第1章直角三角形的边角关系精选练习（含解析）-2025-2026学年数学九年级下册北师大版

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第1章直角三角形的边角关系精选练习-2025-2026学年数学九年级下册北师大版
一、单选题
1．若，则的大小是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，一只矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行．已知，，则点A到所在直线的距离可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．在中，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
5．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，若斜边是直角边的4倍，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘货轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，，则的值是（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
8．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量旗杆的高度
测量目标示意图
相关数据 米，，
设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，，则的长度是 ．
10．如图所示，在方格纸上（设小方格边长为单位1）的三个顶点均位于格点上，则的值是 ．
11．如图，一条东西向的大道上，A，B两景点相距，C景点位于A景点北偏东方向上，位于B景点北偏西方向上，则A，C两景点相距 ．
12．在中，的余弦值是，那么的长是 ．
13．如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是 ．
14．如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则 ．
三、解答题
15．计算：．
16．如图，在矩形中，是对角线，，垂足为，连接，若，求的值．
17．如图，华北油田国家矿山公园旁有一个信号塔（垂直地面），距离信号塔的底部点米处（米）有一个斜坡，坡度为．当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好位于点，，经测量米．
(1)求点到地面的距离；
(2)求信号塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，）
18．如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜L，入射角等于反射角．
如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜I，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计）．已知厘米，当从点A发出的光线经平面镜I反射后恰好经过点B时，测得入射角为．（参考数据：，，）
(1)点A到平面镜I的距离是 厘米．
(2)移动挡板，使空隙的长度是20厘米，当从点A发出的光线经平面镜I反射后恰好经过点C时，求入射角的度数．
(3)在（2）的条件下，如果从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙落到挡板上的最高点为P，最低点为Q，那么的长度是 厘米．
19．如图1，已知正方形的边长为为对角线的中点，为上一点，连接，过点作，交于点，连接．
(1)若，求的度数．
(2)若．
①求的值．
②如图2，若点是射线上的一点，连接，将沿折叠，使点落在处，连接并延长，交于点，连接，求的最小值．
20．【问题背景】
已知矩形中，点分别在与边上，连接，，，如图，
．
【初步感知】
（1）求证：．
【探索运用】
（2）若平分，与交于点，与交于点．
如图，求的值；
如图，连接与交于点，若，点为的中点，求的长．
《第1章直角三角形的边角关系精选练习-2025-2026学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D A A B C A
1．A
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据进行解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，即．
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
过点作交于，根据矩形的性质推出，结合求解即可．
【详解】解：如图，过点作交于，
由题意知，，
由矩形的性质，，，
∵，，
∴，
∴．
故选：A ．
3．D
【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可．
【详解】解：在中，，，，
则，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值与三角形内角和定理，先由平方的非负性求出的度数，再利用三角形内角和算出的度数，最后根据特殊角余弦值得到结果．
【详解】解：∵
∴
∵，内角和为，
∴
∴
∴
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形三线合一，灵活运用相关知识是解题的关键；根据正弦函数解直角三角形即可解答．
【详解】解：设交于点，
∵，，
∴，，
在中，，
∵，
∴.
故选：A ．
6．B
【分析】本题考查了勾股定理及正切的定义，利用勾股定理求出直角边，再根据正切定义求解．
【详解】解：∵在中，，为斜边，且，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数求出，在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
得：，
在中，由，
得．
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查解直角三角形，设旗杆的高度米，根据解直角三角形表示出，的长，根据即可列出方程．
【详解】解：设旗杆的高度米，
∵，
∴在中，（米），
∵，
∴在中，（米），
∵，
∴，
∴．
故选：A．
9．8
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵迎水坡的坡度是，
∴，
又，
∴
在中，，
故答案为：8．
10．
【分析】本题考查了求正切，根据网格求三角形的面积，勾股定理与网格问题．
取格点，过点作于点，等面积法求得，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图，取格点，过点作于点，
根据勾股定理可得，
∵
又∵
∴
∴
∴
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的定义是解题的关键．
由题意得，，，则有，在中利用余弦的定义即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
在中，，
∴，
∴A，C两景点相距．
故答案为：．
12．16
【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答．
【详解】解：∵的余弦值是，，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：16．
13．
【分析】本题考查了菱形的性质和锐角三角函数的知识；通过菱形对角线的性质得出的长度，再通过的正弦值得出菱形边长，勾股定理求得，进而可得的长，再根据菱形的面积即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，与交于点，
与互相垂直平分，
，
，
，
．
菱形的面积为
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正切的定义及勾股定理．连接，根据折叠的性质得到，，，证明，从而得出，再由设，则，从而得到相关线段的表达式，设，则，，，利用勾股定理求得x的值，进而得到的值，最终可求得结果．
【详解】解：如图，连接，
由折叠性质可知，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，，
∴，
设，则，，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，先分别计算各个特殊角的三角函数值，再将其代入原式进行计算即可．
【详解】解：原式
．
16．
【分析】过点作于点，易证，从而可求出，，设，则，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
，，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
17．(1)点到地面的距离为米；
(2)信号塔的高度约为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度问题，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）过作于点，则，由坡度可得，设，，则通过勾股定理得，然后求出的值即可；
（）由（）得米，则米，然后证明四边形是矩形，所以米，米，，在中，，，求得米，再通过线段的和与差即可求出．
【详解】（1）解：如图，过作于点，则，
∵斜坡，坡度为，
∴，
设，，
∴，解得，
∴米，
∴点到地面的距离为米；
（2）解：由（）得，米，
∴（米），
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，，
∴，
在中，，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴信号塔的高度约为米．
18．(1)40
(2)入射角为
(3)35
【分析】（1）作于点H，则，从而可得，于是可得，从而可求得，再利用正切求得；
（2）如图2所示，作于J，使得，与（1）同理可得，从而可说明是等腰直角三角形，于是可得∠，即可得出入射角为；
（3）作A关于I的对称点，连接，并延长交分别为Q，P，先得出，（），从而可根据，得出，，再列出比例式，求得，，即可求得．
【详解】（1）解：如图1所示，作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∵当从点A发出的光线经平面镜I反射后恰好经过点B时，测得入射角为．
∴（），
故答案为：40；
（2）解：如图2所示，作于J，使得，
与（1）同理可得，
∵，（），
∴是等腰直角三角形，
∴∠，
∴入射角为；
（3）解：如图所示，作A关于I的对称点，连接，并延长交分别为Q，P，
∴，（），
∵，
∴，，
∴，1．
∴，，
∴（），
故答案为：35．
【点睛】本题考查了三线合一，轴对称中的光线反射问题，利用平行判定相似，利用相似三角形的性质求解，已知正切值求边长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
19．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用等腰三角形的性质求解即可；
（2）①将绕点顺时针旋转得到，并连接，求得，推出，据此求解即可；
②求得，要使得取到最小值，即取到最小值即点到的距离，由折叠可知等同于点到的距离，即线段的长．据此求解即可．
【详解】（1）解：如图1所示：
正方形，
．
，
；
（2）解：①如图2所示：
将绕点顺时针旋转得到，并连接，
，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
，
；
②如图3所示：
正方形，
，
，
要使得取到最小值，
需要取到最大值，
需要取到最小值，
需要取到最小值，
而最小值即点到的距离，由折叠可知等同于点到的距离，即线段的长．
由①得，
，
，
，
此时，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，解直角三角形，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
20．（1）见解析；（2），理由见解析；②
【分析】（1）证明，根据可证明；
（2）如图，连接，证明，得出，证明，则可得出结论；
如图，连接，证明，得出，证明，得出，则可得出结论．
【详解】证明：（1）四边形是矩形，
，，
，，
，
，
在和中，
．
解：（2），理由如下：
如图，连接，
，，
，
平分，，
，
，
．
，
，
，
．
．
．
，
点是线段的中点．
，
．
如图，连接，，，，
，．
，
，，．
，
．
，
．
即，
，
．
．
，．
．
，
．
．
，，
．
．
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．
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