第2章二次函数精选练习（含解析）-2025-2026学年数学九年级下册北师大版

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第2章二次函数精选练习-2025-2026学年数学九年级下册北师大版
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线上部分点的坐标如表，则下列说法错误的是（ ）
… 0 1 …
… …
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．当时，随的增大而减小
D．抛物线的顶点坐标为
3．若抛物线经过点，当时，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的新二次函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于轴对称．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用来表示，那么右边的那条抛物线表达式可以表示为（ ）.
A． B．
C． D．
6．已知二次函数（a，c为常数，）的图象经过，两点，若，，则下列说法错误的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知抛物线（b，c为常数）经过点，且不经过第三象限．当时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为（ ）
A．3 B．2 C．3或1 D．2或6
8．如图，在中，的面积为，点从点出发，以的速度沿路线匀速移动，同时，点从点出发，以的速度沿路线匀速移动，直到两个点都到达终点即停止运动，若点的运动时间为的面积为，则关于的函数的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
9．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
10．写出一个顶点在原点的抛物线解析式为
11．若关于的二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则实数的值是 ．
12．已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ．
… 1 2 4 …
… 11 1 11 43
…
13．如图，某学校大门的形状是一条抛物线，其函数表达式为，现有一货车，它的车身宽为米，车厢面距离地面的高度为米，准备拉一车学习用品从大门的正中间进入校园，为了安全通过学校大门，则该车堆放学习用品的高度应不高于 米．（假设堆放学习用品的宽度与车身宽度一致）
14．抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在抛物线上，且点的横坐标为2，若点为轴上非原点的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A、B（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）直线BC的表达式 ；
（2）垂直于轴的直线与抛物线交于点，与直线BC交于点，若，设，则的取值范围 ．
三、解答题
16．已知抛物线经过点和．
(1)求b，c的值；
(2)求抛物线的顶点坐标．
17．已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点和分别在抛物线和上（A，B与原点都不重合）．
（ⅰ）若，且，比较与的大小；
（ⅱ）当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值．
18．某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为8万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是，其中x是正整数．当时，；当时，．
(1) __________； __________；
(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式．
①当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当时，若有且只有5个生产周期的利润不小于a万元，直接写出实数a的取值范围．
19．某班兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
已知自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
(1)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；
(2)观察函数图象，当随增大而减小时，则的取值范围是______；
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有______个交点，所以对应方程有______个实数根；
②方程有______个实数根；
③若关于的方程有个实数根，则的取值范围是______．
20．如图1，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴负半轴于点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在线段上，射线交抛物线于另一点，若，求出点的横坐标满足的范围；
(3)如图2，将抛物线进行平移，使点为平移后的抛物线的顶点，点为平移后的抛物线第一象限上的一动点，已知点，，直线，分别交平移后的抛物线于另外的点，，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标．
21．综合与探究
【问题情境】
甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间近似满足函数关系．
【问题解决】
比赛中，甲同学连续进行了两次发球．
（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如表：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度y/m 1 2.75 4 4.75 5 n 4
根据以上数据，回答下列问题：
①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________；
②在水平距离5处放置一个高1.55的球网，羽毛球________（填“能”或“不能”）过网；
【综合应用】
（2）根据表格数据，求出二次函数的解析式；
（3）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，请比较，的大小关系，并说明理由．
《第2章二次函数精选练习-2025-2026学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B C C A C D C B C
1．B
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，关键掌握二次函数顶点式的顶点坐标为，据此代入求解即可．
【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为
又∵
∴该抛物线的顶点坐标为
故选：B.
2．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，关键是利用抛物线上对称点的纵坐标相等确定对称轴，再结合对称轴两侧函数的变化趋势分析相关性质．
【详解】解：对于选项B：∵当和时，的值均为，这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为直线，故B选项正确；
对于选项A：观察表格可知，当从增大到时，从减小到，即对称轴右侧随的增大而减小，根据二次函数性质，可知抛物线开口向下，故A选项正确；
对于选项C：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，而非减小，故C选项错误；
对于选项D：已知对称轴为直线，对应表格中的，
∴抛物线的顶点坐标为，故D选项正确；
故选：C．
3．C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．
先求出抛物线的对称轴，再结合抛物线开口向上的性质（离对称轴越远，函数值越大），计算三个点到对称轴的距离并比较大小，进而得出函数值的大小关系．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为，且抛物线开口向上．
∵，
∴各点到对称轴的距离：
，，．
∵
∴，即．
∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大．
∴．
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
直接运用二次函数图像的平移规律解答即可．
【详解】解：由平移规律可得：将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得的函数图象的表达式为：．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查二次函数图象的对称变换，熟悉二次函数关于轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称抛物线表达式即可．
【详解】解：抛物线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为，
代入原抛物线表达式，得，
即．
故选：．
6．D
【分析】本题考查了二次函数的性质．先将二次函数配方确定对称轴与开口方向，结合二次函数增减性与对称性，逐一分析各选项的正误．
【详解】解：∵，且
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当或时，，在对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小，离对称轴越远，函数值越小．
对于选项A：
∵，∴，此区间在对称轴左侧，随增大而增大
∴，A正确．
对于选项B：
∵，∴，由得
∴，
∴，
∵开口向下，离对称轴越远函数值越小
∴，B正确．
对于选项C：
∵，∴，抛物线在该区间内的最小值为（在或处取得）
∴，C正确．
对于选项D：
对于的情况，我们通过举反例来说明该选项错误
当时，取，（满足），到对称轴距离为，到对称轴距离为
∵，开口向下，离对称轴越远函数值越小
∴，与“”矛盾，D错误．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，利用待定系数法可得到，求出对称轴为直线，当时，则抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上方，利用判别式可得，则，根据二次函数的性质确定对应的最大值和最小值，进而建立方程求解；．当时，此时函数图象一定经过第三象限，不符合题意；当时，则抛物线解析式为，求出此时的最大值与最小值即可得到结论．
【详解】解：∵抛物线（b，c为常数）经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
当时，，即此时抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∵抛物线不经过第三象限，
∴抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上方，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴当，且当时，函数有最小值，最小值为，
当时，则，解得，
此时当时，函数有最大值，最大值为，
∴，
解得或（舍去）；
当时，则，解得，
此时当时，函数有最大值，最大值为，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，即此时抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，且对称轴在y轴右侧，故此时函数图象一定经过第三象限，不符合题意；
当时，则抛物线解析式为，
∵，
∴当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为0，
此时不满足函数的最大值与最小值之差为16；
综上所述，b的值为1或3，
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正弦的定义、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
如图：过C作于D，根据题意可得，；然后再分当点P在上、、点P在上三种情况分别求得函数解析式，进而确定函数图像即可解答．
【详解】解：如图：过C作于D，
在中，的面积为，
∴，，
∴，解得：，
∴；
如图：当点P在上时，即时，此时，过P作于E，
∵，即，
∴的面积为，即函数图像是关于y轴对称、开口向上，上的一部分；
当时，，即点P与点C重合，点Q与点B重合，的面积与的面积相等，即；
如图：当点P在上时，即时，此时，点Q与点B重合，，过P作于E，
∵，即，
∴的面积为，即函数图像是y随x增大而减小的一次函数，在上的一部分．
综上，B选项符合题意．
故选B．
9．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断①②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③；根据抛物线与x轴的交点个数，据此可判断④．
【详解】解：函数图象开口方向向上，
，
对称轴为直线，
∴，
∴，即，故②正确
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
，
，故①错误；
二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，
∴由函数图象可知，当时，，
∴，故③错误；
抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有②④，
故选：C．
10．（答案不唯一）
【分析】本题考查了抛物线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
顶点在原点的抛物线解析式通常表示为或，其中为不等于零的常数，然后即可求解；
【详解】解：抛物线是二次函数的基本形式，其顶点坐标可通过配方或直接观察得出为，因此满足顶点在原点的条件，
故答案为：；
11．
【分析】此题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题．由二次函数的定义可知，函数图象与轴总交于点，因此与坐标轴有两个交点需满足与轴只有一个交点，即判别式等于，据此进行解答即可．
【详解】解：当时，，
∴函数的图象与轴交于点，
故与坐标轴有两个交点时，与轴只能有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
且，符合二次函数定义，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由表格可知点和关于对称轴对称，然后即可求解．
【详解】解：由题意可知，点和关于对称轴对称，
∴该函数图像的对称轴为：直线；
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，灵活运用二次函数的性质以及数形结合思想是解题的关键．
如图：设抛物线的对称轴交x轴于G，由二次函数的性质可得抛物线的对称轴直线为：，即点G的横坐标为，进而得到点A的横坐标为；如图：延长交抛物线于点H，则点H的横坐标为3，再求出点H的纵坐标为，即；进而得到米即可解答．
【详解】解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于G，
∵函数表达式为，
∴抛物线的对称轴直线为：，即点G的横坐标为，
∵，
∴点A的横坐标为：，
如图：延长交抛物线于点H，则点H的横坐标为3，
∴点H的纵坐标为，即，
∴米，
∴则该车堆放学习用品的高度应不高于米．
故答案为：．
14．或或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的性质进行分类讨论，解答即可得出结论．
【详解】解：令，则，
解得：或．
抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，
，
点的横坐标为2，
，
；
①当时，如图，
过点作于点，
，，
，，，
．
在和中，
，
，
．
，，
，
，
；
结合是等腰三角形，且，
；
②当时，如图，
过点作轴于点，
，，
，，，
设点，
点为轴的正半轴上的一点，
，，
，
，
，
，
解得：，
；
③当时，如图
此时点P与O重合，与题意不符合，故舍去．
综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或或．
故答案为：或或．
15．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答（2）题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了解题的难度．
（1）利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线的表达式即可；
（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答．
【详解】解：（1）由得到：，
所以，，
当时，，
所以．
设直线的表达式为，
则，
解得，
所以直线的表达式为；
（2）由得到，
所以抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
∵，
∴．
令时，则由得到．
∵，
∴，
∴．
∴；
故答案为：；．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质；
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由（1）得，再根据顶点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
，
解得；
（2）解：由（1）得抛物线函数表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为．
17．(1)对称轴是直线
(2)；，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小；
（ⅱ）将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再根据是一个与无关的定值，即可求出系数的值．
【详解】（1）解：由题意得，将点代入得，，即，
∴，
故所求抛物线的对称轴是直线．
（2）解：（ⅰ）由（1）可知，当时，，
抛物线的解析式为．
∵，
∴
，
∵抛物线过原点，且点A与原点不重合，
∴，
，
故．
（ⅱ）由题意知，，．
∵，
∴．
因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，
所以，．
故，即．
∴．
依题意知，是与无关的定值．
则，
解得．
经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意．
∴，．
18．(1)
(2)①第15个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；②
【分析】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
（）用待定系数法求出，的值即可；
（）当，根据利润（售价成本）设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
当时，求出关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
【详解】（1）解：把时，；时，代入得：，
解得：，
故答案为：；
（2）解：设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，
∴，
，
，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，
∴，
∴，
则与的函数图象如图：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
∴的取值范围．
19．(1)见解析
(2)或
(3)①，
②
③
【分析】本题考查的是函数图象与性质，函数与方程之间的关系，解决本题的关键是根据表格补全图象，通过观察函数图象，数形结合来求解．
(1)根据表格补全函数图像；
(2)由图像可知，当或时，随的增大而减小；
(3)①由图像可知函数图像与轴有个交点，所以对应方程有个实数根；
②由函数图像可知，二次函数与直线有个交点，方程有个解；
③因为当时，二次函数与直线有个交点，所以当时，关于的方程有个实数根．
【详解】（1）解：如下图所示：
（2）解：由图像可知，当或时，随的增大而减小，
故答案为：或；
（3）解：①由图像可知，函数图像与轴有个交点，
对应方程有个实数根，
故答案为：，；
②解：如下图所示，
由函数图像可知，二次函数与直线有个交点，
方程有个解，
故答案为：；
③解：如下图所示，当时，
二次函数与直线有个交点，
关于的方程有个实数根，
则有．
故答案为：．
20．(1)
(2)；
(3)见解析，直线过定点．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，即，再连接，由，推出，设，则，整理得到，解不等式即可求解；
（3）求得平移后抛物线顶点为，解析式为，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立后，利用根与系数的关系求得，然后求得直线的解析式为，整理得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：，
，，
代入抛物线得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，即，
连接，
∵，
∴，即，
设，
∴，即，
整理得，
解方程，得，，
设，
则其函数图象为：
∴不等式的解集为或；
∵,
即点的横坐标满足的范围为；
（3）解：平移后抛物线顶点为，解析式为，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得和，
整理得和，
由根与系数的关系得和，
得⑤，
由④得代入⑤得，
整理得，
∵，，
同理直线的解析式为，
∴，
∴当时，，
∴直线过定点．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求解析式，图象法解不等式，根与系数的关系，二次函数与定点问题等知识点．
21．（1）①；②能（2）（3），理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式．
（1）①利用二次函数的对称性求出其对称轴，即可解题；
②根据图象和二次函数性质推出，再结合题干条件分析，即可解题；
（2）由（1）得到的顶点，再选择表格中的一组数据代入解析式求解，即可解题；
（3）当时，分别代入（2）、（3）中的解析式中求出和，再进行比较，即可解题．
【详解】解：（1）①由表格可知，当和时，，
二次函数对称轴为直线，
当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是，
故答案为：；
②当时，，当时，，
当时，，
，
羽毛球能过网；
故答案为：能；
（2）解：当时，，
，
，
过点，
，
解得，
二次函数的解析式为；
（3）解：当时，有，
解得，
乙同学在函数对称轴右侧，
；
当时，有，
解得，
乙同学在函数对称轴右侧，
；
，
．
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