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高频考点专练10 不等式（组）
（5个知识点+8个题型+1个专练+验收卷）
1．不等式
不等式：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式．
【易错点剖析】
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2． 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．一元一次不等式
定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）叫做一元一次不等式的标准形式．
解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【易错点剖析】
不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实．
4．一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
【易错点剖析】
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
5.一元一次不等式（组）的应用：
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；
（5）解：解出所列的不等式（组）的解集；
（6）答：由不等式（组）的解集及实际意义确定问题的答案．
【易错点剖析】
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键．
类型1 不等式的基本性质
【例题】
1．（2024·广东广州·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】
2．（2025·广东广州·三模）若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东惠州·二模）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东广州·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
类型2 一元一次不等式及其解法
【例题】
5．（2025·广东东莞·模拟预测）关于x的不等式中，某个不等式的解如图所示，则这个不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
6．（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·广东广州·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2025·广东深圳·三模）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)第一步去分母的依据是 ．
(2)在解答过程中，从第___步开始出错，错误原因是 ．
(3)原不等式的正确解集为___．
类型3 一元一次不等式组及其解法
【例题】
9．（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
【变式】
10．（2025·广东深圳·三模）若关于的一元一次不等式组无解，则的值可以是 ．（写出一个答案即可）
11．（2025·广东东莞·一模）若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
12．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示．
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
类型4 一元一次不等式（组）的实际应用
【例题】
13．（24-25七年级下·广东广州·月考）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元．
(1)按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案 请你设计出来；
(2)在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
【变式】
14．（24-25八年级上·广东深圳·期末）根据以下素材，探索完成任务．
背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室．
素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元．
素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解）
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？
15．（24-25七年级下·广东汕头·期末）【问题背景】
全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据：
排碳计算公式 每人使用各种交通工具每移动产生的碳排放量
家庭用电的二氧化碳排放量耗电量汽油的二氧化碳排放量耗油量天然气的二氧化碳排放量天然气使用量自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车：公交车：汽车：
【理解应用】
（1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？
【方案设计】
（2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？
类型5 一元一次方程与不等式（组）的实际应用
【例题】
16．（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【变式】
17．（2024·广东·模拟预测）某超市用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元．
(1)甜柿和三华李的进价分别是每千克多少元？
(2)受天气影响，在运输过程中三华李损耗了，若三华李的售价为每千克20元，要使此次销售获利不少于2100元，则甜柿的售价为最少应为多少元？
18．（2023·广东广州·二模）为增强市民垃圾分类意识，某社区举行了垃圾分类知识竞赛，一共有道题，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛市民只有1道题没有作答，最后他的总得分为分，则该参赛市民一共答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？
19．（2023·广东清远·二模）为庆祝传统佳节重阳节，大力弘扬中华民族尊老敬老的传统美德，佛山市某公司为退休职工派发一批佛山特色美食礼品．公司购置礼品的经费预算是1800元，其中大良崩砂价格是24元/包，盲公饼价格是16元/包．
(1)如果该公司计划购买大良崩砂和盲公饼共100包，经费恰好用完，那么大良崩砂和盲公饼各买多少包？
(2)若该公司只购买盲公饼，两个店家给予优惠如下．
甲店家的优惠：盲公饼每购买20包，赠送1包；
乙店家的优惠：购买盲公饼的数量超过m包时，在此基础上每多购买3包，赠送1包．
该公司为了买到尽量多的盲公饼，最终选择在乙店家进行购买，求m的最大值．
20．（2022·广东梅州·一模）小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示14天内爸爸去过深圳、广州、湛江．已知广州到深圳的路程比广州到湛江的路程少280公里，小明的爸爸驾车从深圳到广州的平均速度是70千米/小时，从广州到湛江的平均速度是60千米/小时，从广州到湛江的时间比从深圳到广州的时间多5小时．
(1)求广州到深圳的路程；
(2)从广州到湛江时，若小明的爸爸要至少提前2小时到家．则驾车的平均速度应满足什么条件？
21．（2024·广东深圳·模拟预测）为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
(2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
22．（2024·广东广州·一模）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费元，再额外收取每人元；乙旅行社收费标准：每人收取元．该中学第一批组织了名学生参加，总费用为元．
(1)求甲旅行社一次最多能接待的人数；
(2)该中学为节约开支，要控制人均费用不超过元，试求每批组织人数的合理范围．
类型6 二元一次方程组与不等式（组）的实际应用
【例题】
23．（2025·广东广州·二模）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规15个，乙种圆规20个，需要310元；若购进甲种圆规20个，乙种圆规30个，需要440元．
(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，且购进两种圆规所用费用不超过964元，那么这个文具店购进甲种圆规的方案有几种？
【变式】
24．（2025·广东东莞·二模）随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元．
(1)求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元；
(2)若该市计划再安装甲、乙两种型号的充电桩共50个，且总成本不超过54万元，求最多能安装多少个甲型充电桩．
25．（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元．
(1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？
(2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？
26．（2025·广东深圳·二模）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元．
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
27．（2025·广东深圳·三模）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等．请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务：
材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人．
材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元．型号每辆载客量每辆租金甲型号30320乙型号45400
请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务．
(1)请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场．
(2)有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？
类型7 分式方程与不等式（组）的实际应用
【例题】
28．（2022·广东清远·一模）某汽车贸易公司销售，两种型号的新能源汽车，型车每台进货价格比型车每台进货价格少3万元，该公司用24万元购买型车的数量和用30万元购买型车的数量相同．
(1)求购买一台型、一台型新能源汽车的进货价格各是多少万元？
(2)该公司准备用不超过300万，采购，两种新能源汽车共22台，问最少需要采购型新能源汽车多少台？
【变式】
29．（2023·广东湛江·三模）某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多元，用元购进种商品和用元购进种商品的数量相同．
(1)种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过元的资金购进、两种商品共件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
30．（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元．
(1)求该商店第一次购进该款服装的数量；
(2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元．
31．（2022八年级上·全国·专题练习）某社区准备建造A，B两类摊位共80个，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
(1)求每个B类摊位占地面积；
(2)要求建A类摊位的数量不少于26个，且建造两类摊位的总费用不超过18320元．
①共有哪几种建造方案？
②最少费用是____元．
类型8 一次函数与不等式（组）的实际应用
【例题】
32．（2025·广东清远·一模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额．
【变式】
33．（2024·广东深圳·三模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元．
(1)求排球、足球的单价各为多少？
(2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元．
34．（23-24八年级下·广东深圳·期中）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，也是比较少能享有地理标志保护的荔枝，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍箱，桂味 箱，共需元；购进糯米糍箱，桂味箱，共需元．
(1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过元购进糯米糍、桂味共箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的倍，共有多少不同的种进货方案？如果该经销商将 购进的荔枝按照糯米糍每箱元，桂味每箱元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
35．（2025·广东深圳·二模）据以下素材，探索完成任务．
如何设计销售方案？
素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元．
素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．
问题解决
任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题：_____（用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可获得最大利润．
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共21分）
1．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（ ）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
6．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
二、填空题（每题3分，共15分）
8．（2025·四川泸州·中考真题）若点在第一象限，则的取值范围是 ．
9．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ．
10．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
11．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
12．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：
小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ．
三、解答题（共84分）
13．（2025·天津·中考真题,8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得____________；
(2)解不等式②，得____________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为____________．
14．（2025·辽宁·中考真题,8分）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．
(1)求种文创产品每件的进价；
(2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？
15．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题,8分）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．
(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
16．（2025·山东潍坊·中考真题,10分）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
(1)求型、型两种机器人的单价；
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
17．（2025·内蒙古·中考真题,10分）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
(1)求的值；
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个
18．（2025·四川泸州·中考真题,8分）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
19．（2025·四川绵阳·中考真题,10分）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
20．（2025·山东东营·中考真题,10分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？
21．（2025·四川遂宁·中考真题,10分）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元．
材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
不等式（组）验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
2．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，经了解，植物生长的温度为，而大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，则以下适宜植物长高的最高温度x是（ ）
A．15 B．20 C．24 D．25
5．下列不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式的解集如图所示，则a的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
7．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，求最多可购买多少个足球．若设购买足球m个，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
9．关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
10．关于的不等式组的所有整数解的和为5，且关于的一元一次方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．不等式的所有非负整数解为 ．
12．若点在第四象限，则的取值范围是 ．
13．将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ．
14．如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数 ．
15．随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为 ．
三、解答题（共75分）
16．（10分）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（3）直接写出不等式组的解集．
17．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______．
18．（8分）琪琪在解不等式组时，发现的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示，
(1)求被墨迹覆盖的系数；
(2)答案的第四步应用的性质为___________（填序号）；
A．等式的性质
B.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
C.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
D.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
(3)该不等式组的解集为___________
19．（9分）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
20．（10分）已知训练场球筐中有、两种品牌的乒乓球共101个，设品牌乒乓球有个．
（1）淇淇说：“筐里品牌球是品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；
（2）据工作人员透露：品牌球比品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明品牌球最多有几个．
21．（10分）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
22．（10分）“太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术．经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也较高.我国培育成功的太空育种鲜花“延丹号”山丹丹单价为元盆，“太空玫瑰”单价为元盆．
(1)为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共盆，若购买这两种鲜花的总价为元，请计算购买“延丹号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数；
(2)若公园购买这两种太空育种鲜花的预算资金只有元，所需购买两种鲜花的总数仍为盆，则最多可购买“太空玫瑰”多少盆？
23．（10分）随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时．
(1)求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人打药的面积．
(2)王伯伯种植了220亩玉米，他想用最多两个小时完成对所有玉米地的打药作业．现有两台无人机可供使用，若每个人打药的效率相同，则王伯伯至少还需要多少个人同时打药？
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高频考点专练10 不等式（组）
（5个知识点+8个题型+1个专练+验收卷）
1．不等式
不等式：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式．
【易错点剖析】
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2． 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．一元一次不等式
定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0（a≠0）叫做一元一次不等式的标准形式．
解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【易错点剖析】
不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实．
4．一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
【易错点剖析】
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
一元一次不等式（组）的应用：
列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；
（5）解：解出所列的不等式（组）的解集；
（6）答：由不等式（组）的解集及实际意义确定问题的答案．
【易错点剖析】
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键．
类型1 不等式的基本性质
【例题】
1．（2024·广东广州·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：A．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
B．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
C．∵，
∴，则此项错误，不符合题意；
D．∵，
∴，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【变式】
2．（2025·广东广州·三模）若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、由可得，，，无法得出，选项错误；
B、由可得，，选项错误；
C、由可得，，选项正确；
D、由可得，当时，；当时，；当时，，选项错误；
故选：C．
3．（2025·广东惠州·二模）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【分析】此题考查了不等式的性质，首先由得到，然后根据不等式的性质逐项求解分析即可．
【详解】解：∵
∴
∴，故A正确；
∴，故B，C错误；
∴
∴，故D错误．
故选：A．
4．（2025·广东广州·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、不等式的性质
【分析】本题考查了数轴上表示点，有理数的运算，不等式的性质．由数轴可得，，再由有理数的乘法，减法，绝对值，不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可得，，
∴，，，，
故A、B、C错误，不符合题意，D正确，符合题意，
故选：D．
类型2 一元一次不等式及其解法
【例题】
5．（2025·广东东莞·模拟预测）关于x的不等式中，某个不等式的解如图所示，则这个不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；是定方向，定方向的原则是∶“小于向左，大于向右”．根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
【详解】解∶处是实心圆点，且折线向右，
这个不等式的解集为．
故选 ∶A．
【变式】
6．（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：
在数轴上表示为：
故选：D．
7．（2025·广东广州·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
根据题意将方程组相减得，然后代入不等式求解即可即可得到m的最小整数解．
【详解】解：，
得：，
∵
∴
解得：，
∴m的最小整数解为4，
故选：B．
8．（2025·广东深圳·三模）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)第一步去分母的依据是 ．
(2)在解答过程中，从第___步开始出错，错误原因是 ．
(3)原不等式的正确解集为 ．
【答案】(1)不等式的基本性质
(2)四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）
(3)
【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了解不等式，理解并掌握解不等式的方法和步骤是解题关键．
（1）根据不等式的性质进行求解即可；
（2）第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变出错，即可获得答案；
（3）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质．
故答案为：不等式的基本性质；
（2）在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）．
故答案为：四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）；
（3），
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
即原不等式的正确解集为．
故答案为：．
类型3 一元一次不等式组及其解法
【例题】
9．（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
【答案】/
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【变式】
10．（2025·广东深圳·三模）若关于的一元一次不等式组无解，则的值可以是 ．（写出一个答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】根据不等式组无解，可得出a的范围，进而在范围内选出一个数即可．
【详解】解：若关于的一元一次不等式组无解，则，
的值可以是，
故答案为：答案不唯一．
11．（2025·广东东莞·一模）若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特点，求不等式组的解集，熟练掌握象限内点的坐标特点，是解题的关键．根据第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：点在第四象限，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于，
∴，
解得：，
即的取值范围是．
故答案为：．
12．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示．
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
【答案】；；；见解析
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集，
【详解】解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：，
故答案为：；；
类型4 一元一次不等式（组）的实际应用
【例题】
13．（24-25七年级下·广东广州·月考）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元．
(1)按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案 请你设计出来；
(2)在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)共有3种方案，方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装；
(2)方案3利润最大，最大为1900元
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算；
（1）设生产型号的童装件，则生产型号的童装件，根据生产50套童装所需甲种布料不超过38米、乙种布料不超过26米，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各生产方案；
（2）利用总利润=每套的利润×生产数量，即可得出各生产方案获得的总利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设生产型号的童装件，则生产型号的童装件，
依题意得：
解得：．
又∵为正整数，
∴可以取，，，
∴共有种生产方案，
方案：生产套型号的童装，套型号的童装；
方案：生产套型号的童装，套型号的童装；
方案：生产套型号的童装，套型号的童装．
（2）方案获得的总利润为（元）；
方案获得的总利润为（元）；
方案获得的总利润为（元）．
∵，
∴方案获得的总利润最大，最大利润是元．
【变式】
14．（24-25八年级上·广东深圳·期末）根据以下素材，探索完成任务．
背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室．
素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元．
素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解）
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？
【答案】任务一：共有2种租车方案，详见解析；任务二：200元钱
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、不等式组的方案选择问题
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键；
任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于360人且总租金不超过3300元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案；
任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用3300元减去花费最少的总租金，即可得出结论．
【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意得：
解得：
又∵a为整数，
∴或3
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为（元）；
选择方案2所需总租金为（元）．
∵，则（元），
∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱．
15．（24-25七年级下·广东汕头·期末）【问题背景】
全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量计算）排放，积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．以下是一系列排碳计算公式及数据：
排碳计算公式 每人使用各种交通工具每移动产生的碳排放量
家庭用电的二氧化碳排放量耗电量汽油的二氧化碳排放量耗油量天然气的二氧化碳排放量天然气使用量自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 自行车：公交车：汽车：
【理解应用】
（1）王芳家某月的“碳足迹”：家庭用电，水，天然气，汽油，请计算王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量多少（结果保留1位小数）？
【方案设计】
（2）为了早日实现“碳达峰”，王芳所在区域响应低碳环保号召，计划建设一些共享单车租赁点，已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若该区域计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？哪种方案最省钱？
【答案】（1）；（2）有3种建设方案；建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱
【知识点】不等式组的经济问题、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据不等关系，列出不等式．
（1）根据题干信息列出算式进行计算即可；
（2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据投入资金不超过50000元，两种租赁点都至少有一个列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：（1）
，
答：王芳家这个月（按30天计算）平均每天二氧化碳排放量．
（2）设大租赁点x个，则小租赁点个，根据题意得：
，
解得：，
∴x的整数解有1，2，3，
∴有3种建设方案，方案一：建2个大租赁点，6个小租赁点；方案二：建3个大租赁点，5个小租赁点；方案三：建1个大租赁点，7个小租赁点；
方案一所需要费用：（元）；
方案二所需要费用：（元）；
方案三所需要费用：（元）；
∵，
∴建1个大租赁点，7个小租赁点最省钱．
类型5 一元一次方程与不等式（组）的实际应用
【例题】
16．（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元；
(2)最多购置100个A玩具．
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；
由题意得：；
解得：，
则B玩具单价为（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，
由题意可得：，
解得：，
∴最多购置100个A玩具．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．
【变式】
17．（2024·广东·模拟预测）某超市用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元．
(1)甜柿和三华李的进价分别是每千克多少元？
(2)受天气影响，在运输过程中三华李损耗了，若三华李的售价为每千克20元，要使此次销售获利不少于2100元，则甜柿的售价为最少应为多少元？
【答案】(1)甜柿的进价是每千克5元，则三华李的进价是每千克15元
(2)甜柿的售价最少应为12.5元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键：
（1）设甜柿的进价是每千克x元，根据用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元，列出方程进行求解即可；
（2）设甜柿的售价为a元，根据此次销售获利不少于2100元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设甜柿的进价是每千克x元，则三华李的进价是每千克元，依题意，得
解得
此时；
答：甜柿的进价是每千克5元，则三华李的进价是每千克15元．
（2）解：设甜柿的售价为a元，依题意，得
，
解得；
答：甜柿的售价最少应为12.5元．
18．（2023·广东广州·二模）为增强市民垃圾分类意识，某社区举行了垃圾分类知识竞赛，一共有道题，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛市民只有1道题没有作答，最后他的总得分为分，则该参赛市民一共答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？
【答案】(1)该参赛市民一共答对了道题；
(2)参赛者至少需答对道题才能被评为“垃圾分类小达人”；
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】（1）设答对x题根据题意中的分数列方程求解即可得到答案；
（2）设答对m题，根据分数要求列不等式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设答对x题，则答错题，由题意可得，
，
解得：，
答：该参赛市民一共答对了道题；
（2）解：设答对m题，由题意可得，
，
解得：，
∴参赛者至少需答对道题才能被评为“垃圾分类小达人”；
【点睛】本题考查一元一次方程解决实际应用题及一元一次不等式解决实际应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
19．（2023·广东清远·二模）为庆祝传统佳节重阳节，大力弘扬中华民族尊老敬老的传统美德，佛山市某公司为退休职工派发一批佛山特色美食礼品．公司购置礼品的经费预算是1800元，其中大良崩砂价格是24元/包，盲公饼价格是16元/包．
(1)如果该公司计划购买大良崩砂和盲公饼共100包，经费恰好用完，那么大良崩砂和盲公饼各买多少包？
(2)若该公司只购买盲公饼，两个店家给予优惠如下．
甲店家的优惠：盲公饼每购买20包，赠送1包；
乙店家的优惠：购买盲公饼的数量超过m包时，在此基础上每多购买3包，赠送1包．
该公司为了买到尽量多的盲公饼，最终选择在乙店家进行购买，求m的最大值．
【答案】(1)大良崩砂买25包，盲公饼买75包
(2)m的最大值为94
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查了一元一次方程与一元一次不等式应用——购买问题，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解决问题的关键
（1）设大良崩砂买x包，根据1800元购买大良崩砂和盲公饼共100包，大良崩砂价格是24元/包，盲公饼价格是16元/包，列方程解答；
（2）根据在甲店家购买盲公饼117包，该公司为了买到尽量多的盲公饼，最终选择在乙店家进行购买，在乙店家购买盲公饼的数量超过m包时，每多购买3包，赠送1包，列不等式解答．
【详解】（1）设大良崩砂买x包，则盲公饼买包，
依题意，得，
解得，
（包）．
答：大良崩砂买25包，盲公饼买75包．
（2），
在甲店家购买盲公饼数量为（包）．
在乙店买到盲公饼数比在甲店买的多，
在乙店买到的盲公饼数至少为118包，
则，
解得，
即m的最大值为94．
20．（2022·广东梅州·一模）小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示14天内爸爸去过深圳、广州、湛江．已知广州到深圳的路程比广州到湛江的路程少280公里，小明的爸爸驾车从深圳到广州的平均速度是70千米/小时，从广州到湛江的平均速度是60千米/小时，从广州到湛江的时间比从深圳到广州的时间多5小时．
(1)求广州到深圳的路程；
(2)从广州到湛江时，若小明的爸爸要至少提前2小时到家．则驾车的平均速度应满足什么条件？
【答案】(1)140千米
(2)从广州到湛江的平均车速至少为84千米/小时
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）设广州到深圳的路程为x千米，根据从广州到湛江的时间比从深圳到广州的时间多5小时列出方程，求解即可；
（2）首先求出计划从广州到湛江的时间为7小时，再根据至少提前2小时到家，设平均速度为y千米/小时，列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设广州到深圳的路程为x千米，则广州到湛江的路程为（x+280）千米，
依题意得：，
解得：，
答：广州到深圳的路程为140千米．
（2）解：设从广州到湛江的平均车速调整为y千米/小时，原来所花的时间为小时，
依题意得：，
解得：，
答：从广州到湛江的平均车速至少为84千米/小时．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找准等量关系，列出一元一次方程和不等式是解题关键．
21．（2024·广东深圳·模拟预测）为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
(2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
【答案】(1)38吨
(2)3个
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨，根据一共要处理920吨垃圾列出方程求解即可；
（2）设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，则提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨），个B型点位每天处理生活垃圾（吨），再根据一共处理的垃圾要不少于吨列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨，
根据题意，得，
解得．
答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨．
（2）解：设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，
由（1）可知垃圾分类要求提高前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则垃圾分类要求提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨）；
垃圾分类要求提高前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则垃圾分类要求提高后，每个B型点位每天处理生活垃圾（吨）．
根据题意，得，
解得．
是正整数，
符合条件的的最小值为3．
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
22．（2024·广东广州·一模）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费元，再额外收取每人元；乙旅行社收费标准：每人收取元．该中学第一批组织了名学生参加，总费用为元．
(1)求甲旅行社一次最多能接待的人数；
(2)该中学为节约开支，要控制人均费用不超过元，试求每批组织人数的合理范围．
【答案】(1)人；
(2)．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】（）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解；
（）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解；
本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：若，则名学生的总费用为元，
∵，
∴，
依题意得，，
解得，
答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人；
（2）解：当时，；
解得；
当时，，
解得；
∴每批组织人数的合理范围为．
类型6 二元一次方程组与不等式（组）的实际应用
【例题】
23．（2025·广东广州·二模）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规15个，乙种圆规20个，需要310元；若购进甲种圆规20个，乙种圆规30个，需要440元．
(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，且购进两种圆规所用费用不超过964元，那么这个文具店购进甲种圆规的方案有几种？
【答案】(1)购进甲圆规的单价为10元，乙圆规的单价为8元
(2)这个文具店购进甲种圆规的方案有种，分别是购进甲种圆规个，个，个
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）设购进甲圆规的单价为x元，乙圆规的单价为y元，根据“若购进甲种圆规15个，乙种圆规20个，需要310元；若购进甲种圆规20个，乙种圆规30个，需要440元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元，且购进两种圆规所用费用不超过964元”列出关于m的不等式组，求解，再根据为正整数，即可解答．
【详解】（1）解：设购进甲圆规的单价为x元，乙圆规的单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：购进甲圆规的单价为10元，乙圆规的单价为8元；
（2）解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，
根据题意，得，
解得，
∵为正整数，则，
∴这个文具店购进甲种圆规的方案有种，分别是购进甲种圆规个，个，个．
【变式】
24．（2025·广东东莞·二模）随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元．
(1)求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元；
(2)若该市计划再安装甲、乙两种型号的充电桩共50个，且总成本不超过54万元，求最多能安装多少个甲型充电桩．
【答案】(1)每个甲型充电桩的安装成本万元，每个乙型充电桩安装成本1万元
(2)最多能安装20个甲型充电桩
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程组和不等式求解即可．
（1）设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元，根据“安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元”列出方程组求解即可；
（2）设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩个，根据“总成本不超过54万元”列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元，
，
解得：，
答：每个甲型充电桩的安装成本万元，每个乙型充电桩安装成本1万元．
（2）解：设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩个，
，
解得：，
答：最多能安装20个甲型充电桩．
25．（2025·广东珠海·一模）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元．
(1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？
(2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？
【答案】(1)匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元
(2)①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题
【分析】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键．
（1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组求解即可；
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元
由题意得：
解得：
答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元．
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个．
由题意得：，
又取正整数，
可取5，6
当时，匹克球数量为：个；
当时，匹克球数量为：个．
答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个．
26．（2025·广东深圳·二模）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人，此前校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元．
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
【答案】任务一：一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元；任务二：方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车；方案一的花费最少，比预算节省200元
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是：
（1）设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元，根据“校租用6辆大型客车4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元”列方程组求解即可；
（2）设租用辆大型客车，租用辆中型客车，根据总载客量不少于460人且总租金不超过4900元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租车方案，然后求出选择各租车方案所需总租金，比较即可得出结论．
【详解】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元．根据题意得：
，
解得
所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元．
任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车，
根据题意得：
，
解得，
为正整数，所以可以为8或9．
方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车
方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车．
∵方案一的费用为：（元）
方案二的费用为：（元）
∴方案一的花费最少，比预算节省200元．
27．（2025·广东深圳·三模）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等．请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务：
材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人．
材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元．型号每辆载客量每辆租金甲型号30320乙型号45400
请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务．
(1)请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场．
(2)有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？
【答案】(1)在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆
(2)有三种租车方案供学校选择，最少租车费用为7040元
【知识点】不等式组的方案选择问题、方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用.
（1）方法一：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆，根据题意列二元一次方程组计算即可；
方法二：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆，根据题意列方程求解即可；
（2）设学校租用型号客车辆车，租用型号客车辆，求出，根据为整数分情况讨论即可.
【详解】（1）方法一：
解：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆．
根据题意，得：
解得：
答：在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆．
方法二：
解：设在提供的时间段内进入停车场有私家车辆，客车辆．
根据题意，得：
解得：
答：在提供的时间段内进入停车场有私家车200辆，客车120辆．
（2）解：设学校租用型号客车辆车，租用型号客车辆．
根据题意，得：
解得：，
为整数，
的整数解为10、11、12，即：学校有3种租车的方案．
①租用A型号10辆，租用B型号10辆，租金为：（元）；
②租用A型号11辆，租用B型号9辆，租金为：（元）；
③租用A型号12辆，租用B型号8辆，租金为：（元）．
，
最少的租车费用为7040元．
答：有三种租车方案供学校选择，最少租车费用为7040元．
类型7 分式方程与不等式（组）的实际应用
【例题】
28．（2022·广东清远·一模）某汽车贸易公司销售，两种型号的新能源汽车，型车每台进货价格比型车每台进货价格少3万元，该公司用24万元购买型车的数量和用30万元购买型车的数量相同．
(1)求购买一台型、一台型新能源汽车的进货价格各是多少万元？
(2)该公司准备用不超过300万，采购，两种新能源汽车共22台，问最少需要采购型新能源汽车多少台？
【答案】(1)A型新能源车的进货价格为12万元，B型新能源车的进货价格为15万元
(2)10台
【知识点】分式方程的经济问题、一元一次不等式组的其他应用、根据实际问题列二元一次方程组
【分析】（1）设A型新能源车的进货价格为x万元，B型新能源车的进货价格为y万元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设公司计划购买A型新能源车m台，则B型新能源车的购买量为(22-m)台，依据题意列出不等式组，即可求出m的取值范围，即可得解．
【详解】（1）设A型新能源车的进货价格为x万元，B型新能源车的进货价格为y万元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，方程组的解符合题意，
即：A型新能源车的进货价格为12万元，B型新能源车的进货价格为15万元；
（2）设公司计划购买A型新能源车m台，则B型新能源车的购买量为(22-m)台，
根据题意，有：，
解不等式得：，
即：最少需要购买A型新能源车10台．
【点睛】本题考查了解分式方程、解不等式组等知识，准确理解题中的数量关系列出方程组、不等式组是解答本题的关键．
【变式】
29．（2023·广东湛江·三模）某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多元，用元购进种商品和用元购进种商品的数量相同．
(1)种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过元的资金购进、两种商品共件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
【答案】(1)种商品每件的进价是元，种商品每件的进价是元
(2)共有种进货方案
【知识点】分式方程的经济问题、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的实际应用；
（1）设种商品每件的进价为元，则种商品每件的进价为元，
由题意列出关于的分式方程，求解并检验，然后作答即可；
（2）设购进种商品件，则购进种商品为件，由题意得出关于的不等式组，解出的取值范围并取整数解，即可求出方案．
【详解】（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种商品每件的进价是元，种商品每件的进价是元；
（2）设购买种商品件，则购买商品件，
由题意，得，
解得．
为正整数，
、、、、，
商店共有种进货方案．
30．（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元．
(1)求该商店第一次购进该款服装的数量；
(2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元．
【答案】(1)该商店第一次购进100件该款服装
(2)每件服装的标价至少是150元
【知识点】分式方程的经济问题、不等式组的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装，根据第二批购进每件的价格比第一次购进的价格贵了20元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设每件服装的标价是y元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于9500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进100件该款服装；
（2）解：设每件服装的标价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴y的最小值为150.
答：每件服装的标价至少是150元．
31．（2022八年级上·全国·专题练习）某社区准备建造A，B两类摊位共80个，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
(1)求每个B类摊位占地面积；
(2)要求建A类摊位的数量不少于26个，且建造两类摊位的总费用不超过18320元．
①共有哪几种建造方案？
②最少费用是____元．
【答案】(1)6平方米；
(2)①见解析；②18040．
【知识点】不等式组的方案选择问题、分式方程的其它实际问题
【分析】（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）①设建造m个A类摊位，则建造个B类摊位，根据“建A类摊位的数量不少于26个，且建造两类摊位的总费用不超过
m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各建造方案；
②利用总价=单价×数量，可求出各建造方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为平方米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每个B类摊位占地面积为6平方米．
（2）每个A类摊位的建造费用为（元），
每个B类摊位的建造费用为（元）．
①设建造m个A类摊位，则建造个B类摊位，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为26，27，28，
∴共有3种建造方案，
方案1：建造26个A类摊位，54个B类摊位；
方案2：建造27个A类摊位，53个B类摊位；
方案3：建造28个A类摊位，52个B类摊位．
②建造方案1所需费用为（元）；
建造方案2所需费用为 （元）；
建造方案3所需费用为（元）．
∵，
∴最少费用是18040元．
故答案为：18040．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；②利用总价=单价×数量，分别求出各建造方案所需费用．
类型8 一次函数与不等式（组）的实际应用
【例题】
32．（2025·广东清远·一模）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额．
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨；
(2)与的函数关系式为，最少购买金额为46.4万元．
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的其它实际问题
【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用；
（1）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物为吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）由题意可得购买型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式，由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物为吨，由题意得：
，
解得：；
经检验：是原方程的解；
∴（吨），
答：每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物为吨．
（2）解：由题意可得：购买型机器人的台数为台，
∴；
由题意得：，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，即为，
即：与的函数关系式为，最少金额为万元．
【变式】
33．（2024·广东深圳·三模）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元．
(1)求排球、足球的单价各为多少？
(2)若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元．
【答案】(1)排球的单价为元，足球的单价为元；
(2)张老师带的钱不够，最少还差元．
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】（）设排球的单价为元，则足球的单价为元，根据题意列出方程即可求解；
（）设学校购买个足球，则购买个排球，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，设费用为元，再求出与的一次函数关系，最后根据一次函数的性质即可解答；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设排球的单价为元，则足球的单价为元，
依题意得，，
解得（不符合题意，舍去），，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：排球的单价为元，足球的单价为元；
（2）解：设学校购买个足球，则购买个排球，
依题意得，，
解得，
设费用为元，
由题意得，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，的值最小，，
∵，，
∴张老师带的钱不够，最少还差元，
答：张老师带的钱不够，最少还差元．
34．（23-24八年级下·广东深圳·期中）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，也是比较少能享有地理标志保护的荔枝，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍箱，桂味 箱，共需元；购进糯米糍箱，桂味箱，共需元．
(1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过元购进糯米糍、桂味共箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的倍，共有多少不同的种进货方案？如果该经销商将 购进的荔枝按照糯米糍每箱元，桂味每箱元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
【答案】(1)糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元；
(2)购进糯米糍箱，桂味箱时，获利最多．
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设糯米糍有箱，则桂味有箱，据题意列出一元一次不等式组，解不等式组得出，设利润为，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：(1)设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，
根据题意得：
解得：
答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元；
（2）设糯米糍有箱，则桂味有箱，
由题意可得：
解得：
为正整数，
共有 种方案，
设利润为，则
获利随的增加而减小
当时，获利最多，
购进糯米糍箱，桂味箱时，获利最多
35．（2025·广东深圳·二模）据以下素材，探索完成任务．
如何设计销售方案？
素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元．
素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．
问题解决
任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题：_____（用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可获得最大利润．
【答案】任务1：；任务2：每千克茶叶50元，每千克花生10元；任务3：当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大．
【知识点】列代数式、销售盈亏(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的实际应用．
任务1 根据每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，用x表示出y值即可．
任务2 根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案．
任务3 设花生销售m千克，茶叶销售千克获利最大，利润w元，根据题意列出关于m的一元一次不等式组求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数，根据函数的性质即可得出答案．
【详解】解：任务1：假设每千克茶叶的售价为元/千克，
每千克花生的售价为元/千克，
任务2：根据题意得：，
解得：，
则（元），
答：每千克茶叶50元，每千克花生10元；
任务3：设花生销售m千克，茶叶销售千克获利最大，利润w元，
由题意得：，
解得：，
，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，利润最大，
此时花生销售30千克，茶叶销售（千克），
∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大．
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共21分）
1．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案．
【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意；
B、，则，选项错误，不符合题意；
C、，则，选项错误，不符合题意；
D、，则，即，选项正确，符合题意，
故选：D．
2．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．
解一元一次不等式，通过移项即可求解．
【详解】解：不等式为，
移项，得：，
不等式的解集为．
故选：A．
3．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解．
【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克，
∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克，
∵，
∴，
故选：A
4．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示是：
故选：C．
5．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（ ）
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
【答案】C
【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道．
根据题意得：，
解得：，
∴x的最小值为12，
∴他至少要答对12道题．
故选：C．
6．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①∵，
∴，故①正确，
②∵，
当时，，
当时，，即，故②不正确；
③不成立，例如，则，故③不正确；
④当即时，
则：，
解得：，
∴；
当，即时，
则：，
解得：，
∴，
综上所述，，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故选：B．
7．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
【答案】B
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解①得：
解②得：，
∵关于x的不等式组至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
当时，解集包含，
此时．
分式方程化简为：，
解得．
要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，
即为大于等于6的偶数．
∵，
∴或8，
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
则所有满足条件的整数之和为，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
8．（2025·四川泸州·中考真题）若点在第一象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
9．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围．
【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：，
正整数解一定有无数个．故不满足条件．
（2）时，无论取何值，不等式恒成立；
（3）当时，不等式的解集为：，
∵不等式的正整数解为1，2，3，
∴，
解得．
故的取值范围是．
故答案为：．
10．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键．
先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
∴．
故答案为：
11．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，
故答案为：．
12．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：
小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可．
【详解】解：根据对话可得，
解得，
故答案为：．
三、解答题（共84分）
13．（2025·天津·中考真题,8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得____________；
(2)解不等式②，得____________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)作图见解析
(4)
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，
（1）根据移项，合并同类项即可得解；
（2）根据移项，合并同类项即可得解；
（3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形；
（4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集；
解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则．
【详解】（1）解：移项，得：，
合并同类项，得：，
∴解不等式①，得：，
故答案为：；
（2）移项，得：，
合并同类项，得：，
∴解不等式②，得：，
故答案为：；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
（4）原不等式组的解集为：，
故答案为：．
14．（2025·辽宁·中考真题,8分）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元．
(1)求种文创产品每件的进价；
(2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？
【答案】(1)种文创产品每件的进价为元
(2)小张最多可以购进50件种文创产品
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键：
（1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；
（2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元，
由题意，得：，
解得，
答：种文创产品每件的进价为元；
（2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元，
由题意，得：，
解得：；
答：小张最多可以购进50件种文创产品．
15．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题,8分）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．
(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
【答案】(1)甲型6元，乙型8元
(2)20盏
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元，
由题意，得
，
解得，
答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元．
（2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏，
由题意，得
解得，，
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯．
16．（2025·山东潍坊·中考真题,10分）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
(1)求型、型两种机器人的单价；
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元
(2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键：
（1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可；
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
所以，．
所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元．
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，
根据题意，得，
解得，
∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数
∴的取值为1，2，3，共有3种方案：
方案一：型机器人1台，型机器人9台；
方案二：型机器人2台，型机器人8台；
方案三：型机器人3台，型机器人7台．
17．（2025·内蒙古·中考真题,10分）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
(1)求的值；
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个
【答案】(1)8
(2)至少需要6个这样的机器人
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据“一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可；
（2）设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴的值为8；
（2）解：1小时，
设需要个这样的机器人，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
18．（2025·四川泸州·中考真题,8分）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为
(2)最少购进甲种商品40件
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
19．（2025·四川绵阳·中考真题,10分）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元
(2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元
【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元；
（2）解：设购买本型相册，则购买本型相册，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本型相册，5本型相册；
方案2：购买11本型相册，4本型相册；
方案3：购买12本型相册，3本型相册．
选择购买方案1所需费用为（元）；
选择购买方案2所需费用为（元）；
选择购买方案3所需费用为（元），
，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元．
20．（2025·山东东营·中考真题,10分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？
【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元；
(2)4种
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键：
（1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可；
（2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可．
【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
∴；
答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元；
（2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得：
，
解得：，
∵为整数，
∴，
∴，
故共有4种方案．
21．（2025·四川遂宁·中考真题,10分）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元．
材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
【答案】任务一：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元；任务二：有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；任务三：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元．
【分析】任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解；
任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解；
任务三：由种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据此解答即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键．
【详解】解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元；
任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴或或，
∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；
②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；
③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；
任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低，
∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，
即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，
∴最低购买费用为元，
答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元．
不等式（组）验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据差运算、不大于的定义列出不等式即可．
【详解】解：由题意，用不等式表示为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握“不大于是指小于或等于”是解题关键．
2．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
3．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：得，则，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
4．如图，经了解，植物生长的温度为，而大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，则以下适宜植物长高的最高温度x是（ ）
A．15 B．20 C．24 D．25
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式组的实际应用，根据题意可得，且x越大越好，据此可得答案．
【详解】解：∵大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，
∴四个选项中适宜植物长高的最高温度x是24，
故选：C．
5．下列不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意；
B、原不等式组无解，符合题意；
C、原不等式组的解集为，不符合题意；
D、原不等式组的解集为，不符合题意；
故选：B．
6．不等式的解集如图所示，则a的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了解不等式、解集的表示．根据数轴表示的不等式解集，与不等式的解集对比即可得到答案．
【详解】解：由题意，得解集为．
∵，
则，
，
，
故选B．
7．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集，数轴表示不等式解集，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键．
根据不等式的性质，分别求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
解集表示在数轴上如图所示，
，
故选：B ．
8．某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，求最多可购买多少个足球．若设购买足球m个，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】该题考查了一元一次不等式的应用，根据“不超过1000元购买篮球和足球共15个”，列不等式即可．
【详解】解：设购买足球m个，则购买篮球个，
则可列不等式为，
故选：B．
9．关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查不等式，能从读取图像的信息，会解含有参数的不等式，用参数表示不等式的解，由图像可以知道，，只需要根据写出的解集，即可求出的值．
【详解】解：∵，
，
由图像可知，
，
解得：，
故选：A．
10．关于的不等式组的所有整数解的和为5，且关于的一元一次方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程、分式的化简，熟练掌握相关知识点是解题的关键．解不等式组得，根据不等式组的所有整数解的和为5，得出或；解一元一次方程得，根据方程的解大于1，得出且，结合两个结果得出的取值范围，再列举出满足条件的所有整数即可求解．
【详解】解：解不等式组得，
不等式组的所有整数解的和为5，
可取2或3，亦可取，0，1，2，3，
或，
或；
解一元一次方程得，
由题意，得，
，
，
且，
或且．
是整数，
可取4，5，6或，
，
满足条件的所有整数的和是12．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．不等式的所有非负整数解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式的整数解，解此题的关键是求出不等式的解集．
先求出不等式的解集，再求出不等式的非负整数解即可．
【详解】解：，
，
，
所以所有非负整数解为，
故答案为：．
12．若点在第四象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点所在的象限、一元一次不等式组的应用，熟练掌握平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于是解题关键．根据平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：点在第四象限，
，
解得：，
故答案为：．
13．将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ．
【答案】
【分析】本题考查了用不等式表示，解题的关键在于用代数式表示出糖水中含糖的浓度．
根据题意分别表示出原糖水的浓度与加入克糖后糖水浓度，再结合题意列出不等式即可．
【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入克糖后糖水浓度为：，
糖水变甜了，即糖水的浓度变大了，
．
故答案为：．
14．如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数 ．
【答案】2
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是列出一元一次不等式组．
先列出一元一次不等式组，再求出其解集，然后求出整数解即可．
【详解】解：∵整式的值落在数轴上的区间②内，
∴，解得：，
∵是整数，
∴
故答案为：2 ．
15．随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为 ．
【答案】0.8
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明的平均速度为，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：设小明的平均速度为，根据题意得：
，
解得，，
所以，小明的最小平均速度为．
故答案为：0.8．
三、解答题（共75分）
16．（10分）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（3）直接写出不等式组的解集．
【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键．
（1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
不等式两边同时除以2得，
数轴表示如下所示：
（2）
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（3）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
17．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为______．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组；
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案；
（3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集；
（4）根据数轴上的解集取公共部分即可．
【详解】（1）解：解不等式①得，
故答案为：；
（2）解：解不等式②得，
故答案为：；
（3）解：在数轴上表示如下：
（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为，
故答案为：．
18．（8分）琪琪在解不等式组时，发现的系数被墨迹覆盖了，妈妈用纸片挡住了部分答案给她看，如图所示，
(1)求被墨迹覆盖的系数；
(2)答案的第四步应用的性质为___________（填序号）；
A．等式的性质
B.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
C.不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
D.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
(3)该不等式组的解集为___________
【答案】(1)6
(2)C
(3)
【分析】本题考查不等式的性质、解一元一次不等式、解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握不等式的性质是解答的关键．
（1）设被墨迹覆盖的系数是，根据不等式的性质，不等式的解集，分式方程的计算即可求解；
（2）根据不等式的性质2可得结论；
（3）求得①②不等式的解集，再求得它们的公共部分即可得到该不等式组的解集．
【详解】（1）解：设被墨迹覆盖的系数是，
∴不等式可变形为，
∵不等式①的解集为，
∴，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴被墨迹覆盖的系数是6；
（2）解：不等式得到，运用的是不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
故选：C；
（3）解：，
解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集为：．
19．（9分）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
20．（10分）已知训练场球筐中有、两种品牌的乒乓球共101个，设品牌乒乓球有个．
（1）淇淇说：“筐里品牌球是品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；
（2）据工作人员透露：品牌球比品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明品牌球最多有几个．
【答案】（1）不正确；（2）36
【分析】（1）解方程，得到方程的解不是整数，不符合题意，因此判定淇淇说法不正确；
（2）根据题意列出不等式，解不等式即可得到A品牌球的数量最大值．
【详解】解：（1），解得：，不是整数，因此不符合题意；
所以淇淇的说法不正确．
（2）∵A 品牌球有个，B 品牌球比A品牌球至少多28个，
∴，
解得：，
∵x是整数，
∴x的最大值为36，
∴A 品牌球最多有36个．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解决本题的关键是能根据题意列出方程或不等式，并结合实际情况，对它们的解或解集进行判断，得出结论；本题数量关系较明显，因此考查了学生的基本功．
21．（10分）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限
