八年级数学下册苏科版第8章《四边形》单元测试卷（含答案）

第8章《四边形》单元测试卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．下列图形中不是轴对称图形，只是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．圆 C．平行四边形 D．线段
2．如图，四边形中，，，且、的角平分线、分别交于点E、F，与交于点G．若，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．图①是某机械加工厂商标，小明联想到图②所示的几何图形．在中，，，的平分线交边于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交于点N，M．已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将正方形沿（点在边上）所在直线折叠后，点的对应点为点，比大，若设，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．四边形为正方形，把绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，交延长线于点，过点作交于点，在上取一点，使，连接、相交于点，连接，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
9．如图，在正方形中，点、分别是和边上的点，其中，上有一点，满足，连接，若为的中点，连接，设，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，点E，F分别为边上两点，满足，过点作于点，过点作于点，作的角平分线交于点．若，，则a，b，c满足下列哪个选项中的数量关系（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．小宇利用尺规在内作出点E，又在边上作出点F，作图痕迹如图所示，若，则之间的距离为 ．
12．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ．
13．如图，小明要从一条东西走向的河流北岸的A处去往河南岸的B处，因河流较宽，需在河面搭建一个与河两岸垂直的平板桥，已知A距离河北岸4.5米，B距离河南岸1.5米，河宽3米，且B处相对于A处的东西距离为8米．根据以上条件，从A处经过平板桥到达B处的最短路程是 ．

14．如图，某物流仓库为了稳定结构，保障仓库的安全，计划在其顶部安装钢架结构（由线段，，，，组成），其中，立柱，E，F分别为，的中点，且顶角．若钢架的长为5m，则制作一个这样的钢架结构，需要的钢架总长度为 m．
15．数学课上，以小组为单位开展以“矩形”为主题的数学实践活动，并进行如下操作：将两个相同大小的矩形纸片和重叠放置，固定，将矩形纸片绕点顺时针旋转，如图，当点恰好落在的中点时停止，连接，若，则 ．
16．青青把梯形按照下图的方法转化成平行四边形，且面积保持不变．已知梯形的面积是，高是，平行四边形中的长是 ．
17．如图所示，正方形是等边 ABC的内接正四边形，点是 ABC的重心，点、、分别在边、、上，将正方形绕点旋转时该正方形第一次重新内接于等边 ABC，记此时点的对应点为点，则的值为 ．
18．在矩形中，，，点为上一点，连接，如图1，将矩形沿翻折到矩形所在平面，点落在点处，点落在点处，且刚好经过点，则的长为 ；如图2，继续将沿向下翻折到矩形所在平面，点落在点处，连接，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知：如图，四边形是平行四边形．
(1)尺规作图：作的角平分线交的延长线于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
(2)求证：．
20．（8分）请你在下图中测量出一条线段的长度．再根据其他的条件算出梯形的面积．
21．（10分）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
22．（10分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)过点作交的延长线于点，连接．若，，求的长．
23．（10分）如图，四边形是平行四边形，，相交于点O，点E是的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若四边形是菱形，，且，求的面积．
24.（12分）
【发现证明】如图①，点，分别在正方形的边，上，．试判断，，之间的数量关系．
小聪把绕点逆时针旋转得到，通过证明，从而发现并证明了．
【类比延伸】
（1）如图②，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接．请根据小聪的发现给你的启示写出，，之间的数量关系，并证明．
【联想拓展】
（2）如图③，，，点，在边上，且．若，，求的长．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A、等边三角形是轴对称图形、不是中心对称图形，不符合题意；
B、圆既是轴对称图形、又是中心对称图形，不符合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形、是中心对称图形，符合题意；
D、线段既是轴对称图形、又是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．C
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵、的角平分线分别为、，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：C
3．B
解：∵四边形是平行四边形
∴，，
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴
故选：B．
4．A
解：∵正方形中，
∴，
，
设，
由题意得，，
，
，
，负值舍去，
，
，
，
故选：
5．A
解：由折叠可知，
四边形为正方形，
，
，
由比大得，
可列方程组为．
故选：．
6．C
解：∵四边形中，，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵为正三角形，
∴，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
7．D
解：∵四边形为正方形，把绕点逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在 BCF和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8．D
解：如图所示，过点C作于点E，于点F，
∵平分，，，
∴；
∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上一点，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点C到的距离为，
故选：D．
9．A
解：连接，
在正方形中，∠BAD=90 ,AB=BC=CD=AD，
，
，
∴ BAP≌ BCQ，
，
∵∠PBQ=x，
，
为的中点，
∴AF=BP=BF ，
，
，为的中点，
，
∴∠FBE=∠FEB=x，
，
，
故选：A．
10．D
解：如图，连接交于点K，设交于点H，过点M作于点L，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
故选：D
二、填空题
11．4
解：过点E作于点M，交的延长线于点N．
由作图可知，平分，平分，，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴之间的距离为4．
故答案为：4．
12．24
解：与互相平分，
∴四边形是平行四边形，
．
，，，
，
为直角三角形，，
，
∴
∴四边形的面积为．
故答案为：．
13．
解：设河北岸为直线，河南岸为直线，过点作于点，过点作于点，在上截取，连接交直线于点，过点作于点，连接和，则从处经过平板桥到达处的最短路程是，延长交于点，如图所示，
，，
，
，
为平行四边形，
．
根据题意得，，，，，
，
，
在中，．
最短路径．
故答案为：．
14．35
解：∵，
∴ ABC为等腰三角形，
又∵，，
∴为 ABC的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵E，F分别为，的中点，
∴，分别为和斜边上的中线，
∴，
又∵，
∴和均为等边三角形，
∴，
∵，
∴需要的钢架总长度为：．
故答案为：35．
15．
解：∵相同大小的矩形纸片和，，
∴，，
∵点恰好落在的中点，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
16．10
由题意可知，平行四边形的高为，面积为，
∴平行四边形中底边的长是，
故答案为：10
17．或
解：设的长为a，
∵ ABC是等边三角形，四边形是正方形，
∴，，，，，
∴，，，
∴，， ADE是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
如图，当顺时针将正方形绕 ABC的重心点旋转时该正方形第一次重新内接于等边 ABC时，
由旋转可知，此时，
∴；
如图，当逆时针将正方形绕 ABC的重心点旋转时该正方形第一次重新内接于等边 ABC时，
此时，，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
18． 1
解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵将矩形沿翻折到矩形所在平面，点落在点处，点落在点处，且刚好经过点，
∴，，，，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴，，
如图，过点作于点，则，
，
∵将沿向下翻折到矩形所在平面，点落在点处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：，．
三、解答题
19．（1）解：如图所示：即为所求；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
∴∠DAE=∠BEA，
平分，
，
，
，
．
20．解：如图，
测量得：，
根据题意得：，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴梯形的面积为．
21．（1）证明：∵AB∥CD，，
四边形是平行四边形，
．
由折叠知，
，
．
（2）解：，
，
．
由折叠知，
．
，
．
22．（1）证明：，
．
平分，
，
，
．
又，
．
，
四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
，，．
，
．
，
．
在中，，，
，
．
23．（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
（2）解：过点E作于H，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点E是的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴即，
∴，，
∴
∴．
24.解：（1）如图①，，
∴把绕点逆时针旋转．
可得．
则，，．
，
．
，
，
．
在和中，
，
．
，．
（2），，
∴把绕点逆时针旋转
可得，连接，如图②，
则，，，，
，
．
又，，
．
在和中，
，，
．