26.2 实际问题与反比例函数（含答案）-2025-2026学年九年级下册数学人教版

26.2 实际问题与反比例函数
一、选择题（共8小题）
1．（2025秋 大冶市期末）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝10m3时，气体的密度是（　　）
A．1kg/m3 B．2kg/m3 C．5kg/m3 D．10kg/m3
2．（2025秋 蓬莱区期末）学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强P（单位：Pa）是木板面积S（单位：m2）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．当S≤1m2时，P≤600Pa
B．当S≥1m2时，P≥600Pa
C．当S＝0.5m2时，P＝300Pa
D．当0＜S≤0.5m2时，P≥1200Pa
3．（2025秋 南昌期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流I从6A增加到10A时，电阻R减小了（　　）
A．6Ω B．3.6Ω C．3.4Ω D．2.4Ω
4．（2025秋 玉田县校级期末）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　）
A．10min B．11min C．15min D．18min
5．（2025秋 遵化市期末）面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（　　）
A．y B．y C．y＝60x D．y＝60﹣x
6．（2025 运城校级模拟）密度计常用来测量液体的密度．如图1是一款自制的木棒密度计，将木棒依次放入一系列密度已知的液体中，每次当其在液体中处于竖直漂浮状态时，在木棒上标出与液面位置相平的刻度线及相应密度值ρ，并测量木棒浸入液体的深度h，再利用收集的数据画出ρ与h的关系图象，如图2所示．根据图象判断，下列说法正确的是（　　）
A．密度ρ越大，深度h越大
B．若h1＜h3＜h2，则ρ1＜ρ3＜ρ2
C．密度ρ均匀增加时，深度h的变化量相同
D．密度计的刻度线越往上，对应的密度越小
7．（2025 洛龙区一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）与液体密度ρ（ρ＞0，单位：g/cm3）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm
B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm
C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体密度ρ≥0.8g/cm3
D．当液体密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm
8．（2024秋 焦作期末）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，其图象如图所示．小敏同学想通过矫正治疗近视，眼镜的度数D不超过200度，则她佩戴眼镜的焦距f应满足（　　）
A．f＜0.5 B．f＞0.5 C．f≥0.5 D．f≤0.5
二、填空题（共8小题）
9．（2025秋 东莞市校级期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度v（m/s）与载重后总质量m（kg）的函数表达式为，当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝　 　 m/s．
10．（2025秋 易县期末）如图，小伟用撬棍撬石头，已知阻力为2000N，阻力臂为0.3m．根据杠杆原理，动力F与动力臂l的函数关系是F＝　 　 （用含l的式子表示）．
11．（2025秋 苏仙区期末）如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R为18Ω时，电流I的值是　 　 ．
12．（2025秋 武汉期末）甲、乙两地之间公路全长240千米，汽车行驶的平均速度v千米每小时和行驶时间t小时满足的数量关系为：　 　 ．
13．（2025秋 锦江区期末）阿基米德说过：“给我一个支点，就能撬起整个地球”，该名言阐述了“杠杆原理”（动力F1×动力臂L1＝阻力F2×阻力臂L2）的意义．小温同学在撬一块石头的实验中，测得阻力F2与阻力臂L2的函数图象如图所示，如果他想用动力F1（F1≤400N）去撬起这块石头，则动力臂L1至少长　 　 ．
14．（2025秋 高新区期末）某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为1.5g/cm3的甲液体中时，浸在液体中的深度为16cm，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为20cm，则乙液体的密度为　 　 g/cm3．
15．（2025秋 天元区期末）为激发青少年对科学知识的探索热情，培养其动手实践能力和严谨的科学思维，某校成功举办了“杠杆平衡的条件”科学实验活动．如表是某小组记录的部分实验数据，由表中数据关系可知，动力F和动力臂x（x＞0）的函数关系是　 　 ．
动力F（N） 24 12 8 6 …
动力臂x（cm） 1 2 3 4 …
16．（2025秋 阿克苏地区期末）某车间每天需要完成一定量的零件生产任务，每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数如下表：
每名工人每天生产的零件件数 60 40 30 …
需要安排的工人人数 2 3 4 …
每名工人每天生产的零件件数和需要安排的工人人数成　 　 比例关系．（填“正”或“反”）
三、解答题（共5小题）
17．（2025秋 秦都区期末）班级足球队计划采购一批护腿板，保护队员以防受伤，假设每副护腿板的采购费用为x元，本次采购的护腿板数量为y副，总预算为定值w元，y与x之间满足反比例函数关系，部分数据如表所示．
x/元 12 a 30
y/副 50 30 20
请根据表中的信息解决下列问题：
（1）本次采购的总预算w＝　 　 元，y与x之间的函数表达式为　 　 ；
（2）求表中a的值；
（3）当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购多少副护腿板？
18．（2025秋 福田区期末）“广湛”高铁线路于2025年12月22日正式开通运营，它是中国“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分．已知列车运行时间y（h）与平均速度x（km/h）（0＜x＜350）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为保证列车运行安全，当运行时间为1小时40分时，列车的平均速度是多少？
19．（2025秋 江门期末）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1000N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？
20．（2025秋 黄埔区期末）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如表：
每天装订的本数 200 400 500 800 …
需要的天数 10 5 4 2.5 …
请回答以下问题：
（1）需要的天数随着每天装订的本数的增大而　 　 （增大、不变、减少）；
（2）这批练习本一共有多少本？
（3）用t表示需要的天数，用b表示每天装订的本数，用式子表示t与b的关系，并判断t与b成什么比例关系．
21．（2025秋 吐鲁番市期末）金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图：
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】A
根据图象可知点（5，2）在该反比例函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后代入V＝10m3时，求得对应的函数值即可．
【解答】解：设该反比例函数的解析式为，
由图象可知，点（5，2）在该反比例函数图象上，
则，即k＝10，
∴该反比例函数的解析式为，
∴当V＝10m3时，．
故选：A．
2．【答案】D
根据函数图象结合各选项逐一判断即可．
【解答】解：由函数图象得P随S的增大而减小，且满足反比例函数关系，
A、当S≤1m2时，P≥600Pa，不符合图象，错误；
B、当S≥1m2时，P≤600Pa，不符合图象，错误；
C、1×6000.5＝1200，则当S＝0.5m2时，P＝1200Pa，错误；，
D、1×6000.5＝1200，当0＜S≤0.5m2时，P≥1200Pa，正确；
故选：D．
3．【答案】D
依据题意，先由待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质进行计算可以得解．
【解答】解：设I，把（9，4）代入I，
得U＝36，
∴反比例函数的解析式为I．
∴当I＝6A时，R＝6Ω，当I＝10A时，R＝3.6Ω．
∴当电流从6A增加到10A时，电阻小了：6﹣3.6＝2.4（Ω），
答：当电流I从6A增加到10A时，求电阻R减小了2.4Ω．
故选：D．
4．【答案】C
根据反比例函数的图象性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速120km/h时的时间以及最低车速90km/h的时间，即可求出答案．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是
【解答】解：由题图②得，限速区间AB段的总路程为80×0.3＝24km，
∵最高车速为120km/h，
∴在最高车速120km/h下的行驶时间t0.2（h），
同理可得，在最低车速90km/h下的行驶时间为t0.27（h），
∴通过AB段限速区间的行驶时间应该在12min﹣16min之间．
∵12＜15＜16，
∴C选项符合题意．
故选：C．
5．【答案】A
根据三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：由题意可得，，
∴y，
故选：A．
6．【答案】D
直接观察函数图象，即可求解．
【解答】解：根据函数图象逐项分析判断如下：
A、观察图象得：密度ρ越大，深度h越小，故本选项错误，不符合题意；
B、观察图象得：若h1＜h3＜h2，则ρ1＞ρ3＞ρ2，故本选项错误，不符合题意；
C、观察图象得：密度ρ均匀增加时，深度h的变化量不相同，故本选项错误，不符合题意；
D、根据题意得：密度计的刻度线越往上，对应的密度越小，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
7．【答案】C
由题意可得，设，把ρ＝1，h＝20代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可．
【解答】解：设h关于ρ的函数解析式为，
由条件可得k＝20．
∴h关于ρ的函数解析式为．据此，逐项分析判断如下：
A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故该选项不正确，不符合题意；
B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故该选项不正确，不符合题意；
C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，故该选项正确，符合题意；
D．当液体的密度0＜ρ≤4g/cm3时，浸在液体中的高度h≥5cm，错误，因为浸在液体中的高度不能无限大，故不符合题意；
故选：C．
8．【答案】C
设，待定系数法求得解析式，然后令D＝200，代入反比例函数，求得k的值，结合函数图象即可求解．
【解答】解：设近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）的解析式为，
将（0.2，500）代入，得，
k＝0.2×500＝100，
当D＝200时，，
根据函数图象可知，当D≤200时，f≥0.5，
故选：C．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】4．
将m＝90kg代入计算即可．
【解答】解：当m＝90 时，（m/s）．
它的最快移动速度v＝m/s．
故答案为 4．
10．【答案】．
直接利用：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出F与l之间的关系
【解答】解：由题意可得：2000×0.3＝Fl，
则F，
答：动力F与动力臂l的函数关系是F，
故答案为：．
11．【答案】3A．
设反比例函数的解析式为，根据图象可知，双曲线过点（9，4），代入解析式求出k．再令R＝12，求出此时电流I的值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为，
将R＝9，I＝4代入解析式得，，
∴k＝36，
∴，
令R＝12，则（A），
∴此时电流I的值为3A．
故答案为：3A．
12．【答案】v．
根据路程＝速度×时间即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：vt＝240，
所以v，
故答案为：v．
13．【答案】3m．
根据函数图象中的数据可以计算出F2×L2的值，然后根据题意，即可计算出动力臂L1的最小值．
【解答】解：由图象可得，
阻力F2与阻力臂L2的关系符合反比例函数，
当L2＝6时，F2＝200，此时F2×L2＝200×6＝1200，
∵动力F1×动力臂L1＝阻力F2×阻力臂L2，F1≤400，
∴当F1＝400时，L1取得最小值，此时L1＝1200÷400＝3，
故答案为：3m．
14．【答案】．
根据题意，设反比例函数的解析式为h，代入ρ＝1.5g/cm3，h＝16cm，得出k的值，再代入h＝20cm到反比例函数的解析式即可解答．
【解答】解：浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，设反比例函数的解析式为h，
将ρ＝1.5g/cm3，h＝16cm，代入得：
16，
解得：k＝24，
∴反比例函数为h，
当h＝20cm时，得20，
解得：ρ，
故答案为：．
15．【答案】．
由表中数据计算可得动力与动力臂的乘积为定值，该定值为24，故F与x的函数关系为反比例函数，据此求解即可．
【解答】解：由表中数据：24×1＝12×2＝8×3＝6×4＝24，
∴F x＝24，即F与x的函数关系为反比例函数，
关系式为，
故答案为：．
16．【答案】反．
根据表格数据，计算每名工人每天生产的零件件数与需要安排的工人人数的乘积，发现乘积恒定，因此成反比例关系．
【解答】解：设每名工人每天生产的零件件数为x，需要安排的工人人数为y．
由表格可得：
当x＝60时，y＝2，x×y＝120；
当x＝40时，y＝3，x×y＝120；
当x＝30时，y＝4，x×y＝120．
可见x与y的乘积一定，故成反比例关系．
故答案为：反．
三、解答题（共5小题）
17．【答案】（1）600，；
（2）a＝20；
（3）当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购40副护腿板．
（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）把x＝15代入反比例函数解析式得到．
【解答】解：（1）根据题意得w＝xy＝1250＝600元，
y与x之间的函数表达式为，
故答案为：600，；
（2）根据题意得：，
解得：a＝20；
（3）当x＝15时，．
答：当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购40副护腿板．
18．【答案】（1）y与x之间的函数表达式为；
（2）这趟列车的平均速度为240km/h．
（1）设y与x之间的函数表达式为y，将（200，2）代入得，解方程即可得到结论；
（2）把解析式得到，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y，
将（200，2）代入得，
解得：k＝400，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）∵1小时4（0分）小时，
当时，得，
解得x＝240，
答：这趟列车的平均速度为240km/h．
19．【答案】（1）；
（2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要250N的力．
（1）根据杠杆定理的等式，表示出x与y的关系即可；
（2）代入x＝2，求此时y的值即可．
【解答】解：（1）由题意可得，xy＝1000×0.5＝500，
∴．
∴；
（2）当x＝2时，，
∴当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要250N的力．
20．【答案】（1）减少；
（2）2000本；
（3），t与b成反比例关系．
（1）观察表格中每天装订本数和对应天数的变化趋势，判断增减性；
（2）根据“总本数＝每天装订本数×天数”，用表格中任意一组数据计算即可；
（3）先根据总本数不变写出t与b的关系式，再依据反比例关系的定义判断比例类型．
【解答】解：（1）由表格中的数据可知：需要的天数随着每天装订的本数的增大而减少，
故答案为：减少；
（2）由题意得：200×10＝2000（本）；
400×5＝2000（本）；
500×4＝2000（本）；
800×2.5＝2000（本），
答：这批练习本一共有2000本；
（3）用t表示需要的天数，用b表示每天装订的本数，
由题意得：b×t＝2000，
∴，
∴t与b成反比例关系．
21．【答案】（1）；
（2）10天．
（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）把y＝40代入函数解析式求出函数解析式即可．
【解答】解：（1）设，
依题意得：，
∴；
（2）把y＝40代入得：x＝10，
答：这片甘蔗要砍10天．