两边分别对应平行.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 基本事实4的应用
【例1】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:BF∥ED1.
证明:如图,取BB1的中点G,连接GC1,GE.因为F为CC1的中点,所以BG∥C1F,且BG=C1F,
即四边形BGC1F为平行四边形.所以BF∥GC1.
又EG∥A1B1,A1B1∥C1D1,且EG=A1B1,A1B1=C1D1,
所以EG∥C1D1,且EG=C1D1,
即四边形EGC1D1为平行四边形.
所以ED1∥GC1.所以BF∥ED1.
将本例条件“E,F分别为棱AA1,CC1的中点”改为“M,N分别是棱CD,AD的中点”,其他条件不变,证明:四边形MNA1C1是梯形.
证明:如图,连接AC.
在△ACD中,∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
∴MN∥AC,且MN= AC.
由正方体的性质,得AC∥A1C1,且AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN= A1C1,即MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
证明两条直线平行的方法:　　　　　　　　　
(1)平行线定义;
(2)三角形中位线定理、平行四边形性质等;
(3)基本事实4.
探究二 等角定理的应用
【例2】 已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点,求证:∠BEC=∠B1E1C1.
证明:如图,连接EE1.
因为E,E1分别是AD,A1D1的中点,
所以AE∥A1E1,且AE=A1E1,
即四边形AEE1A1是平行四边形.
所以AA1∥EE1,且AA1=EE1.
又AA1∥BB1,且AA1=BB1,
所以EE1∥BB1,且EE1=BB1,
即四边形BEE1B1是平行四边形.
所以BE∥B1E1.同理可证CE∥C1E1.
又∠BEC与∠B1E1C1的两对应边方向都相同,
所以∠BEC=∠B1E1C1.
在立体几何中,常利用等角定理来证明两个角相等,此时要证明它们的两边分别对应平行,且注意观察这两个角的两对应边方向都相同或都相反.
探究三 空间中直线与直线平行的应用
【例3】 如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别为BC,AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3,求证:四边形EFGH是梯形.
证明:如图,连接AC,因为E,H分别为BC,AB的中点,F在CD上,G在AD上,且有DF∶FC=DG∶GA=2∶3,
所以HE∥AC,GF∥AC,
所以HE∥GF,则E,F,G,H四点共面.
又
所以HE≠GF,所以四边形EFGH是梯形.
根据三角形中位线定理、基本事实4证明两条直线平行是常用的方法.基本事实4表明了平行线的传递性,它可以作为判断两条直线平行的依据,同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法.
【变式训练2】 如图,正方形ABED,直角梯形EFGD,直角梯形ADGC,AC∥DG∥EF,且DA=DE=DG,AC=EF,EF= .
求证:B,F,C,G四点共面.
随 堂 练 习
1.如图,AA1是长方体的一条棱,这个长方体中与AA1平行的棱的条数是(　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
A.3 B.4
C.5 D.6
答案:A
2.已知直线a,b,c,d,且a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的位置关系是
(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
答案:A
3.(多选题)下列命题是真命题的为(　　)
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
解析:由等角定理知,A为假命题,B为真命题;如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角的大小关系是不确定的,所以C为假命题;由基本事实4知,D为真命题.
答案:BD
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1, DD1的中点,试证明∠BGC=∠FD1E.
∴四边形D1GBF为平行四边形.
∴D1F∥GB,同理D1E∥GC.
又∠BGC与∠FD1E的两对应边方向都相同,
∴∠BGC=∠FD1E.