第3章圆精选练习（含解析）-2025-2026学年数学九年级下册北师大版

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第3章圆精选练习-2025-2026学年数学九年级下册北师大版
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点
C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合
2．如图一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交于整点8时的切线于点P，表盘的半径长为，线段长为（ ）
A．1.5 B．1 C． D．2
3．如图，已知是的直径，的弦于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为的，其中圆心O到的距离为，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，与交于点，以为圆心，长为半径作圆，过作的两条切线、．则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，内接于圆，，D为中点，G为的重心，连接．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环，当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，是的直径，点P在的延长线上，切于点C，连接．若，则 度．
11．如图，四边形内接于以为直径的，若平分，则线段的长是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是 ．
13．如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是 .
14．如图，扇形的圆心角是直角，半径为3，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点，则阴影部分面积为 ．
15．如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点A、B、C都在上，将这个扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的底面半径为 ．
16．如图，在矩形中，是的中点，若是直径，是直线上任意一点，与相切于点，，当最大时，的长为 ．
三、解答题
17．如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，．
(1)求证：；
(2)求弦的长．
18．《九章算术》是西汉以前许多数学家研究的结晶，全书共分九章，共搜集了个数学问题的解法．其中《方田》章计算弧田面积所用的公式是：弧田面积（弦矢矢）．弧田由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦（图中）长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差（图中的长），运用垂径定理（当半径弦时）可以求解．现已知弦米，半径等于米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为多少平方米？
19．如图①，的直径交弦于点M，，连接，过点B作于点C，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图②，若，的半径为4，求的长．
20．如图，在半径为5的中，是的直径，是过上一点C的直线，且于点D，平分，．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
21．如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且．
(1)求点到直线的距离．
(2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点．
①当直线与优弧相切时，的值为______．
②当时，求阴影部分面积．
(3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___．
22．感知：如图①，若，是的两条弦，是的中点，在弦上截取，连接，，，，易证.（不需证明）
探究：如图②，若，是的两条弦，是的中点，于点，求证：
应用：如图③，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，则的长为______．
《第3章圆精选练习-2025-2026学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D B A C A D C C A
1．D
【分析】本题考查三角形内心与外心的定义，内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三个内角角平分线的交点．外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．结合定义逐一辨析选项．
【详解】解：∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点．
∴A选项说法错误，B选项说法错误；
∵等腰直角三角形的外心在斜边中点处，内心在三角形内部，二者不重合．
∴C选项说法错误；
∵等边三角形的内角平分线与三边垂直平分线重合，其内心与外心为同一点．
∴D选项说法正确．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，则经过表盘的圆心O，过点O作于E，根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，解直角三角形得到答案．
【详解】解：如图，连接，则经过表盘的圆心O，过点O作于E，
由垂径定理得：，
由题意可知：，
∴，
∵是圆的切线，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，先利用垂径定理得到弧的关系，再结合圆心角与弧的对应关系，最后依据圆周角定理求出的度数．
【详解】解：是的直径，，
由垂径定理，得，
，
的度数为，
故的度数也为，
即，
是所对的圆周角，是所对的圆心角，
．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了扇形面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
作于点C，由勾股定理求出，求出，进而求出，再利用扇形和三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，作于点C，
则，
∵圆心O到的距离为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴胶皮的面积
．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，求弧长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先根据等边三角形的性质，结合该等边三角形的边长为2，得出，，从而可得，于是可求得的长，即可得出“莱洛三角形”的周长．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，该等边三角形的边长为2，
∴，，
∴，
∵的长为，
∴该“莱洛三角形”的周长是．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查圆周角定理，圆的内接四边形的性质，先根据圆周角定理得到，再根据四边形是的内接四边形可得即可求解．
【详解】解：，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了三角形重心、切线的性质以及全等三角形的性质与判定，连接，过点作于点，，交于点，先利用已知条件确定点是三角形的重心，进而得到，结合切线性质构造直角三角形，求出，进而计算出目标角度之和．
【详解】解：连接，过点作于点，连接，交于点，
，，
分别是边上的中线，
点是的重心，
，
是的切线，
，，，
，
，
，
设．
在中，
，
，
，
，
．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查三角形的重心，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质．
连接，由三角形重心的性质得到A、G、D共线，，当时，长最大，设圆的圆心是O，连接，，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，求出，即可得到的最大值．
【详解】解：连接，
∵G是的重心，D是的中点，
∴A、G、D共线，
∴，
∴最大时，最大，
当时，最大，
设圆的圆心是O，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵D为中点，，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查了探索图形的变化规律，根据分别计算出图形中，，，弧的长度，根据规律写出的长度．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
以点为圆心，为半径，
的长度为；
，
以点为圆心，为半径，
的长度为；
，
以点为圆心，为半径，
的长度为；
由规律可知的长度为；
，
的长度为．
故选：A．
10．120
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；
连接，根据切线的性质可得，求出，进而可得，然后可得答案．
【详解】解：连接，
∵切于点C，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握以上性质．
过点作于点，根据直径得出直角，根据圆周角定理和角平分线的定义得出相等的角和边，然后利用锐角三角函数进行求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
根据同弧所对的圆周角相等得，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查圆与正多边形、正多边形的中心角、等边三角形的判定和性质、勾股定理等，作出内切圆是解题的关键．
先作出正六边形的内切圆，确定的位置，连接，再根据垂直平分线的性质推出，，，然后证明为等边三角形，根据等边三角形的性质结合勾股定理，求出，即可求解圆心的坐标．
【详解】解：如图，分别作的垂直平分线，的垂直平分线的交点设为点，的垂直平分线与交于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，即为正六边形的内切圆，
∵正六边形的边长是4，
∴，
∵的垂直平分线与交于点，
∴，，，
∵正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵在中，
根据勾股定理，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用以及圆的确定，取中点，再取中点，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，连接，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，当点共线时，值最小，再进一步可得答案．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
如图，取中点，再取中点，连接，，
∴，，
∵，，
∴点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆弧，
∵点为的中点，
∴，
∴点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，
当点共线时，值最小，
连接，
∴，
∴最小为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了折叠的性质、扇形面积以及特殊角的三角函数值，连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，所以，即可由求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，则，
由折叠得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．1
【分析】本题考查圆周角定理，求圆锥底面半径，连接，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴是的直径，
∵的半径为，
∴，
由题意，，
∴，
设圆锥的底面半径为，则，
∴；
故答案为：1．
16．
【分析】连接，延长交的延长线于点，过点作于点，由矩形的性质得到，，根据勾股定理求出，由切线的性质推出，判定，得到，从而推出，由，推出当最大时，，得到点与点重合，证得，推出，，进而求出，，最后利用三角形面积公式，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴在中，，
∵与相切于点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∵，
∴当最小时，最大，最大，
∴当最大时，，
此时，点与点重合，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴当最大时，的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，关键是判定当最大时，，由三角形面积公式得到．
17．(1)见解析
(2)弦的长为．
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理．
（1）连接，利用圆周角定理和垂径定理即可证明；
（2）利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据垂径定理得到，，接着计算出得到，然后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵点C为的中点，
∴，
∴；
（2）解：设与的交点为，
为直径，
，
在中，，
点是中点．
，
，
，
，
在中，．
18．平方米
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据勾股定理和垂径定理求出米，再根据弧田的面积公式求出结果．
【详解】解：，
米，
米，
米，
米，
矢米，
弧田的面积平方米．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)的长为．
【分析】（1）连接，，利用证明，推出，即，再证明即可；
（2）连接，先证明，再利用证明即可；
（3）设，得到，，，证明，，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：设，
∵的半径为4，
∴，，，
∵，，
∴、，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
解得，
∴的长为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角得到，根据角平分线的定义得到，则有，再根据切线的判定定理即可证明；
（2）先证明，得到，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，的半径为5，
∴，，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，即，
解得．
21．(1)；
(2)①或；②；
(3)
【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解．
（1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离．
（2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值；
②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积．
（3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值．
【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
即点到直线的距离为；
（2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒，
∴，解得；
当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，
∵直线与优弧相切，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
此时顺时针旋转的度数为，
∴，解得；
综上，当直线与优弧相切时，的值为或，
故答案为：或；
②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点，
∵，
∴，
∵优弧与直线相切于点，
∴，
∵直线，
∴直线，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴阴影部分面积；
（3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴为点到直线的垂线段，
∴，
∵，
∴，
当点与点重合时，取得最大值，
此时的最大值为，
故答案为：．
22．探究：见解析；应用：
【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理：
探究：在上截取，使，连接、、、，证明，得，由等腰三角形的性质得，进一步得出结论；
应用：先证明D是的中点，再根据圆周角定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质解题．
【详解】探究：在上截取，使，连接、、、
是的中点，
，
，，，
，
，
是等腰三角形，
，
应用：如图，过点D作于点G，在上截取，使，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，圆的半径为10，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
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