八年级数学下册试题 第八章《四边形》单元测试卷--苏科版（含答案）

第八章《四边形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点，若，，则长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　）
A．2.5 B． C． D．3
5．如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，于点E，且四边形的面积为8，则（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接 与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，四边形和四边形都是正方形．连接．若点F是线段上的一点，且，则（ ）
A．5 B． C． D．
9．如图，在中，，，E、F为上的动点，且，连接，当取得最小值时，则的值为（ ）

A． B．1 C． D．2
10．如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE，AF于G，H，下列结论：①∠CEH＝45°；②GF∥DE；③2OH+DH＝BD；④BG＝DG．其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．③④ C．①② D．②④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图1是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．为衣架的墙体固定端，为固定支点，为滑动支点，四边形和四边形是平行四边形，且，点B在上滑动时，衣架外延钢体发生角度改变，其外延长度（点A和点C间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．当伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为． 如图3，当点B向点A移动时，外延长度为，则与的之间距离为 ．
12．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为 ．
14．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，O为对角线交点，且∠CAE=15°.则∠AEO的度数为 .
16．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为．若，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，，，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，于点E，求的度数．
18．（6分）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：

问题解决：
（1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ；
实践探究：
（2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长．
19．（8分）问题情境：
如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
解决问题：
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图，若，，求的长；
(3)如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
20．（8分）情景：
现有一张锐角三角形纸片（如图1所示），，．嘉嘉经过一刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的平行四边形（如图2所示）．
发现：
如图2，________，________；
操作：
将图1的三角形纸片经过两刀裁剪，拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形，且使矩形的一条边落到上（可以与重合）．
探究：通过计算确定矩形的周长．
21．（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图：
(1)在图①中以已知线段为对角线画一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为_____．
(2)在图②中以已知线段为对角线画一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的周长为_____．
(3)在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）．
(4)在图④中画一个面积为8的正方形．
22．（10分）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接．
(1)当点与点重合时，的值为________．
(2)直接写出的长（用含的代数式表示）；
(3)当平分面积时，求的值；
(4)当时，直接写出的值．
23．（12分）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为．
(1)点A的坐标为： ，点B的坐标为： ．
(2)如图1，把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与、、的交点分别为D，F，E，求直线的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）
(3)若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）【问题探究】
（1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______；
（2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值；
【问题解决】
（3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值．
参考答案
一．选择题
1．A
解：由轴，，，
不妨设，，
由矩形，
故点E是与的中点，且，
故，或，
同一点的坐标是相同的，
故，
故，
故
故，
解得，
故，
故选：A．
2．B
解：连接，设交于点O，
由作图过程可知，，，
，
四边形为平行四边形，
∴，
，，
，
，
四边形为平行四边形．
，
四边形为菱形，
，
．
故选：B
3．B
解：由矩形与折叠的性质可知，，，
∴四边形是正方形，，
由折叠的性质可知，，
∴，
故选：B．
4．D
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵对角线分得到的两个角的度数之比是，
∴设，则，
∴，
解得：，
∴，，
∴，，
∵，
∴设，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
5．A
解：过点作于点，

∵四边形是正方形，
∴，
由题意可得，
∴四边形为菱形，
∴，
设
∵
∴
∴，
而，
∴，
故选：A．
6．C
解：过作垂直的延长线于点，
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
又∵，
∴，
又，
∴，
∴；
∴四边形为正方形；
∴四边形的面积等于正方形的面积，即等于8，
，
，
故选：C．
7．B
解：如图：连接
∵，．
∴是等腰直角三角形
则
∵将沿折叠，使点A落在边的中点D处
∴
∴
∴
∴
∵
∴
则，
∵I为的中点
∴三点共线
∵点G、H分别为的中点，点D在边的中点处
∴分别是的中位线
∴
∴
∴四边形是平行四边形
同理得
∴四边形是菱形
则连接，分别交于点，连接
∵折叠
∴
∴
∵
∴都是等腰直角三角形
∴
∴点和点分别是的中点
则
则
则
∵点G、H、I分别为的中点
∴
则
则是平行四边形
则点是的中点
同理得点是的中点
则
∴四边形的面积为菱形的面积一半
∵，．
∴
则，
则，
∴菱形的面积，
∴四边形的面积为，
故选：B．
8．D
解：∵四边形和四边形都是正方形．，
∴，，
则，，
即，
∴，
∴，
∵，且
∴
即
过点G作，过点G作，如图所示：
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
故选：D
9．B
解：如图，作点C关于直线的对称点D，连接，，延长到H，使得，连接，，．

∵，，
∴，
∵C，D关于对称，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为线段的长，
∴当点E在上时，取得最小值，
此时如图，

在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为1，
故选：B．
10．C
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°．
∵△BEC是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE，∠EBC＝∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴AB＝BE＝CE＝CD，∠ABE＝∠DCE＝30°，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°，
∴∠EAD＝∠EDA＝15°，
∴∠DEF＝30°，
∴∠CEF＝45°．故①正确；
②∵∠EDC＝75°，∠BDC＝45°，
∴∠EDB＝30°，
∴∠DEF＝∠EDG．∠EGD＝75°．
∵∠ADC＝90°，∠DAF＝15°，
∴∠EFD＝75°，
∴∠EFD＝∠EGD．
在△DEF和△EDG中，
，
∴△DEF≌△EDG（AAS），
∴DF＝EG．
∵EC＝DC，
∴EC﹣EG＝DC﹣DF，
∴CG＝CF，
∴∠CGF＝∠CFG＝75°，
∴∠CED＝∠CGF，
∴GF∥ED．故②正确；
③由图可知2（OH+HD）＝2OD＝BD，所以2OH+DH＝BD此结论不正确；
④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，
∴∠BMC＝∠DNC＝90°，
设AB＝BC＝CD＝AD＝x，
∴BM＝，DN＝．
∵，
∴，
∴BG＝DG．故④错误；
故选：C．
二．填空题
11．24
解：如图，过点作于点，
由题意可知，，
设，
，
，
当时，，此时，
，
，
解得：，
，
当外延长度为时，如图，连接、交于点，过点作于点，则，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形，
，，，，
在中，，
，
，
，
，即与的之间距离为，
故答案为：．
12．
解：，，
，四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，，
，
连接，如图所示：
，
，
即，
，
，
当最短时，有最小值，
由垂线段最短可知：当时，最短，
当点与点重合时，有最小值，最小值，
故答案为：．
13．或
解：点A的坐标为，四边形为矩形，
，，
取的中点G，连接，
则，
D为的中点，G为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
由图可得，故分两种情况讨论：
当时，如图：
则，
，
；
当时，如图：
则，
，
；
综上可知，点B的坐标为或
故答案为：或．
14．
解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，

∵正方形边长为6，，
∴，，
∴，，
∵M、N分别是和的中点，
∴，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∵
∴，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
15．30°
解∶∵四边形ABCD是矩形．
∴∠BAD=∠ABC=90°， AO=BO=BD=AC；
∵AE是∠BAD的角平分线；
∴∠BAE=45°
∵∠CAE=15°
∴∠BAC=60°
∴△AOB是等边三角形；
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
∵在Rt△ABE中，∠BAE=45°，
∴∠AEB=∠BAE=45°，
∴AB=BE，
∵△ABO是等边三角形，
∴AB= BO，
∴OB= BE，
∴∠BOE=∠BEO= ( 180°-30°) =75°，
∴∠AEO=∠BEO -∠AEB=75°-45°=30°，
故答案为：30°．
16．8
连接，如图所示：
依题意得，，，
，
四边形为正方形，
，
即，
在和中，
，
，
同理：，
，
四边形为菱形，
，
又，
，，在同一条直线上，
，
，
菱形为正方形，
，
同理：在同一条直线上，在同一条直线上，，，在同一条直线上，
设，则，
，
，
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，
．
三．解答题
17．（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵，，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
．
18．解：（1）由翻折的性质可得，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
假设，则，
由勾股定理得，
即，
解得，
,；
∴；
故答案为：3,10；
（2）如图，连接，
由翻折的性质可得，，，
，
∴，
∴,
∴，
∴,且，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴为菱形，
∴，，
又，
∴点在同一条直线上，
同（1）可得，，
，
由够定理得，
，
解得．
19．（1）解：四边形是正方形，理由：
由旋转可知：，，，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：由（）知，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴的长为；
（3）解：，
证明：如图，过点作，垂足为，
则，，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．解：发现：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴点A与点C，点D与点F，点E与点E是对应顶点，
∴，
；
故答案为：4；24
操作：如图所示
方案一：先取边的中点D，Q，沿的方向剪，然后再点D沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形；
方案二：先取边的中点P，Q，沿的方向剪，然后再的中线的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形；
方案三：分别在边的中点P，Q，沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形，
如图，方案一：过点A作于点M，交于点N，设交于点P，
∵，，
∴，
∴，
由发现得：四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
此时方案一：矩形的周长为；
同理方案二：矩形的周长为；
方案三：由操作方法得：，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
过点A作于点M，则，
∴矩形的周长．
综上所述，矩形的周长为或．
21．（1）解：如图①所示．
该矩形的面积为．
故答案为：8．
（2）解：如图②所示．
该菱形的边长为，
该菱形的周长为．
故答案为：．
（3）解：如图③所示．
（4）解：如图④所示．
22．（1）解：点Q与点C重合时，
由题意得：，
解得：，
即点Q与点C重合时，t的值为6；
（2）解：当点Q沿运动时，；
由题意得：；
当点Q沿运动时，，
∴，
即；
（3）解：∵面积为，
∴梯形的面积为
分两种情况：
当点Q沿运动时，如图，
∴，
解得：；
当点Q沿运动时，如图，
同理：，
解得：，
此时，两点重合，两点重合；
综上所述，当平分面积时，t的值为12或；
（4）解：分两种情况：
点Q沿运动时，
如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点Q沿运动时，
如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时，
同理，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即，
∴，
解得：；
综上所述，当时，t的值为2或或．
23．（1）解：四边形是矩形，
，，
则，
，则，
，，
故答案为：，；
（2）解：连接，，
矩形沿直线对折使点落在点处，
是的垂直平分线，，，则，，
，，
∴，
，
∴四边形是菱形，
，
设，则，
在中：，
即，
解得：，
，，
，，
设直线的解析式为，
将、坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为．
（3）解：设，
，，
，
①当时，
即，解得：或（当时，点在轴上方，舍去）
，
由中点坐标可得：，
得，
即：；
②当时，，
解得：或 时，点与点重合，舍去），
，
由中点坐标可得：，
得，
即：；
③当时，，
由勾股定理可得：，即，解得：，
此时点在轴上方，故不符合题意，
综上，当的坐标为或时，使得以、、、为顶点的四边形是菱形．
24．（1）如下图，
四边形是矩形，
，
∵，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图，
连接，连接，交于，
点、分别是、的中点，
，
当时，最小，从而最小，
四边形是菱形，
，，，
，
，
由，
，
，
；
（3）如图，
取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，
四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
是矩形，
，
，，
米，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
作于，
则最小值是的值，
米，
米，
米，
灌溉水渠总长度的最小值为：米．